Corso di Laurea in Informatica 26 aprile 2010 - Tema I
Complementi di Matematica (mod.Analisi) (4 cfu): Esercizi 1,2,3,4.
Analisi Matematica 1 complementi (6 cfu): Esercizi 3,4,5,6,7.
1) Risolvere il problema di Cauchy (
y0=y − 2x x + 1 y(0) = 2
2)Determinare l’integrale generale della equazione differenziale y00+ 25y = 0
3) Determinarne i punti stazionari e gli estremi della seguente funzione f (x, y) = ex2−y(y − 2x2− 3)
calcolare le derivate direzionali di f (x, y) nel punto P = (1, −1) nelle di- rezioni determinate dalla retta di equazione y + 3x + 5 = 0;
scrivere l’equazione del piano tangente nel punto (1, −1, f (1, −1)).
4) Sia
D =©
(x, y) ∈ R2| x2+ y2≤ 2, y − x2≥ 0ª . Disegnare D e calcolare gli integrali
a) Z
D
√3
sin x dx dy ; b) Z
D
y dx dy
5) Determinare il centro e il raggio della serie di potenze X∞
n=1
1
log(1 + n)(2x − 2)n, determinare quindi l’insieme E di convergenza.
6) Stabilire il carattere delle seguenti serie
a) X∞ n=1
n4− en
5en− 3n; b) X∞ n=2
(−1)n
√n
n2− 1; c) X∞ n=1
log(2n + 1 n )
Corso di Laurea in Informatica 26 aprile 2010 - Tema II
Complementi di Matematica (mod.Analisi) (4 cfu): Esercizi 1,2,3,4.
Analisi Matematica 1 complementi (6 cfu): Esercizi 3,4,5,6,7.
1) Risolvere il problema di Cauchy (
y0=y − 4x x + 2 y(1) = 7
2)Determinare l’integrale generale della equazione differenziale y00+ 16y = 0
3) Determinarne i punti stazionari e gli estremi della seguente funzione f (x, y) = ex2−y(3x2+ 2 − y)
calcolare le derivate direzionale di f (x, y) nel punto P = (1, 2) nelle direzioni determinate dalla retta di equazione y − 3x + 5 = 0;
scrivere l’equazione del piano tangente nel punto (1, 2, f (1, 2)).
4) Sia
D =©
(x, y) ∈ R2| x2+ y2≤ 2, y + x2≤ 0ª . Disegnare D e calcolare gli integrali
a) Z
D
3
r tan x
3 dx dy ; b) Z
D
y dx dy
5) Determinare il centro e il raggio della serie di potenze X∞
n=1
1
log(3 + n)(3x − 3)n, determinare quindi l’insieme E di convergenza.
6) Stabilire il carattere delle seguenti serie
a) X∞ n=1
7n3− 2n
5en− 2n; b) X∞ n=2
(−1)n
√n
n2− 7; c) X∞ n=1
log(3n + 1 n )
