Sistemi Elementari

(1)

Sistemi Elementari

Prof. Laura Giarré

Laura.Giarre@UNIMORE.IT

https://giarre.wordpress.com/ca/

(2)

Rappresentazioni di una funzione di trasferimento

• Una funzione di trasferimento espressa in forma polinomiale

può essere riscritta in forma fattorizzata come

• I termini del secondo ordine rappresentano le coppie di zeri/poli complessi coniugati e sono caratterizzati dai parametri

• pulsazioni naturali

• coefficienti di smorzamento

costante di trasferimento

Sistemi Elementari CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré 2

(3)

Rappresentazioni di una funzione di trasferimento

• Parametrizzazione ‘polare’ di poli/zeri

con

• Valgono pertanto le seguenti relazioni

(4)

• Una forma fattorizzata (forma di Bode) alternativa è quella che mette in evidenza le ‘costanti di tempo’

dove sono le costanti di tempo associate agli zeri e ai poli

Rappresentazioni di una funzione di trasferimento

guadagno

(5)

Sistemi elementari

• Come evidenziato discutendo l’antitrasformazione di una generica funzione risposta forzata di un sistema dinamico con fdt

arbitrariamente complessa può essere ottenuta sommando le risposte di sistemi elementari del primo e secondo ordine.

• Ha quindi senso analizzare l’andamento temporale di sistemi elementari a fronte di ingressi tipici (gradino) e identificare la relazione esistente tra i parametri della fdt e l’andamento temporale della risposta.

• Sistemi del primo ordine

• Sistemi del secondo ordine

• Effetto degli zeri

• Luoghi a sovraelongazione e tempo di assestamento costante

(6)

Sistemi elementari

Risposta a gradino:

• Viene usato come segnale d’ingresso u(t) un gradino unitario

• Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la stessa moltiplicata per K (linearità):

t 1

u(t)

U(s) Y(s)

(7)

Sistemi elementari – Primo ordine

• Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma

in cui la costante di tempo  costituisce il parametro che caratterizza il comportamento dinamico.

• La risposta al gradino unitario è data da

0 1 2 3 4 5 6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (t/tau)

y(t)

(8)

Sistemi elementari – Primo ordine

• Sistema elementare del primo ordine

• Per la risposta a gradino, si ha:

• Cioè il valore iniziale è nullo e la pendenza (tangente) vale 1/: per t =  la tangente

assume il valore di regime ⁰₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (t/tau)

y(t)

(9)

Sistemi elementari – Primo ordine

• per t =  la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime,

• per t = 2  il valore è pari all'86,5% del valore di regime,

• per t = 3 si raggiunge il 95,0% del valore di regime.

0.63 0.865 0.95

 2 3

Risposta di un sistema del primo ordine

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (t/tau)

y(t)

(10)

Sistemi elementari – Primo ordine

• Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale.

Per t = 5  si raggiunge il 99,3% del valore di regime.

Per t = 7 si raggiunge il 99,91 % del valore di regime, cioè l'assestamento residuo rimane inferiore all'un per mille.

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (t/tau)

y(t)

0.95

(11)

Sistemi elementari – Primo ordine

• Al variare di  varia la velocità di risposta del sistema

• Se  T

_a

0 5 10 15 20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tempo (sec)

y(t) tÎ[1, 10] t = 10t = 1

x x x x x x

-1 -1/10 

j 

Poli più a “sinistra”

(



piccoli)

corrispondono a risposte “più veloci”.

polo del sistema in

(12)

Sistemi elementari – Primo ordine con zero

• Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio)

• La risposta a gradino è data da

Essendo  = T/  il rapporto tra le

costanti di tempo dello zero e del polo (p =  z)

 = -1

 = 1.5

 = 0.5

x

 = 1

 j 

 < 1  > 1 o o

0 1 2 3 4 5 6

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Tempo (t/t)

Valore iniziale = 

Pendenza iniziale = (1-)/

(13)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Per le specifiche riguardanti la risposta al gradino (segnale tipico più

frequentemente impiegato) si fa riferimento ad un andamento della risposta

analogo a quello di un sistema del secondo ordine con poli complessi, cioè di tipo oscillatorio smorzato.

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Tempo (t)

y(t)

(14)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità del transitorio di un sistema del secondo ordine sono:

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Tempo (t)

y(t)

Massima sovraelongazione(o massimo sorpasso) S:

differenza fra il valore massimo raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale.

Tempo di ritardo T_r: tempo per raggiungere il 50% del valore finale.

Tempo di salita T_s: tempo occorrente perchè l'uscita passi dal 10 al 90% del valore finale.

Tempo di assestamento T_a: tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il ± 5% del valore finale.

Istante di massima sovraelongazione T_m: istante al quale si presenta la massima sovraelongazione.

S

T_r

T_s T_a

T_m

(15)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Tempo (w_n * t)

y(t)

I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori:

 del coefficiente di smorzamento 

 della pulsazione naturale n.

 = 2

 = 0.1

(16)

Sistemi elementari – Secondo ordine

La risposta al gradino unitario è data dalla relazione

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Tempo (w_n * t)

y(t)

dove:

(17)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Posizione dei poli della f.d.t. al variare di

^ ^{= cos(}^⁾

Re(s) Im(s)

P₁^x P^x₂ 0

Re(s) Im(s)

P₁ = P₂ 0

・_n xx

Re(s) Im(s)

0

p₁

p₂

・_n

Poli instabili!

Re(s) Im(s)

0

p₁

p₂

・_n



(18)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Caratteristiche della risposta  poli della f.d.t.

Re(s) Im(s)

0 p₁

p₂

_n -_n

instabile veloce lento

transitorio

 =1



_n

 >1



_n

 <1

5 10 15 20 25

0 0.5

1 1.5

Risposte al gradino

(19)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di smorzamento e quello della massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la

Si ottiene

Ponendo la derivata uguale a zero, si ha

da cui

(20)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

y(t)

(21)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava facilmente:

In un sistema del secondo ordine la massima sovraelongazione è funzione

unicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al 100 % quando tale coefficiente è nullo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

d

S %

(22)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Il coefficiente di smorzamento  dipende dalla posizione dei poli complessi coniugati.

• Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo

assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dalle rette b e b’.

(23)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Spesso si specifica anche il valore massimo del tempo di assestamento T

_a

.

• Un limite superiore per T

_a

si può ricavare da da cui

Il prodotto  n è uguale in modulo, con segno opposto, alla parte reale  dei poli del sistema:

questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta verticale.

Perché il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato dovrà essere

(24)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Al variare di _nsi hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo:

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Tempo (sec)

y(t)

Risposta al variare di _n (0.5 - 5)

NB: il coefficiente di smorzamento è costante ( = 0.5) e quindi il sorpasso percentuale non cambia.

Sistemi Elementari CA 2017‐2018 Prof. Laura Giarré 24

(25)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Se i poli complessi coniugati variano come in figura:

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Tempo (sec)

y(t)

Risposta ( = /2; T = 4)

(26)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Se infine si considerano poli come in figura:

0 5 10 15 20

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Tempo (sec)

y(t)

Risposta (_n = /2)

(27)

Sistemi elementari – Secondo ordine

Sistemi del secondo ordine con  >1

Re(s) Im(s)

P₁^x ^x P^x₂ 0

-  

_n

Poli reali:

Coincidenti per  = 1 Distinti per  > 1

(28)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• L'equazione

fornisce la risposta per 0 <  < 1 (il sistema presenta poli complessi coniugati).

Per  = 1 (poli reali coincidenti) si ha:

e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla relazione

Per  = 1 non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende

asintoticamente al valore finale senza mai superarlo

^.

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (w_n* t)

y(t)

(29)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Per  > 1 (poli reali distinti) si ha

e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla funzione

con

0 5 10 15 20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (w_n* t)

y(t)

(30)

Sistemi elementari – Secondo ordine

• Per  > 1 (poli reali distinti) la risposta in funzione delle costanti di tempo e risulta

ovvero

• In molti casi di interesse pratico i due poli hanno costanti di tempo molto diverse o

• Il termine associato al polo con costante di tempo maggiore è caratterizzato da un residuo molto più grande e da un esponenziale molto più lento

che tende ad estinguersi

La risposta del sistema tende a quella di un sistema del primo ordine governato dal polo dominante

(31)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

Sia data la funzione

Si può scrivere:

Da cui

(32)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

3 Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

T = 0.2

T = 0 T = - 0.5

T = 1

(33)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

• Nel caso di un sistema con 2 poli reali + zero reale da cui antitrasformando si ottiene

• Proprietà della risposta per

• L’analisi della risposta temporale, e in particolare il valore dei residui associati ai poli, dipende fortemente dalla posizione dello zero.

(34)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

• Caso sistemi a fase non minima:

Essendo

Si ha che la risposta parte con una sottoelongazione

(35)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

• Caso sistemi a fase minima:

Termine >0 che tende

a zero ‘lentamente’ Termine <0 che tende a zero ‘velocemente’

Inoltre:

Derivata nel caso non ci sia lo zero

(36)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

• Caso sistemi a fase minima:

• La risposta presenta una sovraelongazione tanto più marcata quanto più lo zero tende verso l’origine

• Risposta non oscillatoria

• Risposta molto più “brusca”

dell’equivalente sistema privo di zero

(37)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

• Caso sistemi a fase minima con quasi cancellazione:

Il residuo associato è molto piccolo e

• >0 se

• <0 se

Inoltre l’esponenziale tende a zero

‘lentamente’

Termine <0 che tende a zero ‘velocemente’

L’esponenziale “lento” genera un contributo piccolo che non è evidente nei primi istanti del transitorio (in quanto “sovrastato” dal contributo dell’esponenziale “veloce”) ma che appare asintoticamente.

(38)

Sistemi elementari – Secondo ordine con zero

• Caso sistemi a fase minima con quasi cancellazione:

• L’andamento di è inizialmente analogo a quello di un sistema del primo ordine (governato dal polo “veloce” con costante di tempo t2 ) . Al passare del tempo emerge un contributo “subdolo” che si esaurisce

lentamente con una velocità che dipende dalla costante di tempo associata allo zero )

• Tipica risposta con due dinamiche temporali.

• Coda di assestamento dovuta alla quasi cancellazione

polo/zero.

(39)

Sistemi di ordine superiore al secondo

• Nel caso di un sistema con due poli reali e uno zero, si è visto che se la costante di tempo dello zero è simile a quella di uno dei due poli, la risposta è assimilabile a quella di un sistema del primo ordine (ottenuto eliminando le due singolarità prossime tra loro)

• Nel caso di sistemi di ordine superiore è possibile ottenere un modello approssimato di ordine ridotto (con una risposta al gradino simile al sistema di partenza) cancellando coppie di poli/zeri vicini tra loro nel piano complesso e con parte reale negativa.

(40)

Sistemi di ordine superiore al secondo

• Una volta cancellati coppie di poli e zeri prossimi tra loro vengono chiamati poli dominanti i poli, reali o complessi, nettamente più vicini rispetto agli altri poli

• La risposta al gradino di un sistema con poli dominanti può essere approssimata con quella di un sistema la cui funzione di trasferimento possiede soltanto questi poli e un

guadagno pari a quello del sistema di partenza.

x

x x

x x 

j 

(41)

Sistemi di ordine superiore al secondo

• Risposta al gradino della funzione

e della sua approssimante

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 2 4 6 8 10 12

G G_a

Pole-Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0.16 0.34 0.5 0.64 0.76

0.86

0.94

0.985

0.16 0.34 0.5 0.64 0.76

0.86 0.94 0.985

5 10 15 20 25

(42)

Sistemi di ordine superiore al secondo

0 10 20 30 40 50 60

0 1 2 3 4 5 6

G G_a

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

25 0.68 0.56 0.42 0.28 0.14

0.8

0.91

0.975

0.14 0.28 0.42 0.56 0.8 0.68

0.91 0.975

5 10 15 20 25

Pole-Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

(43)

Sistemi di ordine superiore al secondo

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

20 0.25 0.18 0.125 0.09 0.055 0.025

0.38

0.65

0.025 0.055 0.09 0.125 0.18

0.25 0.38 0.65

5 10 15 20

5

10

15

20 Pole-Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

G G_a

(44)

Sistemi di ordine superiore al secondo

• Esercizio: determinare i poli dominanti e il guadagno statico del sistema la cui risposta al gradino unitario è riportata in figura

(45)

Sistemi di ordine superiore al secondo

• Esercizio: determinare i poli dominanti (sapendo che sono 3 con la stessa parte reale) e il guadagno statico del sistema la cui risposta al gradino unitario è riportata in figura

(46)

Visualizzazione della risposta con MATLAB

• Dopo aver definito una funzione di trasferimento

è possibile ottenere il plot della risposta al gradino con il comando

• MATLAB fornisce anche la risposta all’impulso con il comando

>> s = tf(‘s’)

>> G = 12*(s+20)/((s+0.1)*(s^2 + 10*s + 425)) Transfer function:

12 s + 240

--- s^3 + 10.1 s^2 + 426 s + 42.5

>> step(G)

>> impulse(G)