IR2| z ≥p x2+ y2}

Corso di Laurea in Ing. Civile ed Ambientale e Ing. Meccanica (M/Z) Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 7 gennaio 2013

1) Data la funzione f (x, y) = |y|(x²− y)

a) stabilire dove la funzione risulta derivabile nel suo dominio e calcolarne le derivate parziali,

b) determinarne, se esistono, massimi e minimi relativi nel suo dominio, b) determinarne massimi e minimi assoluti nell’insieme

D = {(x, y) ∈ IR²| x²+ y² ≤ 1, x ≥ 0}.

2) Calcolare il volume del solido intersezione dei seguenti solidi

S = {(x, y, z) ∈ IR²| x²+ y²+ z² ≤ 1} e C = {(x, y, z) ∈ IR²| z ≥p

x²+ y²}.

3) Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = (log x − z²log y x² , z²

xy, z + 2z log y

x ), determinarne il dominio, stabilire se il campo risulta irrotazionale e conservativo sul suo dominio ed in caso affermativo determinarne un potenziale.

4) Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale y⁰⁰− 4y = (x + 1)e^−2x

1

Risposte^∗

1) La funzione risulta derivabile in ogni (x, y) ∈ IR², y 6= 0 con

∂f

∂x(x, y) = ±2xy per ± y > 0 e ∂f

∂y(x, y) = ±(x²− 2y) per ± y > 0

La funzione risulta inoltre derivabile in O(0, 0) con ^∂f_∂x(0, 0) = ^∂f_∂y(0, 0) = 0. Non risulta invece derivabile in ogni P (x, 0) con x 6= 0 poich`e non esiste ^∂f_∂y(x, 0) mentre ^∂f_∂x(x, 0) = 0.

Poich`e f (x, y) ≥ 0 per ogni y ≤ x<sup>2</sup> e f (x, 0) = 0 per ogni x ∈ IR, i punti P<sub>x</sub>(x, 0) con x 6= 0 risultano punti di minimo relativo mentre O(0, 0) risulta un punto di sella<sup>∗∗</sup>. La funzione non ammette altri punti di massimo e di minimo poich`e ∇f (x, y) 6= 0 per ogni (x, y) ∈ IR² con y 6= 0.

Risulta min_Df (x, y) = f (0, 1) = −1 mentre max_Df (x, y) = f (0, −1) = 1.

2) Si ha µ(S ∩ C) = Z Z Z

S∩C

dxdydz = ²⁻

√ 2

3 π essendo S ∩ C = {(x, y, z) ∈ IR³| x²+ y² ≤ 1

2, p

x²+ y² ≤ z ≤p

1 − (x²+ y²)}

= {(x, y, z) ∈ IR³| z ∈ [0,1

2], (x, y) ∈ Dz} dove D_z = {(x, y) ∈ IR²| x²+ y² ≤ z²} se z ∈ [0,

√2

2 ] mentre D_z = {(x, y) ∈ IR²| x²+ y² ≤ 1 − z²} se z ∈ [

√ 2

2 , 1]. Si potevano inoltre usare le coordinate sferiche φ, osservato che φ⁻¹(S ∩ C) = {(ϕ, θ, ρ) ∈ [0,π

4] × [0, 2π] × [0, 1]}.

3) Il campo risulta irrotazionale nel suo dominio D = {(x, y, z) ∈ IR³| x > 0, y > 0}.

Essendo D semplicemente connesso, il campo risulta conservativo in D. Un suo potenziale

`

e dato da U (x, y, z) = x log x − x + ^{z2log y}_x +^z₂² + c, c ∈ IR.

4) L’integrale generale dell’equazione data `e

y(x) = y0(x) + yp(x) = c1e^2x+ c2e^−2x− x

16(2x + 5)e^−2x, c1, c2 ∈ IR

∗ Solo le risposte di cui `e presente lo svolgimento sono ritenute valide per la valutazione del compito.

∗∗ Attenzione: l’origine O(0, 0) risulta essere l’unico punto stazionario della funzione. Si osservi per`o che la funzione non risulta derivabile due volte in alcun intorno di O(0, 0) (non essendo derivabile nei punti P (x, 0) con x 6= 0) e dunque non `e applicabile il metodo dell’hessiano (condizione sufficiente del II ordine) per stabilire se O(0, 0) risulta punto di massimo o di minimo relativo.

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