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Svolgimento: x (1 −√ x ) x +1) 3 / 2 2 dx . dx ;(f) √ arctan( x )( ln( x ) Z Z x ) e +1 − 2cosh( x ) 2 x dx ;(d) dx ;(e) 1+sin( x )1+cos( 2 e 4 x Z Z e − 1 x + xdx x ;(c) dx ;(b) √ √ √ 1 x − 1 Z Z √ 1. Calcolareiseguentiintegraliindefiniti.(a)

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Academic year: 2021

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(1)

1. Calcolare i seguenti integrali indefiniti.

(a)

Z 1

√ex− 1dx ; (b)

Z √3

x − 1

√x +√3 xdx ; (c)

Z 1 + sin(x)

1 + cos(x)dx ; (d)

Z 2e4x

e2x+ 1 − 2 cosh(x)dx ; (e)

Z arctan(x)

(x + 1)2 dx ; (f)

Z ln(x)

√x(1 −√

x)3/2 dx . Svolgimento:

(2)
(3)

2. Calcolare i seguenti integrali definiti.

(a) Z e

1

ln(1 + ln2(x))

x dx ; (b)

Z 10

8

q

1 +p|x − 1| dx ;

(c) Z 3

1

x2 + x − 1

(x2+ 3)2 dx ; (d) Z π/6

−π/6

6 + xex2 cos3(x) dx ;

(e) Z π/2

π/6

ln2(e sin(x)) cos(x) dx ; (f) Z 4

1/4

dx 1 + ⌊1/x⌋ . Svolgimento:

(4)
(5)
(6)
(7)

3. Dimostrare le seguenti affermazioni.

(a) Se f `e continua in [a, b] tale che

Z b

a |f(x)| dx = 0, allora f `e identicamente nulla in [a, b].

(b) Se f `e convessa in [a, b] allora `e integrabile in [a, b] e f a + b

2



≤ 1

b − a Z b

a f (x) dx ≤ f (a) + f (b)

2 .

Svolgimento:

(8)
(9)

4. Sia F (t) = Z t2

t

e−x2dx. Dimostrare o confutare le seguenti proposizioni.

(a) La derivata prima di F si annulla almeno due volte in R.

(b) F ammette un punto di minimo assoluto in R.

(c) F ammette un punto di massimo assoluto in R.

(d) Esiste a > 0 tale che F `e strettamente convessa in [a, +∞).

(e) 5

4 < F (−1) < 5 3. Svolgimento:

(10)

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