Errata-Corrige al volume

Errata-Corrige al volume

M. Giaquinta, G. Modica, Analisi Matematica: Vol. 4, Funzioni di pi` u variabili, Pitagora editrice, Bologna 2005.

Malgrado le migliori intenzioni degli autori, il volume contiene imprecisioni, errori e alcune palesi assurdit` a. Qui di seguito sono elencati gli errori noti agli autori ad oggi e le correzioni da apportare al volume in oggetto.

Saremo grati a quanti vorranno comunicarci ulteriori errori, imprecisioni o anche critiche agli indirizzi

giaquinta@sns.it giuseppe.modica@unifi.it.

Pisa e Firenze, 15 giugno 2006

Mariano Giaquinta Giuseppe Modica

Pagina Errore Correzione

65 6 da (ii) del Teorema 1.2 dalla definizione di insieme misurabile 65 4 disgiunti, tutti disgiunti, segue da (ii) Teorema 1.2 che

tutti

117 −1 −α x

ⁱ

D i α(x ^′ )

117

¹

1 −α x

ⁱ

D i α(x ^′ )

117 14 ∂(Q × [a, b]) ∩ A ∂(Q × [a, b]) ∩ A

156 ¹⁴ w = x + iy z = x + iy

156 ¹⁵ `e un cerchio o un rettan- golo

`e un rettangolo

156 ¹⁶ in generale , se Ω `e un aperto qualunque,

159 10 si abbia si ha

159 8 sia `e

159 6 domini piccoli domini “piccoli”

160 ⁶ F (γ(t)) = F(γ(1)) − F (γ(0))

F R (γ(t)) dt = F R (γ(1)) − F R (γ(0))

160 14 ammissibile elementare

160 14 domini disgiunti domini con parti interne disgiunte 160 12 opposta. opposta quando si percorre in senso

antiorario ∪ i ∂A i .

161 ¹ Poich´e i segmenti Poich´e gli integrali sui segmenti

161 8 ammissibili elementari

162 8 1

(ζ−z) dz _(ζ−z) ¹ dζ

162 8 f(ζ)

(ζ−z)

^k+1

dz _(ζ−z) ^f(ζ)

k+1

dζ

163 8 ammissibili elementari

167 ⁷ descrivono i campi descrivono alcuni campi

168 17 u y = v x u y = −v x

168 16 u x = −v y u x = v y

176 9 se z = 0 se z = z 0

178 7 un punto singolare isolato una singolarit`a isolata 181 ¹¹ ζ ∈ B(z 0 , r 2 ) ζ ∈ ∂B(z 0 , r 2 )

181 ¹² = _ζ−z ¹ P

= _ζ−z ¹

0

P

181 ¹³ totalmente uniformemente

181 11 totalmente uniformemente

183 ⁹ ammissibile elementare

183 ¹³ dominio ammissibile per dominio con A ^c elementare per 183 ⁵ A ⊂ B(z 0 , r) A ⊂ B(0, r)

184 ¹⁴ un polo semplice uno zero semplice 184 3 lim z→z

0

. . . (z 0 ). lim z→z

0

. . . . 186 ⁶ ammissibile. elementare per Ω.

188 10 = 2π i = −2π i

188 3 ir dθ ire ^iθ dθ

188 5 f (z)e ^iωx dz f (z)e ^iωz dz

189 ¹ r dt = r dθ =

189 ¹ r dt ≤ r dθ ≤

189 ⁶ Res (f, z) Res (f (z)e ^iωz , z) 189 4 sin x

x = ^{sin x} _x dx =

190 ¹¹ e ^ir

²

^θ

²

e ^ir

²

^e

^2iθ

190 ¹² i(cos θ . . . r ² sin 2θ) i cos 2θ − sin 2θ

193 8 cot(πz)) → 0 cot(πz) 

→ 0 209 9 π

a e ^αa _|a| ^π e ^−α|a|

210 ⁹ Da queste sommando e sottraendo ritrovare

Analogamente, si provino

210 ¹⁰ a, b > 0. α, β > 0.

Inoltre

• Sostituire l’esercizio 3.47 a pg. 37 con il seguente

3.47 ¶ Dimostrare il seguente principio di massimo per le funzioni armoniche.

Teorema (Principio di massimo). Sia u ∈ C

⁰

(Ω) ∩ C

²

(Ω) armonica in Ω. Allora sup

Ω

|u| = sup

∂Ω

|u|.

[Sugg. Per ogni ǫ > 0 e x

0

interno a Ω, osservare che v

ǫ

(x) := u(x) + ǫ |x − x

0

|

²

non ha massimo in x

0

essendo ∆v

ǫ

(x

0

) = 2nǫ > 0. Pertanto sup

_Ω

v

ǫ

= sup

_∂Ω

v

ǫ

. . . . ]

• Sostituire il punti (i) e (ii) a pg. 113 con quanto segue (i) Sia A ∈ M N,n (R). Dal teorema dell’alternativa

ker A ^T A = ker A, ker AA ^T = ker A ^T ,

Rank (A ^T A) = Rank A ^T = Rank A = Rank (AA ^T ),

(5.3)

in particolare Rank (A ^T A) = Rank (AA ^T ) ≤ min(n, N ).

(ii) Da (i) segue che

det(A ^T A ) = 0 se n > N , det(AA ^T ) = 0 se n < N . Ovviamente det(AA ^T ) = det(A ^T A ) se n = N .

• Sostituire le pagine da 121 e 122 con le seguenti pagine

F (x

^′

) :=

Z

α(x^′) a

f(x

^′

, x

n

) dx

n

, x

^′

∈ Q.

Derivando sotto il segno di integrale F (x

^′

) in x

i

, i = 1, . . . , n − 1, cfr. Corollario 2.18, si ottiene

D

i

F (x

^′

) = Z

_α(x′)

a

D

i

f(x

^′

, x

n

) dx

n

+ f (x

^′

, α(x

^′

))D

i

α(x

^′

);

d’altra parte Z

A

D

i

f(x

^′

, x

n

) dx

^′

dx

n

= Z

Q

„ Z

_α(x^′₎

a

D

i

f(x

^′

, x

n

) dx

n

« dx

^′

= Z

Q

D

i

F (x

^′

) dx

^′

− Z

Q

f (x

^′

, α(x

^′

))D

i

α(x

^′

) dx

^′

,

(6.3)

ed essendo F (x

^′

) = 0 se x

^′

∈ ∂Q, Z

Q

D

i

F (x

^′

) dx

^′

= Z

Q

D

i

F (x

^′

)dx

1

. . . dx

n−1

=

Z Z “ Z

1

−1

D

i

F (x

^′

)dx

i

”

dx

1

. . . dx

_i−1

dx

_i+1

. . . dx

n−1

= Z Z “

F (x

1

, . . . , x

i−1

, 1, x

i+1

, . . . , x

n−1

) − F (x

1

, . . . , x

i−1

, −1, x

i+1

, . . . , x

n−1

) ” dx

₁

. . . dx

_i−1

dx

_i+1

. . . dx

_n−1

= Z Z

0 dx

1

. . . dx

i−1

dx

i+1

. . . dx

n−1

= 0.

(6.4) La (6.3) si riduce a

Z

A

D

i

f(x

^′

, x

n

) dx

^′

dx

n

= − Z

Q

f (x

^′

, α(x

^′

))D

i

α(x

^′

) dx

^′

,

e quest’ultima uguaglianza, confrontata con la (6.1), d` a il risultato per i = 1, . . . , n − 1. ⊓ ⊔

6.5 Lemma. Siano {V α } una famiglia di aperti di R ⁿ , e Ω := ∪ α V α . Allora esiste un ricoprimento localmente finito {B j } con palle B j ⊂⊂ Ω tale che B j ⊂ V α per qualche j.

Dimostrazione. Per ogni j = 1, 2, . . . sia {H

j

} una successione di compatti di Ω con H

j

⊂⊂

int (H

j+1

) tali che Ω = ∪

j

H

j

. Per comodit` a poniamo H

−1

= H

−2

= ∅. Per j := 0, 1, . . . consideriamo i compatti K

j

:= H

j

\ int (H

j−1

) e gli aperti A

j

:= int H

j+1

\ H

j−2

. Ovviamente K

j

⊂⊂ A

j

, Ω = ∪

j

A

j

e A

i

∩ A

j

= ∅ tranne che se i = j − 1, j o j + 1.

Per ogni x ∈ K

j

scegliamo λ = λ(x) tale che x ∈ V

λ(x)

e una palla B(x, r(x)) aperta con chiusura contenuta in A

j

∩ V

_λ(x)

. La famiglia {B(x, r(x))} ` e dunque un ricoprimento aperto del compatto K

j

e se ne pu` o estrarre un sottoricoprimento finito {B

j,1

, B

j,2

, . . . B

j,N_j

}. La famiglia B := {B

j,i

˛

˛

˛ j = 0, 1, . . . , i = 1, . . . N

j

} ha le propriet` a volute. ⊓ ⊔

6.6 Lemma (Partizione dell’unit` a). Sia {B j } un ricoprimento localmente finito di Ω := ∪ j B j con palle aperte. Esistono allora funzioni α j : R ⁿ → [0, 1] di classe C ^∞ , tali che

(i) α j (x) > 0 se e solo se x ∈ B j , (ii) P ∞

j=1 α j (x) = 1 ∀x ∈ Ω.

Dimostrazione. Per ogni j = 0, . . . , sia ϕ

j

∈ C

^∞

(R

ⁿ

) una funzione positiva in B

j

e nulla sul complementare. La funzione P

∞

j=0

ϕ

j

(x) ` e ben definita in Ω perch´ e localmente ` e una somma finita ({B

j

} `e localmente finito) e non `e mai nulla ({B

j

} `e un ricoprimento di Ω). Segue che le funzioni {α

j

} date da

α

j

(x) := ϕ

j

(x) P

∞

j=0

ϕ

j

(x)

hanno le propriet` a richieste. ⊓ ⊔

6.7 Osservazione. Si noti che il numero di funzioni α

j

della partizione dell’unit` a non nulle nell’intorno di un punto x ` e finito e che gli indici delle funzioni α

j

che sono non nulle in y sono gli stessi indici delle funzioni non nulle in x se y ` e sufficientemente vicino a x. Perci` o si ha anche P

∞

j=1

Dα

j

(x) = D, P

∞ j=1

α

j

(x) ”

= 0 in Ω e anche

Z

^∞

X

j=1

α

j

(x) dµ =

∞

X

j=1

Z

α

j

(x) dµ

rispetto a una qualunque misura (ad esempio µ = L

ⁿ

e µ = H

ⁿ⁻¹

).

Dimostrazione del Teorema 6.2. Ricordiamo che r(∂A) ` e l’insieme dei punti regolari di ∂A e s(∂A) := ∂A \ r(∂A). Sia ∆ un aperto limitato contenente A. Essendo s(∂A) chiuso per ipotesi, Ω := ∆ \ s(∂A) ` e aperto.

Per ogni x ∈ Ω scegliamo un intorno aperto U

x

di x nel seguente modo (i) se x ∈ Ω \ A, U

x

` e un cubo centrato in x contenuto in Ω \ A, (ii) se x ∈ A ∩ Ω, U

x

` e un cubo centrato in x contenuto in A ∩ Ω,

(iii) se x ∈ ∂A ∩ Ω, allora x ∈ r(∂A). In questo caso si sceglie U

x

come il parallelepipe- do della definizione di punto regolare, parallelepipedo che non ` e restrittivo supporre sufficientemente piccolo in modo che U

x

⊂ Ω.

La famiglia {U

x

} `e un ricoprimento di Ω. Esiste dunque, cfr. Lemma 6.5 un raffinamen- to numerabile localmente finito {B

j

} di {U

x

} con associata una partizione dell’unit` a {α

j

}, cfr. Lemma 6.6. Abbiamo tre casi

◦ se B

j

` e esterno a A, allora α

j

= 0 su A e dunque Z

A

D

i

(f α

j

) dx = 0 = Z

∂A

f ν

i

α

j

dH

ⁿ⁻¹

.

◦ se B

j

` e interno a A. allora dalla Proposizione 6.3 e dal fatto che α

j

= 0 su ∂A Z

A

D

i

(f α

j

) dx = 0 = Z

∂A

f ν

i

α

j

dH

ⁿ⁻¹

.

◦ se B

j

∩ ∂A 6= 0, allora B

j

` e contenuto in un aperto U

x

del tipo in (iii) e in questo caso f α

j

: U

x

→ R soddisfa le ipotesi della Proposizione 6.4. Segue che

Z

A

D

i

(f α

j

) dx = Z

U_x

D

i

(f α

j

) dx = Z

∂A∩U_x

f ν

i

α

j

dH

ⁿ⁻¹

= Z

∂A

f ν

i

α

j

dH

ⁿ⁻¹

. Sommando su j = 1, . . . e tenendo conto che P

∞

j=1

α

j

= 1 in Ω, che il ricoprimento {B

j

} `e localmente finito e che H

ⁿ⁻¹

(∂A ∩ Ω) = H

ⁿ⁻¹

(r(∂A)) = H

ⁿ⁻¹

(∂A) per ipotesi, si ha

Z

A

D

i

f dx = Z

A∩Ω

D

i

f dx = Z

A

∞

X

j=1

(D

i

f)α

j

dx =

∞

X

j=1

Z

A

D

i

(f α

j

) dx

=

∞

X

j=1

Z

∂A

f ν

i

α

j

dH

ⁿ⁻¹

= Z

∂A

f ν

i

∞

X

j=1

α

j

dH

ⁿ⁻¹

= Z

∂A∩Ω

f ν

i

dH

ⁿ⁻¹

= Z

∂A

f ν

i

dH

ⁿ⁻¹

.

(6.5)

⊓

⊔