Esame di Geometria
Anno Accademico 2016/2017
10 luglio 2017
Svolgere i seguenti esercizi giustificando le risposte.
1. Sia X := N r {0}. Dato A ⇢ X, per ogni intero n 1 si definisca N (n, A) := #{m 2 A | m n}.
Sia ⌧ la famiglia dei sottoinsiemi U di X tali che 1 /2 U oppure
n!+1lim
N (n, U ) n = 1.
(a) Provare che ⌧ `e una topologia su X.
(b) Provare che C ⇢ X `e chiuso in (X, ⌧) se e solo se 1 2 C oppure
n!+1lim
N (n, C) n = 0.
(c) Stabilire se (X, ⌧ ) `e di Hausdor↵.
(d) Stabilire se (X, ⌧ ) `e normale.
(e) Sia S := 10k | k 1 ⇢ X e sia V := X r S. Provare che N (n, V ) n log10(n)
per ogni n 1, quindi dedurre che V `e aperto in (X, ⌧ ).
(f) Stabilire se (X, ⌧ ) `e compatto.
(Gira il foglio)
2. Le figure seguenti sono le usuali rappresentazioni piane di una sfera meno due punti X := S2 r {Q, R}, di un toro Y e di Z := P2R con alcuni cappi indicati:
P P
P Y
P
A
Z A A
B X
↵ b
a
b
a ↵
a
a
a a
Q R
P
P P
↵
(a) Si descrivano in termini di generatori del gruppo fondamentale ⇡1(X, P ) le classi di omotopia dei cappi ↵, , e .
(b) Si descriva in termini di generatori del gruppo fondamentale ⇡1(Y, P ) la classe di omotopia del cappio ↵.
(c) Sia Z/ lo spazio quoziente di Z modulo la contrazione ad un punto del cappio e sia f : Z ! Z/ la proiezione naturale. Si descriva in termini di generatori del gruppo fondamentale ⇡1(Z/ , f (P )) la classe di omotopia di f (↵).
(d) Si considerino le somme connesse W1 := Y ]Z e W2 := Y ]Z/ . Si determini la caratteristica di Eulero di W1 e di W2.
Esercizio 1.a 1.b 1.c 1.d 1.e 1.f 2.a 2.b 2.c 2.d P
Punti 2 1 1 4 4 3 5 4 4 2 30
