Esercizi Matematica 3 Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Don`a di Piave Versione [12/13]

Esercizi Matematica 3

Dipartimento di Matematica

ITIS V.Volterra

Introduzione

Gli esercizi presentati in questo volume, seguono la stessa struttura — capitolo, sezione, sottosezione — del corrispondente testo di teoria.

Gli esercizi non sono distribuiti in ordine rigoroso di difficolt`a; si possono trovare prima esercizi pi`u difficili e dopo esercizi pi`u facili; in ogni caso la difficolt`a `e compatibile con lo sviluppo della teoria nel testo corrispondente. Valgono due sole eccezioni : ci sono esercizi contrassegnati con un asterisco (*) o con due asterischi (**): i primi sono da considerare esercizi difficili e i secondi molto difficili ; in ogni caso, come tutti ben sanno, la difficolt`a `e una pura opinione.

Indice

I Numeri e Funzioni 1

1 Numeri 2

1.1 Tipi di numeri . . . 2

1.2 Propriet`a fondamentali . . . 2

1.3 Uguaglianze e disugaglianze . . . 2

2 Appendici 5 2.1 Naturali e interi . . . 6

3 Funzioni 7 3.1 Definizioni . . . 7

3.2 Grafici . . . 7

3.3 Tipi di funzioni . . . 8

3.4 Operazioni . . . 8

3.5 Propriet`a notevoli . . . 9

II Funzioni trascendenti 10

4.2 Funzioni goniometriche . . . 15

4.3 Esercizi riassuntivi sulle funzioni trascendenti . . . 18

III Geometria analitica 19

5 Esercizi di geometria analitica sulle rette 20

IV Contributi 24

Parte I

Numeri e Funzioni

Capitolo 1

Numeri

1.1 Tipi di numeri

1.2 Propriet` a fondamentali

1.3 Uguaglianze e disugaglianze

Esercizio 1.3.1. Risolvere le disequazioni.

1.

1 − 2x 3 + 2x    

≥ 3



−5

2 ≤ x ≤ −1, x 6= −3 2



2. |2x + 1| > |3x − 2|  1

5 < x < 3



3. |x − |2x − 3|| < 4



−1

3 < x < 7



3. |x − |2x − 3|| < 4



−1

3 < x < 7



4. x²− 2x − 3

9 − x² ≥ 0 [?]

5. 9x²+ 6x + 1

x⁴+ 16 ≤ 0 [?]

6. x⁵+ 3

1 − x⁸ ≤ 0 [?]

7. −x²− 10

9x²+ 6x + 3 < 0 [?]

8. x⁴− 2x²− 15 ≤ 0 [?]

1.3 Uguaglianze e disugaglianze 3

Esercizio 1.3.2. Risolvere le disequazioni.

1.

( x³+ 2x²− 9x − 18 ≥ 0

x⁴− 10x²+ 9 ≤ 0 (−3 ≤ x ≤ −2 ; x = 3)

2.







x − 2

x − 1 ≤ x²

x²− 3x + 2−x − 1 2 − x x − 3

x²− x − x + 3

x²+ x ≥ 2 − 3x x²− 1

(x > 2)

3. x²− 6x + 5

2x²− 7x + 6 ≤ 0 (1 ≤ x < ³₂ ; 2 < x ≤ 5)

4. (x²+ 3)(x²− 4x + 3)

x²− 4x + 4 ≤ 0 (1 ≤ x ≤ 3 ma x 6= 2)

5. x³− x²− 5x − 3 < 0 (x < 3 ma x 6= −1)

6. (x⁴− 1)(x⁵+ 32)

(x⁶+ 1)(x³− 27)≥ 0 (x ≤ −2 ; −1 ≤ x ≤ 1 ; x > 3)

7. 3 ≤ x²− 1 < 8 (2 ≤ |x| < 3)

8. 2x⁴+ 3

x⁶− 64 ≤ 0 (−2 < x < 2)

9. |x²− x| < 1 (¹⁻

√5

2 < x < ¹⁺

√5

2 ) 10. |2x + 1| − 1

5 − |x − 2| ≥ 0 (−3 < x ≤ −1 , 0 ≤ x < 7)

11. √

x²− 4x > 1 − x (x ≥ 4 , x < −¹₂)

12. ^1−|4x−3|_|2x−3|−3 ≥ 0 (?)

Esercizio 1.3.3. Risolvere le disequazioni.

1. p³

8x³+ 1 > 2x + 1 (?)

2. √

x − 1 < 3 (?)

3. p

2x²− x > x (?)

4. p

2x²− x ≥ x (?)

5.

√2x²− x − x

x²− 4x + 3 ≤ 0 (¹₂ ≤ x < 3 x 6= 1)

1.3 Uguaglianze e disugaglianze 4

Esercizio 1.3.4. Risolvere le disequazioni.

1*.

√x²− 4x − 1 + x

|x| − 2 ≤ 0 (−2 < x ≤ −¹₂)

2. |x − 1| − |x|

√x²+ 3 − 2 ≤ 0 (−1 < x ≤ ¹₂ ; x > 1)

3. |x − 1| − |x|

√

x²+ 3 − 2 ≤ 0 (−1 < x ≤ ¹₂ ; x > 1)

4. x >√³

3x²− 2x (0 < x < 1 ; x > 2)

5. p||x + 3| − 2| − 1 > 0 (x < −6 ; −4 < x < −2 ; x > 0)

6.







√

2x²+ x − 3 − x + 1 > 0 

2x + 1 x − 3

< 2 (x ≤ −³₂ ; 1 < x <⁵₄)

7. 2x − 1 −√

x²− 3x + 2

√

x⁴+ 3 + 4 > 0 (¹⁺

√13

6 < x ≤ 1 ; x ≥ 2)

8. |x − 1| − |x − 2|

|x²− 9| ≥ 0 (x ≥ ³₂ ma x 6= 3)

9.

√x + 1 −√ x²+ 3x

|x| ≥ 0 (0 < x ≤ −1 +√

2)

10. r x + 1

x − 1 < 2 (x ≤ −1 ; x > ⁵₃)

11. √

25 − x²+ x − 7 ≥ 0 (3 ≤ x ≤ 4)

12. 13 − x −√

x + 7 < 0 (x > 9)

13. 2x −√ x²− 3x

x²− 16 ≥ 0 (−4 < x ≤ 0 ; x > 4)

14. x²− 4|x| + 3 < 0 (1 < |x| < 3)

15. |x|³− 27

|x|²− 1 < 0 (1 < |x| < 3)

Capitolo 2

Appendici

2.1 Naturali e interi 6

2.1 Naturali e interi

Esercizio 2.1.1. Per ogni intero n ≥ 1 dimostrare che

1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n + 1) 2 Esercizio 2.1.2. Per ogni intero n ≥ 1 dimostrare che

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n² Esercizio 2.1.3. Per ogni intero n ≥ 1 dimostrare che

1²+ 2²+ 3²· · · + n²=1

6n(n + 1)(2n + 1) Esercizio 2.1.4. Per ogni intero n ≥ 1 dimostrare che

1³+ 2³+ 3³· · · + n³=n(n + 1) 2

2

Capitolo 3

Funzioni

3.1 Definizioni

Esercizio 3.1.1. Sia

f (x) = x

|x|

definita per x 6= 0; calcolare f (1), f (−1), f (2), f (123). Cosa si deduce?

3.2 Grafici

Esercizio 3.2.1. Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni.

1. f1(x) = x

2 + 3 2. f2(x) = 2x²− 1

3. f3(x) = −3x²+ 1 4. f4(x) = x³

5. f5(x) =√

x 6. f6(x) = x⁻¹²

7. f7(x) = |x| + x 8. f8(x) = −|x| + x

9. f9(x) = 1

x + 2 10. f10(x) = 1

x − 2 11. f11(x) = 3

x 12. f12(x) = x

|x|

13. f13(x) =

(0 se x ≤ 0

1 se x > 0 14. f14(x) =

(0 se x < 0 1 se x > 0

15. f15(x) =

(x² se x < 0

x se x ≥ 0 16. f16(x) =







x³ se x ≤ 0 1 se 0 < x < 2 x² se x ≥ 2

Esercizio 3.2.2. Disegnare un grafico approssimato delle funzioni dell’esercizio precedente, calcolandone anche alcune immagini per valori arbitrari del campo di esistenza.

3.3 Tipi di funzioni 8

Esercizio 3.2.3. Data la funzione f : R → R, x 7→ −x²− 4x la si rappresenti graficamente e si dica se `e biiettiva; in caso contrario , renderla tale per x ≥ −2 ed indicare con f1 la restrizione di f cos`ı trovata. Determinare l’inversa di f1 e rappresentarla graficamente. Infine, risolvere la disequazione

−2 +√

4 − x ≤ x.

(f₁⁻¹: {x ∈ R : x ≤ 4} → {y ∈ R : y ≥ −2} , x 7→ −2 +√

4 − x; S : 0 ≤ x ≤ 4)

Esercizio 3.2.4. Con riferimento all’esercizio precedente, rappresentare graficamente la funzione y = g(x) = −f (−x) e risolvere la disequazione g(|x|) > −3 anche per via grafica.

(x < −3 ; −1 < x < 1 ; x > 3)

Esercizio 3.2.5. Rappresentare graficamente la curva di equazione y = f (x) = (x − 2)³+ 1 partendo dalla curva base y = x³; determinare, quindi, la funzione inversa f⁻¹e verificare che f ◦ f⁻¹`e la funzione identica.

(f⁻¹(x) = 2 +√³ x − 1)

3.3 Tipi di funzioni

3.4 Operazioni

3.5 Propriet`a notevoli 9

3.5 Propriet` a notevoli

Esercizio 3.5.1. Stabilire quali delle funzioni seguenti sono pari, dispari o nessuna delle due. E’ oppor- tuno considerare prima il campo di esistenza.

1. f1(x) = x 2. f2(x) = 2x²

3. f₃(x) = x²− 1 4. f₄(x) = x³

5. f5(x) =√

x 6. f6(x) = 1

x

7. f₇(x) = |x| 8. f₈(x) = |x| + x

Esercizio 3.5.2 (*). Dimostrare che una funzione definita per tutti i numeri pu`o essere scritta come somma di una funzione pari e una funzione dispari. Suggerimento: considerare la funzione

gp(x) = f (x) + f (−x) 2

Esercizio 3.5.3. Dimostrare che la somma di funzioni dispari `e dispari e che la somma di funzioni pari

`e pari.

Esercizio 3.5.4. Stabilire nei casi elencati quale sia il tipo della funzione prodotto dimostrando il risultato:

• prodotto di funzioni pari

• prodotto di funzioni dispari

• prodotto di una funzione pari per una funzione dispari

Parte II

Funzioni trascendenti

Capitolo 4

Funzioni trascendenti

4.1 Funzioni esponenziali e logaritmiche

Esercizio 4.1.1. Tracciare un grafico approssimato delle funzioni.

1. y = 2^|x|+1 2. y = 2^|x|+ 1 3. y = 2^|x+1|

Esercizio 4.1.2. Risolvere le equazioni esponenziali.

1. 2(2x−1)(3x−2)2^5−8x4^x(3x−1)= 16^2x(8^7+x)^7−x

2. 2

35^x−1+ 5 · 5^x− 5^x+2+298 3 = 0 3. √

8^x+ 4 · 2^−x2 = 5 · 2^x2 4. 9^x+2+ 9^x−2= 82 5. 2 · 3^x−

√x²−1− 9^x+1−

√x²−1+ 75 = 0 6. 2^|x|− 8 · 4^|x|−1+ 1 = 0

Esercizio 4.1.3. Risolvere le equazioni logaritmiche.

1. 3^log3x= 2 · log1 3

1 3

^x

2. log₂(1 + x) − log₂(1 − x) = −1

3. log²1

23x + log¹

23x − 2 = 0 4. log₃(x − 1) − log₉x²+ log^√₃x 2 = 0

Esercizio 4.1.4. Risolvere le disequazioni logaritmiche-esponenziali.

4.1 Funzioni esponenziali e logaritmiche 12

1. log₆(x − 1) + log6(x − 2) < 1 (2 < x < 4) 2. log¹

2(x²+ 2) + log₂(x − 2) ≤ log¹

2(x + 1) (x > 2) 3. (log1

2 x)²+ log1

2x − 2 ≥ 0 (?)

4. | ln(3^x− 2)| < 1 (?)

Esercizio 4.1.5. Risolvere le disequazioni logaritmiche-esponenziali.

1. 3^x≥ 81 (x ≥ 4)

2.  2 5

x

< 0 (∅)

3. (0, 1)^x≤ 100 (x ≥ −2)

4. 32^x≤ 16 (x ≤ 4

5) 5. 3

√x+1< 9 (−1 ≤ x < 3)

6.

( 1 − 6^1+x≥ 0

3^x+ 5 > 0 (x ≤ −1)

7. 2^x− 1

2^x− 8 ≤ 0 (0 ≤ x < 3)

8. 3^2x− 10 · 3^x+ 9 < 0 (0 < x < 2)

9. 4^x> 7 (x > log₄7)

10. 3^x+1+ 3^x−1= 4^x+ 2^2x−1 (x = log3 4

9 20)

11. 5 2

 2 5

_x¹

− 5 2

^x+2

> 0 (x < 0)

12. 3^x2− 81 < 0 (−2 < x < 2)

13. 125^x≥ 25^x

5 (x ≥ −1)

14.  1

√9−x²

< 32 (−3 ≤ x ≤ 3)

4.1 Funzioni esponenziali e logaritmiche 13

16. e^2x− 1

e^x ≥ 0 (x ≥ 0)

17. 2^x+2− 2^x+1− 2^x− 2^x−1− 2^x−2= 1 (x = 2)

18. 3^2x− 4 · 3^x+ 3

|x| − 1 ≥ 0 (x < −1 ; x ≥ 0 ma x 6= 1)

19. 3^x− 2

1 5

x

− 3 ≥ 0 (log1

5 3 < x ≤ log₃2)

20. log₂x ≥ x − 1 risolvi graficamente...

21. log₂x + log_x2 = ¹⁷₄ (x =√⁴

2 ; 2⁴) 22. log₂log1

2(x − 3) = 1 (x = ¹³₄)

23. log₃x · log_x9 =√

x + 3 (∅)

24. log1

2(x²− 4x + 3) − log1

2(x − 2) ≥ log1

2(x + 1) (x > 3) 25. log log(x²− 15) < 0 (4 < |x| < 5) 26. log_x(2x − 1) > 1 (x > ¹₂ ma x 6= 1)

Esercizio 4.1.6. Risolvere le disequazioni logaritmiche-esponenziali.

1. log_x2 x²+ 1

≥ 0 (x < −1 ; x > 1)

2. log₂x²

2^x2+p|x|

≤ 1 (∅)

3.

x

3+ 1 −√ x + 1

2^2x− 5 · 2^x+ 4 (−1 ≤ x < 2 ma x 6= 0 ; x ≥ 3) 4. (e^x− 1)(e^2x− 5e^x+ 3) ≤ 0 (x < ln³₂)

5. log₂^x+1_x−1− log¹₂^x2_x^−3x+22+1 < 0 (−3 < x < 1 e x > 2

6. ^ex−e₂^−x > 1 (x > ln(1 +√

2))

7. _ln(15−4x)^{ln x+ln 2} ≤ 2 (0 < x < ²⁵₈ ∨⁷₂ < x < ¹⁵₄) 8. log₂(x²− 3x + 3) > 0 (x < 1 ∨ x > 2)

4.1 Funzioni esponenziali e logaritmiche 14

9. log₂^x+1_x−1− log1 2

(x+4)²

x²−1 < 0 (?)

10. |5^3x− 9| < 4 (¹₃ < x < ^log₃⁵¹³)

11. _{(ln x−1)}^{| ln x|}2 ≤ ¹₂ (?)

12. 25^x− 2^log26−1< 5^x−1 (?)

13.

√

|1−e^x|−1

e^x−4 ≥ 1 (?)

14. 20 ln²x + 31 ln x − 9 > 0 (?)

15. log_x2(2 + x) < 1 (?)

16. (log_x2)(log_2x2)(log₂4x) > 1 (?)

17. log₃^|x_x2^2−4x|+3_+|x−5| ≥ 0 (?)

4.2 Funzioni goniometriche 15

4.2 Funzioni goniometriche

Esercizio 4.2.1. Calcolare il valore delle espressioni.

1. [cos(³₂π − α) sin(2π − α) − sin(^π₂ + α) cos(π + α)]²tan α cot(π + α) (?)

2. sin^π₆ + 1 − cos^π₆

sin^π₃ −cos^π₃ +

√ 3−2

2

sin^{2 π}₄ (?)

3.

1

4 3 sin⁵₂π + 2 cos^π₂

sin π −¹₂cos π : 2 sin^π₂ + cos 2π

2(sin 2π + cos 2π) (1)

4. a a sin⁵₂π + b cos⁵₂π
− b a cos⁵₂π + b sin⁵₂π

a(sin 2π + cos 2π) + b(sin 3π + cos 3π) (a + b)

Esercizio 4.2.2. Tracciare un grafico approssimato delle funzioni.

1. y = sin |2x| + 3 2. y = 2 cosπ 4 − x

3. y = || tan x| − 1

4. y = sin x − 1 5. y = cos x + 1 6. y = sin x +^π₂

7. y = sin(x − ^π₂) + 1 8. y = cos(x +^π₃) 9. y = sin(x − ^π₃)

Esercizio 4.2.3. Calcolare il valore delle espressioni utilizzando le formule degli angoli associati.

1. cosπ 2 − α

tanπ 2 − α

+ sinπ 2 − α

cotπ 2 − α

(sin α + cos α)

2. sinπ 2 + α

− cosπ 2 + α

+ cos α cotπ 2 + α

(cos α)

3. cos α −cos²(π − α) − sin²(π − α)

sin(π − α) − cos(π − α) (sin α)

4. 1 + cos(π + α)

1 + cos(π − α)−1 + 2 cos(π + α)

sin²(π + α) (cot²α)

Esercizio 4.2.4. Verificare le seguenti identit`a.

4.2 Funzioni goniometriche 16

1. cos⁴α − sin⁴α = 2 cos²α − 1 2. sin³α − cos³α

sin α − cos α = 1 + sin α cos α 3. sin α tan α + 1

tan α = sec α 4. cos²α(tan α + cot α) = cot α 5.

sin α + 1 sin α

cot α = cot α 1 − sin α

sin α

6. tan²α − 1

tan α = (sin α − cos α)( 1

cos α + 1 sin α)

7. sin²4α − sin²2α = sin 6α sin 2α 8. cos²α − β

2 − sin²α + β

2 = cos α cos β 9. tan 4α = 4 tan α(1 − tan²α)

tan⁴α − 6 tan²α + 1 10.1 − cot α tan(α − β)

cot α + tan(α − β) = tan β

4.2 Funzioni goniometriche 17

Esercizio 4.2.5. Risolvere le equazioni.

1. sin 2x − cos x = 2 sin x − 1 2. sin²x − 2 sin x cos x − (√

3 + 3) cos²x = 0 3. 3 sin x −√

3 cos x + 3 = 0 4. sin³x + cos³x = 0 5. 3 + 3 cos 2x − sin²x

2 = 0 6. sin²(π

4 − 3x) − sin²2x = 0 7. |sinx

2| = 1 − cos x 8. sin²3x + 2 cos²3x + cos x = −6

Esercizio 4.2.6. Risolvere le disequazioni.

1. 4 sin²x + 2(1 −√

3) sin x −√ 3

| sin x| < 0 (?)

2. tan⁴x − 9

| cos x| −

√ 2 2

< 0 (−^π₄+kπ < x < ^π₄+kπ ; ^π₃+kπ < x < ²₃π+kπ ma x 6= ^π₂ + kπ)

3. sin x + cos x − 1

| tan x − 1| ≥ 0 (2kπ ≤ x < d^π₂+ 2kπ ma x 6= π

4 + 2kπ)

4. arcsin(x²− 1)

√18x²− 9x + 1 < 0 (−1 < x < 1 6 ; 1

3 < x < 1)

4.3 Esercizi riassuntivi sulle funzioni trascendenti 18

4.3 Esercizi riassuntivi sulle funzioni trascendenti

Esercizio 4.3.1. Determinare il C.E. delle seguenti funzioni reali di variabile reale

1. f (x) = log_|x−1|−2(2x²− x − 3) (x < −1 ma x 6= −2 ; x > 3 ma x 6= 4) 2. f (x) = log₂log1

4x (0 < x < 1)

3. f (x) = logx²− 4|x| + 3

√x (0 < x < 1 ; x > 3)

5. f (x) =

r x⁵+ 32

x⁴+ 3x² (x ≥ −2 ma x 6= 0)

6. f (x) =√

x⁴− 5x²+ 4 (x ≤ −2 ; −1 ≤ x ≤ 1 ; x ≤ 2)

7. f (x) =q

(1 − 2 log₂x) log1

25 (x ≥√

2)

8. f (x) = q

2^x+₂⁴x− 4

|5^x− 1| log |x + 1| (x ∈ R − {0, −1, −2})

9. f (x) =plog₂(x + 1) − 3 (x ≥ 7)

10. f (x) = ln x

√1 + cos x (x > 0 ma x 6= π + 2kπ, k ∈ Z⁺)

11. f (x) = ln(1 − sin²x)

|xe^{sin x}| (x ∈ R^∗−_π

2 + kπ, k ∈ Z )

12. f (x) = ln(| sin x + cos x|)

3^{2 sin x}− 4 · 3^{sin x}+ 3 (x ∈ R ma x 6= −^π4 + kπ, kπ,^π₂+ 2kπ con k ∈ Z)

13. f (x) =

3

r 1

x²+ 9

px²− 6x + 12 s

2x + 1 3 − x

(x ∈ R −−¹₂, 3 )

Parte III

Geometria analitica

Capitolo 5

Esercizi di geometria analitica sulle

rette

Esercizio 5.0.2. Rispondere alle seguenti domande, giustificando la risposta:

1. E’ vero o falso che 2 rette parallele hanno il coefficiente angolare uguale?

2. E’ vero o falso che 2 rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare antireciproco?

3. Qual `e il coefficiente angolare delle rette parallele all’asse delle ascisse?

4. Qual `e il coefficiente angolare delle rette parallele all’asse delle ordinate?

5. Qual `e il coefficiente angolare delle rette parallele alla I bisettrice?

6. Qual `e il coefficiente angolare delle rette parallele alla II bisettrice?

7. Due rette perpendicolari possono avere coefficiente angolare opposto?

[Attenzione: non tutte le rette hanno coefficiente angolare!]

Esercizio 5.0.3. Calcolare la distanza fra i punti A 4 5, −6



e B 4 5, 2

 .

AB = 8

Esercizio 5.0.4. Scrivere le coordinate del punto medio del segmento di estremi A 3 4, −2

 e B



−7 4, 6

 .

 M



−1 2, 2



Esercizio 5.0.5. Scrivere le coordinate del baricentro del triangolo di vertici A(4, 0), B



−1,3 2

 e

21

Esercizio 5.0.7. Dato il punto P 1 2, −3

 :

• scrivere l’equazione del fascio proprio FP di centro P 1 2, −3



;

• scrivere l’equazione della retta del fascio proprio FP passante per Q 3 2, −2



;

• scrivere l’equazione della retta del fascio proprio FP parallela alla II bisettrice;

• scrivere l’equazione della retta del fascio proprio FP perpendicolare alla retta di equazione y = −2x.



y + 3 = m

 x −1

2



, y = x − 7

2, y = −x −5 2, y = 1

2x − 13 4



Esercizio 5.0.8. Determinare le rette passanti per il punto A(2, −3) e, rispettivamente:

• parallela all’asse x;

• parallela all’asse y;

• passante per O;

• passante per B(4, 0);

• parallela alla retta di equazione 2y + x = 0.



..., y = 3

2x − 6, y = −1 2x − 2



Esercizio 5.0.9. Dati i punti A(−2, −2), B(4, 2), C(2, 5) e D(−4, 1):

• determinare i punti medi M , N , P e Q rispettivamente di AB, BC, CD e DA;

• verificare che ABCD `e un rettangolo;

• verificare che M N P Q `e un rombo equivalente a met`a del rettangolo;

• calcolare perimetro e area di ABCD e M N P Q.

2p(ABCD) = 6√

13, A(ABCD) = 26

2p(M N P Q) = 2√

65, A(M N P Q) = 13 Esercizio 5.0.10. Date le rette r1: y = 1

2x − 1 ed r2: y = −2x − 11:

• determinare il loro punto E di intersezione;

• determinare i punti A e C sulla retta r1 di ascissa rispettivamente −2 e −6;

• determinare i punti B e D sulla retta r₂ di ascissa rispettivamente −2 e −6;

• verificare che ABCD `e un rombo;

• calcolare perimetro e area di ABCD.

[2p = 20, A = 20]

22

Esercizio 5.0.11. Date le rette r1: y = 3 4x−37

4 , r2: y = −4 3x+16

3 , r3: y = 3 4x+13

4 ed r4: y = −4 3x−3:

• determinare il punto di intersezione B fra r1 ed r2;

• determinare il punto di intersezione C fra r2 ed r₃;

• determinare il punto di intersezione D fra r3 ed r4;

• determinare il punto di intersezione A fra r₄ ed r₁;

• verificare che ABCD `e un rettangolo;

• calcolare perimetro e area di ABCD.

[2p = 30, A = 50]

Esercizio 5.0.12. Dato il punto A(2, 3):

• scrivere l’equazione del fascio proprio F di centro A;

• determinare l’equazione della retta r1 di F parallela alla prima bisettrice;

• determinare l’equazione della retta r₂ di F parallela alla seconda bisettrice;

• determinare i punti C e B rispettivamente sulle rette r1ed r2 di ascissa 7;

• verificare che ABC `e un triangolo isoscele;

• calcolare perimetro e area di ABC.

2p = 10 + 10√

2, A = 25 Esercizio 5.0.13. Dato il fascio improprio F di rette parallele con coefficiente angolare 2:

• scrivere l’equazione della retta r1 di F passante per A(1, 5);

• scrivere l’equazione della retta r2 di F passante per B(6, 5);

• determinare il punto D sulla r1di ascissa −1;

• determinare il punto C sulla r2 di ascissa 2;

• verificare che ABCD `e un trapezio isoscele;

• calcolare perimetro e area di ABCD.

2p = 10 + 6√

5, A = 30 Esercizio 5.0.14. Date la retta r1: x − 2y + 5 = 0:

• determinare i punti B e C sulla r1di ascissa rispettivamente 1 e −3;

• scrivere l’equazione del fascio proprio F di centro B;

23

• verificare che OABC `e un trapezio rettangolo;

• calcolare perimetro e area di OABC.



2p = 4√ 5 +√

10, A = 15 2



Parte IV

Contributi

Contributi e licenza

Erica Boatto Algebra I - Algebra II - Insiemi

Beniamino Bortelli Grafici

Roberto Carrer Coordinatore progetto - Numeri - Funzioni - Integrazione - Matematica 5

Statistica descrittiva

Morena De Poli Laboratorio matematica

Piero Fantuzzi Algebra I - Algebra II - Insiemi Caterina Fregonese Analisi (Integrazione) - Esercizi Carmen Granzotto Funzioni - Analisi (Integrazione)

Franca Gressini Funzioni - Statistica descrittiva - Teoria della probabilit`a I - Teoria della probabilit`a II Beatrice Hitthaler Funzioni trascendenti - Geometria analitica -

Numeri complessi - Analisi - Matematica 5 Teoria della probabilit`a I - Teoria della probabilit`a II

Lucia Perissinotto Funzioni trascendenti - Geometria analitica - Numeri complessi - Analisi - Matematica 5 Teoria della probabilit`a I - Teoria della probabilit`a II

Pietro Sinico Geometria I - Geometria II

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In particolare chi vuole redistribuire in qualsiasi modo l’opera, deve garantire la presenza della prima di copertina e della intera Parte Contributi composta dai paragrafi: Contributi e licenza.

Settembre 2012

Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Don`a di Piave