Esame di Geometria Anno Accademico 2016/2017 (programma a.a. 2015/2016)

Esame di Geometria

Anno Accademico 2016/2017 (programma a.a. 2015/2016)

20 giugno 2017

Svolgere i seguenti esercizi giustificando le risposte.

1. Si consideri la seguente famiglia di sottoinsiemi di R:

⌧ := A⇢ R | 0 /2 A [ A ⇢ R | R r A `e numerabile . (a) Provare che ⌧ `e una topologia su R.

(b) Stabilire se (R, ⌧) `e separabile.

(c) Stabilire se (R, ⌧) `e connesso.

(d) Stabilire se R r {0, 1} `e denso in (R, ⌧).

(e) Stabilire se (R, ⌧) `e compatto.

(f) Stabilire se (R, ⌧) `e 1-numerabile.

2. Con la topologia euclidea indotta da R³, si consideri lo spazio X ottenuto per rotazione attorno all’asse z della figura seguente:

0

z

x

p

q

Sia inoltre la circonferenza ottenuta per rotazione del punto p attorno all’asse z.

(a) Determinare ⇡0(X), ⇡0(X r ) e ⇡⁰(X r {q}).

(b) Determinare il gruppo fondamentale ⇡₁(X).

(c) Determinare il gruppo fondamentale di ogni componente connessa di Xr .

(d) Siano C := (x, y, z) 2 R³ | x² + y² = 1, 2 < z < 2 e D :=

(x, y, z)2 R³ | x² + y² = 1, 1 z  1 . Calcolare ⇡1(C r {P, Q}) e ⇡1(Dr {P, Q}) al variare di P e Q tra le coppie di punti distinti di C e D, rispettivamente.

Esercizio 1.a 1.b 1.c 1.d 1.e 1.f 2.a 2.b 2.c 2.d P

Punti 1 2 2 2 3 5 3 5 3 4 30

Risolvere esercizi distinti su protocolli distinti.