Continuità in due vàriàbili

Continuità in due variabili

1

Continuità in due vàriàbili

Teoremi per le funzioni continue

Teorema di Weierstrass

Data

^{f  C}

  ^x

Teorema dell’esistenza di zeri

Data

f

E  R

^{f x}   ^{ 0, f y}   ^{    0 z E f z |}   ^{ 0}

Teorema applicazioni continue

Le applicazioni continue presentano gli insiemi aperti:

 

  è aperto in x aperto f x   y C    A y f

A

Oss La terza può essere usata come definizione di continuità.

Insieme Connesso

E’ insieme connesso quell’insieme che non può essere espresso come unione disgiunta.

1 2 con E1 E2=

E  E E 

 E1 E2=E1 E2-E1 E2  

Esempi in R^2

Consideriamo il grafico

x

 y

 R

  ^{x y ,  x}

^{ y}

L’insieme è connesso e può essere espresso come unione dei seguenti due sottoinsiemi disgiunti

  ^{, |}

^,   ^{, |}

^{, 2}

2 3 2

R R

E    x y  x  y  R y      x y  x  y  R R   y  

   

Il seguente insieme

E  E 1 E 2

Continuità in due variabili

2

Corollari del Teorema applicazioni continue 1) Sia f continua a ⁿvalori in



 



(



 



^

^

f

^f

  ^C

Es



 



 

1

0;

f



Punto di Frontiera

n n

E x  è di frontiera per E se comunque preso un intorno contenente

x I x

,  

I x  

contiene punti di E(interni) e punti di

E

L’unione dei punti di frontiera di E si chiama frontiera di E e si indica con E Es.

 

 

 

2

2 1

2 1

1 2 2 1

|

,

E x x x

E x x

x x x x x

  

  

 

Continuità in due variabili

3 Teorema punti di frontiera

E 

  E E E :  E E

Corollario

 

 x n

   E

 x

  x E

n  

   

 

 

2

2 2

2 2

, | , 0

1 2

,

1 2

E x y f x y

x y P x y

x y

  

   

  

   



L’insieme

  



E x y  x y  è chiuso

f non è continua perché

^f

 ^{0; }   ^aperto  ^{ E}

Gli insiemi , sono sia aperti che chiusi per convenzione