Disegnare D e calcolare l’integrale Z Z D 1 1 +p x2+ y2 dx dy

(1)

Complementi di Matematica cdl in Informatica

Secondo compitino 20 dicembre 2006 Tema A

1) Data la funzione

f (x, y) = x − y² 1 + x²

a) determinare i punti stazionari di f precisandone la natura;

b) scrivere per f la formula di Taylor del secondo ordine col resto di Peano con centro nel punto P = (0, 1).

2) a) Sia T `e il triangolo di vertici A=(1,0), B=(2,0), C=(0,-1). Disegnare T e calcolare l’integrale Z Z

T

1

y + 2 dx dy

b) Sia D =n

(x, y) ∈ R²: 1 ≤ x²+ y²≤ 5, 1 ≤ y x ≤√

3o

. Disegnare D e calcolare l’integrale Z Z

D

1 1 +p

x²+ y² dx dy.

3) Determinare i punti stazionari di g precisandone la natura:

g(x, y) = 3x⁴− y²+ 3x²y + 4

1

(2)

Secondo compitino 20 dicembre 2006 Tema B

1) Data la funzione

f (x, y) = 4x + y² 1 + 2x²

2) a) Sia T `e il triangolo di vertici A=(1,0), B=(2,0), C=(0,1). Disegnare T e calcolare l’integrale Z Z

T

1

y + 3 dx dy

b) Sia D =

½

(x, y) ∈ R²: 1 ≤ x²+ y²≤ 4, 1

√3 ≤y x ≤ 1

¾

. Disegnare D e calcolare l’integrale Z Z

D

1

2 + x²+ y² dx dy.

g(x, y) = −2x⁴+ 4y²+ x²y − 2

2

(3)

Secondo compitino 20 dicembre 2006 Tema C

1) Data la funzione

f (x, y) = x²− y 1 + y²

2) a) Sia T `e il triangolo di vertici A=(-2,0), B=(-1,0), C=(0,2). Disegnare T e calcolare l’integrale Z Z

T

1

y + 4 dx dy

b) Sia D =

½

(x, y) ∈ R²: 1

4 ≤ x²+ y²≤ 3, −√ 3 ≤ y

x ≤ −1

¾

. Disegnare D e calcolare l’integrale

Z Z

D

3p

x²+ y² dx dy.

g(x, y) = x²− 3y⁴+ 3xy²+ 1

3

(4)

Secondo compitino 20 dicembre 2006 Tema D

1) Data la funzione

f (x, y) = 4y + x² 1 + 2y²

2) a) Sia T `e il triangolo di vertici A=(1,0), B=(2,0), C=(0,-1). Disegnare T e calcolare l’integrale Z Z

T

1

y + 2 dx dy

b) Sia D =

½

(x, y) ∈ R²: 1

4 ≤ x²+ y²≤ 3, − 1 ≤ y x ≤ − 1

√3

¾

. Diseg- nare D e calcolare l’integrale

Z Z

D

³ 1 +p

x²+ y²´

dx dy.

g(x, y) = 5x²− 3y⁴+ xy²− 1

4