Esame di Geometria
Anno Accademico 2016/2017
6 settembre 2017
Svolgere i seguenti esercizi giustificando le risposte.
1. Sia M2(R) lo spazio vettoriale su R delle matrici 2 ⇥ 2 a coefficienti reali.
Si identifichi M2(R) con R4 associando alla matrice (aij)1i,j2 2 M2(R) il vettore (a11, a12, a21, a22) 2 R4 e si doti M2(R) della relativa topologia euclidea. Sia poi GL2(R) il sottoinsieme di M2(R) costituito dalle matrici invertibili e si consideri
H :=n
A2 GL2(R) A · 11 = 21 o . (a) Stabilire se H `e chiuso in GL2(R).
(b) Provare che H non `e n´e compatto n´e connesso.
(c) Descrivere le componenti connesse di H.
(d) Stabilire se H `e localmente connesso per archi.
(e) Stabilire se H `e localmente compatto.
(Gira il foglio)
1
2. Con la topologia indotta da quella euclidea su R2, si consideri lo spazio topologico S ottenuto identificando i lati e i vertici di un decagono regolare come in figura:
1
2 2
1
1 1
1
2
2
2 a b d c
e
c
d
b a
e
(a) Provare che S `e una superficie topologica connessa per archi.
(b) Determinare l’orientabilit`a della superifcie S.
(c) Determinare la caratteristica di Eulero (S) di S.
(d) Esprimere S come somma connessa di sfere, tori e piani proiettivi.
(e) Si considerino ora tre spazi topologici X, Y , Z ottenuti da tre esagoni regolari inR2, dotati della topologia indotta da quella euclidea, iden- tificando tutti i vertici di ciascun esagono ed i lati secondo i seguenti tre simboli:
abca 1b 1c, aba 1b 1cc, abacb 1c.
Determinare i gruppi fondamentali di X, Y , Z.
Esercizio 1.a 1.b 1.c 1.d 1.e 2.a 2.b 2.c 2.d 2.e P
Punti 2 3 4 3 3 3 3 3 3 3 30
Risolvere esercizi distinti su protocolli distinti.
2
