x2− x x2+ y2  dy

Primo Parziale

del Corso di Analisi Matematica 4¹

1. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale y⁽⁴⁾− 5y⁽³⁾+ 6y⁰⁰= 0.

2. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale y⁰⁰− 2

xy⁰+ 2

x²y = 1,

osservando che y₁(x) = x e y₂(x) = x² sono soluzioni della corrispon- dente equazione omogenea.

3. Calcolare la soluzione del problema iniziale

y⁰ = −2xy²

x² + 1, y(0) = 1.

4. Consideriamo la forma differenziale



2xy + y x²+ y²

 dx +



x²− x x²+ y²

 dy.

a. Verificare se la forma `e chiusa nel dominio R² \ {(x, 0) : x ≤ 0}.

Se esiste, costruirne una primitiva.

b.^∗ Esiste una primitiva nel dominio R² \ {(0, 0)}? Perch`e esiste o perch`e non esiste?

5. Calcolare la lunghezza del grafico della funzione f (x) = ²₃(x − 1)^3/2 per 1 ≤ x ≤ 9.

6. Calcolare il volume del solido rinchiuso tra la paraboloide di equazione z = 1 + 3(x²+ y²), il cilindro x²+ y² = 1 e il piano xy.

15.04.2004