Analisi Matematica 1

Prove scritte di

Analisi Matematica 1

Ingegneria Industriale a.a. 2008–2009

x y

f

g

0 1

La funzione seno e la funzione esponenziale

Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 1 ” per Ingegneria Industriale, Facolt`a di Ingegneria, Universit`a del Salento

Prima prova di esonero, 16 gennaio 2009 Sede di Brindisi, traccia A

1. Calcolare le radici quarte in campo complesso delle soluzioni dell’e- quazione

(1 − i)

i Re z = Im z + i .

2. Studiare il carattere della seguente serie

∑

( −1)

(1 − cos

n)

√ n log

( 1 + 1

n

)

.

3. Studiare il seguente limite

x

lim

log(e + x) − e

cos x x √

x .

4. Rispondere alle domande teoriche allegate.

Prima prova di esonero, 16 gennaio 2009 Sede di Brindisi, traccia B

1. Calcolare le radici terze in campo complesso delle soluzioni dell’equa- zione

( √

3 + i)

Re z = Im z + i .

2. Studiare il carattere della seguente serie

∑

( −1)

√

2

− arctan n

n .

3. Studiare il seguente limite

x

lim

√ 1 + √

sin x − √

1 + √

x

√

x .

4. Rispondere alle domande teoriche allegate.

Seconda prova di esonero, 11 febbraio 2009 Sede di Brindisi

1. Calcolare il seguente integrale definito

∫

0

sin x cos x cos

x − sin

x dx .

2. Studiare la seguente funzione

f (x) = arctan |x

− 1|

x .

3. Rispondere alle seguenti domande teoriche:

(a) Formula di Taylor con il resto di Peano ed applicazioni al calcolo dei limiti.

(b) Teorema fondamentale del calcolo integrale.

(c) Teorema sull’uniforme continuit` a di Cantor.

16 febbraio 2009, traccia A

1. Data la funzione

f (x) = √

x(x

− 1)

discuterne: dominio, simmetrie, continuit` a, segno, derivabilit` a, mono- tonia, asintoti, concavit` a, flessi. Tracciarne un grafico qualitativo.

2. Studiare il seguente limite

x→+∞

lim

cos x log(5 + e

) x

+ sin(x

+ 3) al variare del parametro α ∈ R

.

3. Calcolare ∫

0

sin x + 1

sin x + cos x + 1 dx . 4. Studiare il carattere della serie:

∑

( −1)

√ n log n

πn

+ en .

Facoltativo: Dimostrare che la funzione F : R

→ R definita da:

F (x) :=

∫

0

e

dt

crescente. Calcolare, inoltre,

x→+∞

lim

F (x)

e

+ 1 .

16 febbraio 2009, traccia B

1. Data la funzione

f (x) = √

x(2 − x

)

discuterne: dominio, simmetrie, continuit, segno, derivabilit, monoto- nia, asintoti, concavit, flessi. Tracciarne un grafico qualitativo.

2. Studiare il limite

x→+∞

lim

sin x log(1 + e

) x

+ sin x al variare del parametro α ∈ R

.

3. Calcolare ∫

0

sin x + 1

sin x + cos x + 1 dx . 4. Studiare il carattere della serie:

∑

( −1)

2 √

n log(n

+ 2) πn

+ en .

Facoltativo: Dimostrare che la funzione F : R

→ R definita da:

F (x) :=

∫

0

e

√ t dt

crescente. Calcolare, inoltre,

x→+∞

lim

F (x)

√ x + sin xe

.

16 febbraio 2009, traccia C

1. Tracciare il grafico della funzione cos`ı definita

f (x) =

√

x

− 1 x + 2

e studiare la derivata destra e sinistra di f negli eventuali punti di non derivabilit` a.

2. Studiare il seguente limite

x→+∞

lim

sin x log(1 + e

) x

+ sin x

al variare del parametro α ∈ R

.

3. Calcolare il seguente integrale definito

∫

0

sin x + 1

sin x + cos x + 1 dx . 4. Studiare il carattere della seguente serie

∑

(−1)

n log n

n

+ 1 .

Facoltativo: Dimostrare che la funzione F (x) :=

∫

0

t

dt

` e crescente. Calcolare, inoltre,

x→+∞

lim

F (x)

x

+ 1 .

16 febbraio 2009, traccia A, sede di Brindisi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = √

(x − 1)(x

− 4) . 2. Studiare il seguente limite

x→0

lim

cos

x (log(5 + e

) − log 6) sin(x

) − sin

x .

3. Calcolare ∫

0

sin

x cos

x + 1 dx . 4. Studiare il carattere della serie:

∑

(−1)

√ n log n n

+ 1 .

5. Facoltativo: Dimostrare che la funzione F : [1, + ∞[→ R definita da:

F (x) :=

∫

1

t

dt

crescente e calcolare

x→+∞

lim F (x)

x

.

16 febbraio 2009, traccia B, sede di Brindisi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = √

|x|(x

− 1) . 2. Studiare il seguente limite

x

lim

sin

x log x x

− sin

x .

3. Calcolare ∫

0

cos

x sin

x + 1 dx . 4. Studiare il carattere della serie:

∑

( −1)

√

n

+ 2 (n

+ 4) log n .

5. Facoltativo: Dimostrare che la funzione F : [2, + ∞[→ R definita da:

F (x) :=

∫

2

log

(t + 1) dt

crescente e calcolare

x→+∞

lim F (x)

x .

2 marzo 2009, traccia A

1. Data la funzione reale f definita da f (x) = arctan

( e

− 1 e

− 2

)

+ 2 |x| + π 2 , discuterne

(a) (9 punti) dominio, simmetrie, continuit, derivabilit, monotonia, asintoti, concavit, flessi.

(b) (3 punti) Ricordando poi che

arctan t ∈ (−π/2, π/2) ∀ t ∈ R

provare che la funzione data (dove definita) risulta essere non- negativa. Tracciarne, infine, un grafico qualitativo.

2. (6 punti) Calcolare il seguente limite

x

lim

x arcsin x − x

√ 1 + x

− cos(x

) .

3. (4 punti) Calcolare il seguente integrale

∫

e

√ 1

e

− e dx , e < b < + ∞ .

(2 punti) Dire se il seguente integrale improprio convergente e in caso affermativo calcolarlo

∫

e

√ 1

e

− e dx . 4. (6 punti) Dire quali delle seguente serie

∑

( 1

1 − log(1/2) )

,

∑

( 1

1 − log 2 )

converge e in tal caso calcolarne la somma.

Facoltativo. (Bonus) Data la funzione f : R

−→ R definita da f (x) :=

∫

0

sin t 1 + t

dt,

provare che per ogni x ∈ R

sussiste la seguente disuguaglianza:

f (x) ≤ x

2 .

2 marzo 2009, traccia B

1. Data la funzione reale f , definita da f (x) = arctan

( e

− 1 e

− 2

)

+ 2 |x| + π, discuterne

(a) (9 punti) dominio, simmetrie, continuit` a, derivabilit` a, monotonia, asintoti, concavit` a, flessi.

(b) (3 punti) Ricordando poi che

arctan t ∈ (−π/2, π/2) ∀ t ∈ R

provare che la funzione data (dove definita) risulta essere stret- tamente positiva. Tracciarne, infine, un grafico qualitativo.

2. (6 punti) Calcolare il seguente limite

x

lim

x arcsin(2x) − 2x

√ 1 + x

− cos(3x

) .

3. (4 punti) Calcolare il seguente integrale

∫

5

√ 1

e

− e

dx , 5 < b < + ∞ .

(2 punti) Dire se il seguente integrale improprio convergente e in caso affermativo calcolarlo

∫

5

√ 1

e

− e

dx . 4. (6 punti) Dire quali delle seguente serie

∑

( 1

1 − sin(π/4) )

,

∑

( 1

1 + sin(π/4) )

converge e in tal caso calcolarne la somma.

Facoltativo. (Bonus). Data la funzione f : R

−→ R, definita da f (x) :=

∫

0

sin t 1 + t

dt,

provare che per ogni x ∈ R

sussiste la seguente disuguaglianza:

f (x) ≤ x

2 .

2 marzo 2009, traccia A, sede di Brindisi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = arctan

( x

|x| + 1 )

.

2. Calcolare il seguente limite

x

lim

arcsin x − x

√ 1 + x

− cos x .

3. Calcolare il seguente integrale

∫

1

1

e

− e

dx , 1 < b < + ∞ .

Dire se il seguente integrale improprio convergente e in caso afferma- tivo calcolarlo ∫

1

1

e

− e

dx . 4. Dire quali delle seguente serie

∑

( 1

2 − e

)

,

∑

( 1

2 + e

)

converge e in tal caso calcolarne la somma.

Facoltativo. Data la funzione f :]0, + ∞[−→ R definita da f (x) := 1

arctan x

∫

0

arctan t 1 + t

dt,

verificare se per ogni x > 0 sussiste la seguente disuguaglianza:

f (x) ≤ π

2 arctan x .

2 marzo 2009, traccia B, sede di Brindisi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = arctan

( x − 1

|x|

) .

2. Calcolare il seguente limite

x

lim

sin x − x

√ 1 + x

− e

.

3. Calcolare il seguente integrale

∫

1

1

e

− e

dx , 1 < b < + ∞ .

Dire se il seguente integrale improprio convergente e in caso afferma- tivo calcolarlo ∫

1

1

e

− e

dx . 4. Dire quali delle seguente serie

∑

( 1

2 − cos 1 )

,

∑

( 1

2 + cos 1 )

converge e in tal caso calcolarne la somma.

Facoltativo. Data la funzione f :]0, 1] −→ R definita da f (x) := 1

arcsin x

∫

0

arcsin t

√ 1 − t

dt,

verificare se per ogni 0 < x ≤ 1 sussiste la seguente disuguaglianza:

f (x) ≤ π

2 arcsin x .

6 aprile 2009, ordinamento 509

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = log

( x

|x| + 1 )

.

2. Calcolare il seguente limite

x

lim

sin x − x √ 1 + x log cos x . 3. Calcolare il seguente integrale

∫

x arcsin x dx .

6 aprile 2009

1. Tracciare il grafico della funzione cos`ı definita f (x) = x(1 − x)e

e studiare la derivata destra e sinistra di f negli eventuali punti di non derivabilit` a.

2. Studiare il seguente limite

lim

x→0⁺

√ 2(1 − cos x) − xe

x − sin x . 3. Calcolare il seguente integrale indefinito

∫ sin x

cos x − sin x dx .

4. Risolvere nel campo complesso la seguente equazione

z|z|

− 9i¯z = 0 .

7 aprile 2009, sede di Brindisi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = (1 − x

)e

. 2. Studiare il seguente limite

lim

x→0⁺

1 − cos x − x

e

/2 x − sin x . 3. Calcolare il seguente integrale indefinito

∫ sin

x

tan x + cot x dx .

4. Risolvere nel campo complesso la seguente equazione

iz |z|

+ 9¯ z = 0 .

4 maggio 2009, sede di Brindisi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = e

.

2. Studiare il seguente limite

x

lim

(1 − cos x)

x − sin

x al variare del parametro α ∈ R

.

3. Calcolare ∫

0

2

+ 4

+ 8

4

+ 1 dx .

4. Dire se il seguente integrale improprio ` e convergente

∫

1

x − sin x x

√

x dx .

5. Studiare il carattere della serie:

∑

( −1)

n

e

n + 1 .

Facoltativo: Dimostrare che la funzione F : R → R definita da:

F (x) := x e

iniettiva.

30 giugno 2009, traccia B, sede di Brindisi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = log( |x|(1 − x

)).

2. Studiare il seguente limite

x

lim

(e

− 1)

x

− sin x al variare del parametro α ∈ R

.

3. Dire se il seguente integrale improprio ` e convergente

∫

1

cos x − sin x x √

x dx .

4. Studiare il carattere della serie:

∑

( −1)

n

e

n

+ 1 .

Facoltativo: Dimostrare che la funzione F : R → R definita da:

F (x) := x

e

iniettiva.

30 giugno 2009, traccia A, sede di Brindisi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = x

√ x + 1 x − 1 .

2. Calcolare il seguente limite

x→+∞

lim x

(

log(x

+ 1) − 3 log x ) .

3. Calcolare il seguente integrale

∫

1/e

x

log x

x

+ 1 . 4. Studiare la seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

( √

α (n + 1) n

)

.

30 giugno 2009, traccia B, sede di Brindisi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = x

√ x − 1 x + 1 . 2. Calcolare il seguente limite

x→+∞

lim x log x + 1 x .

3. Calcolare il seguente integrale

∫

1/e

x

log x

.

4. Studiare la seguente serie numerica:

+∞

∑

n=1

1 2

( n + 1 n

)

.

13 luglio 2009

1. Tracciare il grafico della funzione cos`ı definita f (x) = |x|e

e studiare la derivata destra e sinistra di f negli eventuali punti di non derivabilit` a.

2. Studiare il seguente limite

x

lim

(

e

− √ 1 + x

)

tan x − sin x al variare di α ∈ R.

3. Calcolare il seguente integrale definito

∫

1

e

− e

+ 1 e

+ 1 dx . 4. Studiare il carattere della seguente serie

∑

( −1)

(

1 − cos

√ 1 n

) .

Facoltativo: Data l’equazione

e

− x − 2 = 0 ,

stabilire se essa ammette soluzioni.

13 luglio 2009, ordinamento 509

1. Tracciare il grafico della funzione cos`ı definita f (x) = arctan |x| + 1

x

e studiare la derivata destra e sinistra di f negli eventuali punti di non derivabilit` a.

2. Studiare il seguente limite lim

x→0⁺

log x − log sin x

x

.

3. Calcolare il valore del seguente integrale definito

∫

0

x arctan √ xdx .

4. Risolvere in C la seguente equazione

zz − 2 = z .

13 luglio 2009, sede di Brindisi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = arctan |x| − 1 x

+ 1 . 2. Calcolare il seguente limite

x

lim

(

e

− 1 )

x − sin x al variare di α > 0.

3. Calcolare il seguente integrale

∫

1

e

− 1 e

+ 1 dx . 4. Studiare la seguente serie numerica:

∑

( −1)

log (

cos

√ 1 n

)

.

7 settembre 2009

1. Data la funzione f : R \ {1} → R definita da:

f (x) = 1

x − 1 e

, determinarne

(a) i limiti agli estremi del campo ed eventuali asintoti;

(b) gli intervalli di monotonia e gli eventuali massimi e minimi;

(c) la concavit` a ed eventuali flessi;

(d) tracciarne un grafico qualitativo.

2. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il seguente

x

lim

e

− √ e tan x .

3. Calcolare ∫

π/2

sin x

√ 1 − cos x dx.

4. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della seguente serie:

∑

( −1)

1

√ n

log √

n

+ 1.

Facoltativo. Determinare le soluzioni complesse dell’equazione:

|z|z

+ 1 = 0.

8 settembre 2009, sede di Brindisi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico:

f (x) = 1

x

− 1 log 1

|x| − 1 . 2. Calcolare il seguente limite

x

lim

log 2(1 − cos x) x

tan x .

3. Calcolare ∫

π/2

tan x 1 − cos x dx.

4. Determinare le soluzioni dell’equazione:

|z|

z − i = 0.