1 , 1 ii )Sicalcolil’areadellafrontieradelsolido K . a,b ( i )Sicalcoliilvolumedi K .( a b 2 2 a,b K = { ( x,y,z ) ∈ IR | + ≤ z ≤ 1 } . T 3 x y 2 2 Alvariaredeiparametrirealinonnulli a e b siconsideriilsolido Universit`adegliStudidiTrieste–Facolt`ad’Ingeg

Universit`a degli Studi di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Trieste, 20 gennaio 2012 1 Esame di Analisi matematica II

Prova di esercizi

Corso del Prof. Franco Obersnel Sessione invernale, II appello

COGNOME e NOME N. Matricola

Anno di Corso Laurea in Ingegneria

ESERCIZIO N. 1. Al variare dei parametri reali non nulli a e b si consideri il solido Ka,b= {(x, y, z)^T ∈ IR³|x²

a² +y²

b² ≤ z ≤ 1}.

(i) Si calcoli il volume di Ka,b.

(ii) Si calcoli l’area della frontiera del solido K1,1.

2 Universit`a degli Studi di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Trieste, 20 gennaio 2012 ESERCIZIO N. 2. Si consideri la funzione

f (x, y, z) = xy²− x + xz − yz.

(i) Si determinino

• il gradiente di f :

• la matrice Hessiana di f :

• eventuali punti critici di f :

• la natura dei punti critici di f :

(ii) Si calcolino il minimo e il massimo di f ristretta alla superficie

{(x, y, z)^T ∈ IR³| − 1 ≤ x ≤ 0, −1 ≤ y ≤ 0, z = −x}.

Universit`a degli Studi di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Trieste, 20 gennaio 2012 3

COGNOME e NOME

ESERCIZIO N. 3. Si consideri la curva γ : [0, 2π] → IR², γ(t) = t cos t, tsen t
T

.

(i) Si calcoli l’integrale di lineaR

γ

px²+ y²ds.

(ii) Sia ϕ : [0, 2π] → IR³, ϕ(t) = x(t), y(t), z(t)
^T

la curva il cui sostegno giace sulla superficie {(x, y, z)^T ∈ IR³| x²+ y²+ z²= 4π², z ≥ 0}

e la cui proiezione sul piano x, y `e la curva γ (cio`e tale che x(t), y(t)
T

= γ(t)).

• Si scriva l’equazione parametrica di ϕ.

• Si trovino i punti del sostegno di ϕ nei quali il vettore tangente di ϕ `e parallelo al piano x, y.

• Si scrivano le equazioni delle rette tangenti il sostegno di ϕ nei punti (−π, 0,√

3π²)^T e (2π, 0, 0)^T.

4 Universit`a degli Studi di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria. Trieste, 20 gennaio 2012 ESERCIZIO N. 4.

(i) Si scrivano gli sviluppi in serie di Taylor-Maclaurin (cio`e di centro x0= 0) delle funzioni sen x e cos x.

(ii) Si consideri la serie di potenze

y(x) =

+∞

X

n=0

(−4)ⁿ (2n)!x⁴ⁿ.

• Si determini il raggio di convergenza della serie.

• Si calcolino y⁰(x) e y⁰⁰(x).

• Si determini la somma y(x) della serie.

(iii) Si determini una costante k ∈ IR in modo tale che la funzione y(x) considerata in (ii) sia soluzione dell’equazione differenziale lineare

xy⁰⁰− y⁰+ kx³y = 0.