Invarianza SO(4) dell'atomo d'idrogeno
S opo e primi passi
Vogliori ostruireilruolodiSO(4)neglistatielivellidell'atomod'idrogeno.
Resto nell'approssimazione non relativisti a e senza spin. La hamiltomiana si
s rive
H = 1
2m p
2 e
2
q
: (1)
Ilmomentoangolare e
J=qp (2)
e il vettoredi Lenz
L = 1
2m
(pJ Jp) e 2
q
q
= 1
m
(pJ+ihp) e 2
q
q
(3)
Si sa he J eL sono ostanti del moto:
[H;J℄=[H;L℄=0:
Relazioni di ommutazione
Il ommutatoredelle omponenti di Je noto:
[J
i
;J
j
℄=ih"
ijk J
k
: (4)
An he [J
i
;L
j
℄ e noto:
[J
i
;L
j
℄=ih"
ijk L
k
: (5)
None sempli e ri avare
[L
i
;L
j
℄= i"
ijk J
k 2h
m
H (6)
(magariesisteunaderivazionesempli e,manonla onos o). Questa, onfrontata
on le (4) ed(5), suggeris e di de nire
K= r
m
2
( H) 1=2
L (7)
e de nito negativo). Allora l'insieme delle relazioni di ommutazione diventa,
in aggiunta alla (4)
[J
i
;K
j
℄=ih"
ijk K
k
[K
i
;K
j
℄=ih"
ijk J
k
: (8)
Le(4),(8)de nis onol'algebradiLiediSO(4), hequindiegruppod'invarianza
di H.
Si noti he quest'invarianza, a di erenza di quella SO(3) he ne e un sot-
togruppo, non si puo interpretare ome una trasf. di oordinate, a ausa della
omparsa di q a anto a p nella de nizione di K, da ui segue he i generato-
riK
i
agis ono sup oltre hesu q. In altritermini, abbiamoun'invarianzadella
hamiltonianama non della lagrangiana (rispetto a una trasf. delle sole q
i ).
Rappresentazioni di SO(4)
Conviene de nire
M +
= 1
2
(J+K) M =
1
2
(J K):
Abbiamo
[M +
i
;M +
j
℄= 1
4 ([J
i
;J
j
℄+[J
i
;K
j
℄+[K
i
;J
j
℄+[K
i
;K
j
℄)
= i
4
h"
ijk (J
k +K
k +K
k +J
k
)=ih"
ijk M
+
k
[M
i
;M
j
℄= 1
4 ([J
i
;J
j
℄ [J
i
;K
j
℄ [K
i
;J
j
℄+[K
i
;K
j
℄)
= i
4
h"
ijk (J
k K
k K
k +J
k
)=ih"
ijk M
k
[M +
i
;M
j
℄= 1
4 ([J
i
;J
j
℄ [J
i
;K
j
℄+[K
i
;J
j
℄ [K
i
;K
j
℄)=0:
Si vede he le omponenti di M +
e quelle di M generano due algebre di
LiediSO(3),A +
,A , he ommutanotraloro. Quindilerappresentazioniirrid.
dell'algebraA di SO(4)sono prodotti diretti dirappr. irrid. di queste:
D (j
+
j )
=D (j
+
)
D (j )
:
Gli invarianti di Casimir di A sono due:
jM +
j 2
= 1
4 jJj
2
+jKj 2
+2JK
jM j 2
= 1
4 jJj
2
+jKj 2
2JK
ovvero
jJj 2
+jKj 2
e JK:
Perodalle(2),(3)sivede heJK=0,quindi hejM j =jM j . Nesegue he
lesole rappr.ammesse sonoquelle D (j;j)
(j =0;
1
2
:::), di dimensione(2j+1) 2
.
Essendo
J=M +
+M
nellarappr.D (j;j)
gliautovalori dijJj 2
sonol(l+1)h 2
onl interoe0l 2j.
Quelli dijM +
j 2
, jM j 2
sonouguali e valgonoj(j+1)h 2
.
La rappr. D (j;j)
orrisponde a un autovalore degenere di H. Si sa he tali
autovalori sono
E
n
=
me 4
2n 2
h 2
on degenerazione n 2
. Quindi n=2j +1 e
(2j+1) 2
=
me 4
2E
n
h 2
:
Ne segue
jJj 2
+jKj 2
=4j(j +1)h 2
=[(2j+1) 2
1℄h 2
= me
4
2H
h 2
:
Usando la (7):
jJj 2
m
2H jLj
2
= me
4
2H
h 2
jLj 2
= 2
m
H jJj 2
+h 2
+e 4
: (9)
