Errata-Corrige al volume

Errata-Corrige al volume

M. Giaquinta, G. Modica, Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica, Pitagora editrice, Bologna 2005.

Malgrado le migliori intenzioni degli autori, il volume contiene imprecisioni ed errori. Qui di seguito sono elencati gli errori noti agli autori ad oggi e le correzioni da apportare al volume in oggetto.

Saremo grati a quanti vorranno comunicarci ulteriori errori, imprecisioni o anche critiche agli indirizzi

giaquinta@sns.it giuseppe.modica@unifi.it.

Pisa e Firenze, 9 dicembre 2007

Mariano Giaquinta Giuseppe Modica

Pagina Errore Correzione

5 14 f := u + iv f =: u + iv

16 8 P ν

k=0

P n k=0

28 5 e ^z = e ^x (cos y + i sin y) e ^z := e ^x (cos y + i sin y)

10 ¹⁴ w = x + iy z = x + iy

10 ¹⁵ `e un cerchio o un rettan- golo

`e un rettangolo

10 ¹⁸ f e F ∈ C ⁰ (Ω, C) f ∈ C ⁰ (Ω, C) e F : Ω → C

11 10 [0.2π] [0, 2π]

12 ¹⁴ univocamete univocamente

15 ⁷ z ^j x ^j

15 ¹³ f (x) 6= P ∞

n=0 f (x) 6= P ∞

j=0

15 9,11 if se

15 2 x 6= 1 x 6= −1

16 ^{5 |x|} _n+1

^|x| _n+2

19 ² 

α − ^π ₄  

4α − ^π ₄ 

19 Figura ¹¹ 3.141592653589793 3.141592653589793 . . . 19 16

 4

5

− ₂₃₉ ¹

 

4

5

− ₂₃₉ ¹

 20 Figura ¹¹ 2.718281828459045 2.718281828459045 . . .

22 ¹⁴ P ∞

n=o

P ∞ n=0

23 ² { P p

k=0 |x k |} p { P p

k=0 |x k |}

23 ⁹ , Procedendo , procedendo

24 4

p |a k

|z|

p

|a k

||z|

27 8 = R z

0 = R x

0

28 ^4,6 if se

28 ⁵ α(a − 1) α(α − 1)

28 ¹⁰ as n → ∞ per n → ∞

29 ² per l’origine con centro nell’origine 29 ³ |e ^z | ≤ e ^x |e ^z | = e ^x

29 ³ gni ogni

31 9 z

n+1 dz, ^z _n+1

,

32 ¹⁵ − sin x sinh y −i sin x sinh y 33 ^{4 1} _{3 n+1} ¹ − ¹ _{3 n−2} ¹ − ¹ _{3 n+1} ¹ + ¹ _{3 n−2} ¹

33 ⁶ _3z ¹ − _3z ¹

33 ⁶ − ^z ₃

+ ^z ₃

33 ⁷ = _3z ¹ = − _3z ¹

33 ⁷ + ^z ₃

log(1 − z) − ^z ₃

log(1 − z)

33 ¹⁴ = _1−z ^z

= _(1−z) ^z

33 ¹¹ R

γ

log(1−t)

t dt − R

γ log(1−t)

t dt

33 3 P ∞

n=0 z

n

P ∞ n=1 z

n

33 2 P ∞

n=0 z

n(n+1)

P ∞ n=1 z

n(n+1)

33 1 P ∞

n=0 z

n

P ∞ n=1 z

n

35 3,4 if se

35 8 1

1−z . . . |z| < 1,

37 8 x → 1 x → 1 ⁻

39 7 Teorema 6.5 Teorema 6.4

40 ⁹ P ∞

n=1

P ∞ n=0

40 6 Corollario 6.7 Teorema 6.4

40 8 B(0.ρ) B(0, ρ)

41 ⁵ P ∞

k=n

P ∞ n=k

41 ¹⁶ P n

k=1 a n w ⁿ P n

k=1 a k w ^k

41 1 P (x)Q(x) P (z)Q(z)

42 10,12 if se

43 ¹¹ P ∞

j=0 b j .. P ∞

j=0 b j .

43 2 P

i+j=k a j b j P

i+j=k a i b j

44 5 P n i=1

P n i=0

44 5  P n

j=1 b j z ^j w ^−j )  P n

j=0 b j z ^j w ^−j  45 ² P n

i=1

P n i=0

45 ⁴ = _2π ¹ R 2π

0 e ^ikt dt = =

47 11 si abbia si ha

47 9 sia `e

47 7 domini piccoli domini “piccoli”

48 ⁶ F (γ(t)) = F (γ(1)) − F (γ(0))

F R (γ(t)) dt = F R (γ(1)) − F R (γ(0))

48 6 ammissibile elementare

48 6..3 opposta. opposta quando si percorre in

senso antiorario ∪ i ∂A i .

49 ⁷ f (z), dz f (z) dz

49 7 Poich´e i segmenti Poich´e gli integrali sui segmenti 50 ⁷ |z − z ^∗ | dz |z − z ^∗ | ds

50 ¹⁰ ammissibili elementari

50 12 H(Ω) H(Ω \ {z 0 })

51 ⁹ _(ζ−z) ¹ dz _(ζ−z) ¹ dζ

51 ⁹ _(ζ−z) ^{f (ζ)}

dz _(ζ−z) ^{f (ζ)}

dζ

52 ¹⁴ ammissibili . . . . . . . elementari per Ω \ {z 0 }.

53 ³ un un intorno un intorno

55 11 d Liouville di Liouville

56 2 f (z 0 + re ^iθ ) f (z 0 + ρe ^iθ )

57 ³ per |f |. Ovviamente per |f |. Se f (z 0 ) = 0 la conclusio- ne `e ovvia. Se f (z 0 ) 6= 0, `e suffi- ciente provare il teorema quando f (z 0 ) = |f (z 0 )| = 1. In questo caso

57 9 B(x 0 , r) B(z 0 , r)

59 ³ descrivono i campi descrivono alcuni campi

60 ⁴ u y = v x u y = −v x

60 ⁵ u x = −v y u x = v y

61 10 f (e

) e

f (z+re

) e

61 10 R 2π

0 f (e ^ikt ) dt R 2π

0 f (z + re ^ikt ) dt

61 8 ammissibile per Ω. elementare per Ω e sia f ∈ H(Ω).

63 1 se z = 0 se z = z 0

64 ² h(0) h(z 0 )

65 ³ se e solo se e solo se

65 ⁶ un punto singolare isolato una singolarit`a isolata 65 10 infinito. se infinito, se

66 8 1/ρ 2 1/ρ 1

66 1 A(z 0 , ρ 1 , ρ 2 ). A(z 0 , ρ 1 , ρ 2 ), 67 ¹ A(z 0 , ρ 1 , ρ 2 ), A(z 0 , ρ 1 , ρ 2 ).

67 ¹⁰ R

∂B(z

,r)

R

∂

B(z

,r)

67 12 = _z−z ⁻¹

0

P ∞ k=0

 ζ−z

z−z

 k

= − P ∞ k=0

(ζ−z

)

(z−z

)

67 15 ζ ∈ B(z 0 , r 2 ) ζ ∈ ∂B(z 0 , r 2 ) 67 14 = _ζ−z ¹ P

= _ζ−z ¹

0

P

67 10,13 totalmente uniformemente

67 1 f (ζ) (ζ−z)

f (ζ) (ζ−z)

68 3 dominio ammissibile per dominio con A ^c elementare per

68 7 ammissibile elementare

68 9 Res (f, ∞) == Res (f, ∞) :=

68 9 R

∂B(0,r))

R

∂B(0,r)

68 10 A ⊂ B(z 0 , r) A ⊂ B(0, r) 69 5 un polo semplice uno zero semplice 70 ¹⁰ lim z→z

. . . (z 0 ). lim z→z

. . . .

71 ⁷ ammissibile. elementare per Ω.

71 9 1

2 (z − ¹ _z ) _2i ¹ (z − ¹ _z )

72 6 π

a e ^αa _|a| ^π e ^−α|a|

74 ⁵ R ∞

0 x

1+x

dx = ¹ _p . . . . R ∞ 0

x

1+x

dx = ^π _{q sin(π} ¹

) .

74 1 r dt = r dθ =

74 1 r dt ≤ r dθ ≤

74 1 π

2ω

π ωr

74 15 = 2π i = −2π i

74 11 → C Sia → C e tale che |f (z)| → 0 per

|z| → ∞. Sia

74 10 Figura. Figura 11.1.

74 7 ir dθ ire ^iθ dθ

74 9 f (z)e ^iωx dz f (z)e ^iωz dz 75 ⁶ Res (f, z) Res (f (z)e ^iωz , z) 75 ¹¹ = Res (f, i) = = 2πi Res (f, i) = 75 7 Da queste sommando e

sottraendo ritrovare

Analogamente, si provino

75 6 a, b > 0. α, β > 0.

75 6 e ^−ab e ^−αβ

75 4 sin x

x = ^{sin x} _x dx =

76 ³ g(z 0 ) g(0)

76 ³ Res 

g(z) z , z 

Res 

g(z) z , 0 

76 8 e ^ir

^θ

e ^ir

^e

76 7 i(cos θ . . . r ² sin 2θ) e ^2iθ = cos 2θ + i sin 2θ

76 7 interale integrale

77 F igura per l calcolo per il calcolo

77 10 calolare calcolare

78 ⁷ ]pi π

78 14 in Q n fuori di Q n

78 15 ≤ n + 1/2)} ≤ n + 1/2}

78 13 cot(πz)) → 0 cot(πz), z 

→ 0 78 10

 = f (k) , k 

= f (k) 78 4,4,2 P ∞

i=1

P ∞ n=1

83 2 J. H. Hopcropft J. E. Hopcroft

83 5 a = β α = β

83 ⁹ funzione positiva funzione positiva nondecrescente

84 ⁸ C := τ T (1) + B _τ

^τ −1 C := τ ^α T (1) + B _1−τ ¹

84 ¹⁰ C := τ T (1) + B _τ

^τ −1 C := τ ^α T (1) + B _1−τ ¹

84 ¹⁴ τ ^k

τ ^kα

85 ¹¹ siamo siano

85 ¹³ nonnegativi non negativi

85 14 u 1 , u 2 , . . . , u n x 1 , x 2 , . . . , x n

86 ² P n k=1

P n i=1

87 ⁹ P (A 1 ), . . . P (A n ) P (A 1 ), . . . , P (A n ) 88 ¹ ≤ P n

i=1 ϕ(x i ) ≤ ¹ _n P n

i=1 ϕ(x i )

89 ¹⁰ , (k + 1)k] , (k + 1)h]

89 10 f n {f n }

89 1 ∀n ≥ 1 ∀n ≥ 0

91 ¹¹ λ ⁿ (2aλ + b) λ ⁿ⁺¹ (2aλ + b)

93 ⁴ sistena sistema

98 ¹⁰ (Prodotto) (Prodotto di convoluzione)

98 ¹⁷ w ⁿ ) w ⁿ 

98 15 (Prodotto di convoluzio- ne)

(Prodotto)

99 ² z }| { 0, . . . , 0

k

k

z }| { 0, . . . , 0

99 1 P ∞

n=k

P ∞ n=1

100 12 a n n sin(ωn) a n = n sin(ωn)

104 ³ |z| > ρ |z| < ρ

104 ⁵ componente di S componente di S(z) := F (1/z) 104 ⁵ |z| > r |z| > r := 1/ρ

104 ⁶ z ⁿ⁻¹ F (z) z ⁿ⁻¹ S(z)

104 ⁷ le componenti di F (z) le componenti di S(z)

104 ⁸ z ⁿ⁻¹ F (z) z ⁿ⁻¹ S(z)

104 6 F n z ^k F n z ⁿ

104 4 |z| > ρ |z| < ρ

105 6 P n−1 k=0

P n k=0

105 15 1 z

1 z

105 3 1

z

1 z

106 1 ∀n. ∀n ≥ 1.

106 1 P n−1 k=0

P n j=0

107 ^8,15 d(T x, T y) d(T (x), T (y)) 108 ¹⁵ |g(x 2 ) − g(x 1 ) |g(x 2 ) − g(x 1 )|

108 6 x n + M ⁻¹ φ(x n )+ x n − M ⁻¹ φ(x n )+

110 ¹⁰ F : [0, T ] → F : [a, b] →

110 ¹¹ DF (0) MF (0)

110 ¹⁸ φ(x) = y f (x) = y

115 ⁸ t ^t t ⁿ

117 ⁷ , ≤ ||GA|| ≤ ||A||

127 ⁷ ∈ K ⁿ ;” ∈ K ⁿ ”;

128 ^1,2,4 + . . . + · · · +

129 ⁷ , . . . , . . . ,

129 14 + . . . + · · · +

130Figura a ^p ₁ , . . . a ^p _n a ^m ₁ , . . . , a ^m _n

130 1 K ^m K ⁿ

131 ³ q × p p × q

131 ^2,3 BA AB

137 ¹² ( x • e j )e j ( x • v j )v j

141 ¹⁰ ∀x, y ∈ X ∀x, y, z ∈ X

142 ¹⁴ Dati k vettori

v 1 , v 2 , . . . , v n ∈ K

Dati n vettori v 1 , v 2 , . . . , v n

144Figura E ⁻¹ E

144Figura E E ⁻¹

145Figura E ⁻¹ E

145Figura E E ⁻¹

145Figura F ⁻¹ F

145Figura F F ⁻¹

145 11 ℓ : X → X ℓ : X → Y

147 ¹¹ s ∈ C s ∈ K

147 17 dall’identit` a non da ± Id non

148 4 1

λ

1 λ

149 ⁷ l’operatore . . . z → Az. l’operatore z → Az.

149 ⁸ M n,n (C) M n,n (K)

149 ¹⁰ B = S ⁻¹ AS B = SAS ⁻¹

149 3 = 0 6= {0}

153 ⁷ Span n

u 2 , . . . , u n

o Span n

u 1 , u 2 , . . . , u n

o

154 ⁵ ≥ n. Essendo ≥ n e quindi P k

i=1 dim V λ

= n.

Essendo

155 ⁸ ha ha λ i ha λ i

155 ¹¹ com con

156 ¹ J 1,2 J 2,1

156 2 (0, 0, 1, −1, −1) ^T (0, 0, 1, −1, 1) ^T 156 5 V 2 degli autovalori V 2 degli autovettori 157 ¹ colonna (0, 0, 1, −1, −1) colonna (0, 0, 1, −1, +1) 157 ² (0, 1, 0, −1, 0) ^T (0, 1, 0, −1, 2) ^T

157 ³ colonna (0, 1, 0, −1, 0) colonna (0, 1, 0, −1, 2) 157 ⁴ (1, 0, 0, −1, 0) ^T (1, 0, 0, −1, 2) ^T

157 ⁹ −y x − y

157 3 riga −1, 0, 0, 1, 0 riga 1, 2, 2, 1, 0

160 6 (i) (ii) (iii) (a) (b) (c)

160 9 x = −ty, Resta x = −ty. Resta

160 8 −t = (x|y) −t|y| ² = (x|y)

161 7 z, w ∈ V z, w ∈ X

162 ⁵ Si calcolare Si pu` o calcoloare 164 ⁶ P k

j=1

P n j=1

164 4 |z − x + tw| ² |z − x + te ^iϕ w| ² 164 ¹¹ (ii) x − z (ii) z ∈ V e x − z 164 ¹³ P n

i=1 (x|e i )(e i |e j )) P n

i=1 (x|e i )(e i |e j )

165 ³ ortonornale ortonormale

165 ^21,22 lineare. Allora lineare, allora

166 ⁴ infattti infatti

166 19,20 b : X → X → R b : X × X → R

166 19 uo uno

167 ⁴ Fissate le base Fissata la base

168 ² se λ se ℓ

170 ⁸ M n,n (R) M n,n (C)

170 ⁸ Dalla Teorema Dal teorema

170 ¹⁵ z ⁱ , = P

z ⁱ = P

171 ⁴ ∀x, y ∈ X, ∀x, y ∈ X.

171 ¹⁸ S ^T AS S ^T AS

171 6 da (ii) Proposizione 22.4 da (ii) Proposizione 22.5 173 ¹⁰ di autovalori di autovettori

173 ¹⁵ λ max , |x| ² λ max |x| ²

175 ¹⁰ φ(x) φ(x)

179 13 λ i δ ij λ i |u i | ² δ ij

181 21 A : X → X A : X → Y

181 2 A = SU A = SU ^∗

181 ¹¹ spazo spazio

182 ⁸ si osserva che che si osserva che 182 ¹⁰ µ i (e i |e j ) = µ i δ ij µ ² _i (e i |e j ) = µ ² _i δ ij

182 16 corrisonpenti corrispondenti 183 ³ , la decomposizione e la decomposizione

184 ⁸ A ^∗ Q = Q A ^∗ Q = A ^∗

184 ¹⁹ se A = (A ^∗ A) ^1/2 U ^∗ se A = (AA ^∗ ) ^1/2 U ^∗

184 14 esperimento b. esperimento y 1 , y 2 , . . . , y m . 184 13 i dati b 1 , b 2 , . . . , b m i dati y 1 , y 2 , . . . , y m

184 10 i parametro il parametro

184 2 la funzione la funzione C : X → R ⁿ

la funzione C : X → R

184 1 |Ax − y| Y |Ax − y| ² _R

185 ⁸ A ^∗ (Ax − b) = 0 A ^∗ (Ax − y) = 0 185 ¹² distanza da b distanza da y 185 10 Im A = ker A ^∗ Im A ^∗ = ker A ^⊥

192 15 periodo ω pulsazione ω

194 ¹⁷ c j c k

196 ^{8 c} _z

c j z ^j

197 ⁴ sin t/2 sin(t/2)

197 4 dalla (iv) della dalla (v) della

199Figura C C ⁻¹

199Figura C ⁻¹ C

200 ¹² := P N −1

j=0 := _N ¹ P N −1

j=0

200 −16 := P N −1

j=0 := _N ¹ P N −1

j=0

200 −15 := _N ¹ P N −1

j=0 := P N −1

j=0

204 4 , dalla Proposizione 24.21 segue

dal teorema di convergenza in energia, Teorema 27.4, segue 206 ⁷ 0 > x < π 0 < x < π

220 13 f (x+t)−L

(x)

t = M ⁻ (x) ^{f (x+t)−L} _t

^(x) = M ⁻ (x) 220 8 f (x

+t)−L

(x

)

t = M ⁻ (x i ) ^{f (x}

^+t)−L _t

^(x

⁾ = M ⁻ (x i )

220 2 L ⁽ x) L ⁻ (x)

223 ⁴ Fiisiamo Fissiamo

226 ³ teorema di teorema teorema

226 ¹⁵ γ e g ǫ

226 ¹⁶ γ ǫ g ǫ

227 ⁷ | P n

k=−n |c k (f )| ² P n

k=−n |c k (f )| ²

227 ¹⁰ Fg F(g)

5 ³ λw λw ∀w ∈ C

16 5 x

2k+1 dt+ ^x _2k+1

+

44 2 s n (w) dw s n (w) _w ¹ dw

45 ¹ s n (w) dw s n (w) _w ¹ dw

63 14 H(Ω)) H(Ω)

67 ¹¹ indentit` a identit` a

70 10 h m (z) := g m (z) :=

137 ¹¹ x ∈ X x ∈ R ⁿ

144 7 le cui la cui

159 11 . Mostrare , mostrare

163 ⁷ e ^′ ₁ := e 1 :=

165 8 F := L(x)x F := L(x)x

185 2 L(y) := y • w L . L(y) = y • w L ∀y ∈ X.

149 ¹¹ B = SAS ⁻¹ B = S ⁻¹ AS

173 20 (i) Essendo Essendo

174 ¹² alla restrizioni alle restrizioni

176 ¹⁸ +bxy +2bxy

206 ¹ P [n/2]

k=−[n/2]

P [n/2]

k=0

206 9 P n

k=−n

P [n/2]

k=0

Infine, il lettore trover` a utile la seguente illustrazione del teorema dell’alter-

nativa, da inserire a pg. 168.

ker A

= Im A

ker A

Im A = (ker A

)

X Y

1 − 1 ker A

0 0