ANALISI MATRICIALE DEL TELAIO RIPORTATO IN FIGURA - Dott. Ing. Simone Caffè - 2015
Eseguire l'analisi matriciale del telaio riportato nella seguente figura. Si utilizzi un materiale avente modulo di elasticità pari a 30000 MPa e coefficiente di dilatazione termica pari a 1x10-5 1/°C. Si consideri un'interasse tra i telai pari a 6 m. Si esegua inoltre l'analisi modale al fine di determinare gli autovalori e gli autovettori del sistema.
I carichi da applicare di volta in volta al telaio saranno esplicitati nel seguito.
Interasse dei telai:
i:=6.00⋅m
PASSO 1: Definizione dei materiali
Poichè l'analisi sarà svolta utilizzando l'ipotesi di "trave alla Bernouilli"
che trascura, nella soluzione, l'influenza della deformazione a taglio,
la definizione del materiale si esegue fissando unicamente il modulo i Young, il coefficiente di dilatazione termica ed il peso specifico.
Modulo di Young:
E:=30000⋅MPa
Coefficiente di dilatazione termica:
α 1 10⋅ −5 1
⋅C :=
Peso per unita di volume:
γcls 25 kN m3
⋅ :=
PASSO 2: Definizione delle coordinate dei nodi
Le coordinate dei nodi vengono assegnate con riferimento alla "terna globale" degli assi, in figura evidenziata in azzurro.
Nodo 1: x1:=0.00⋅m z1:=0.00⋅m Nodo 2: x2:=0.00m z2:=7.00⋅m Nodo 3: x3:=5.00⋅m z3:=10.00⋅m Nodo 4: x4:=10.00⋅m z4:=7.00⋅m Nodo 5: x5:=10.00⋅m z5:=0.00⋅m
PASSO 3: Definizione degli elementi del sistema
Poichè le sezioni trasversali degli elementi del telaio sono "rettangolari", per determinare l'area ed il momento principale di inerzia, sarà sufficiente definirne altezza e larghezza.
L'angolo di inclinazione dell'elemento deve essere definito sempre in "senso antiorario" ed in funzione della posizione dei relativi assi locali "rispetto all'orizzontale". In questo modo esso avrà sempre segno positivo.
Elemento 1: Elemento 2:
h1:=0.4⋅m h2:=0.6⋅m
b1:=0.4⋅m b2:=0.3⋅m
θ1:=90° θ2 atan
z3−z2 x3−x2
=30.9638⋅°
:=
A1:=h1⋅b1= 0.16m2 A2:=h2⋅b2= 0.18m2
Area della sezione: Area della sezione:
Inerzia della sezione: I1
b1⋅h13
12 =0.00213m4
:= Inerzia della sezione: I2
b2⋅h23
12 =0.0054m4 :=
Lunghezza dell'elemento: L1:= (x2−x1)2+(z2−z1)2= 7m Lunghezza dell'elemento: L2:= (x3−x2)2+(z3−z2)2= 5.831m
Elemento 3: Elemento 4:
h3:=0.6⋅m h4:=0.4⋅m
b3:=0.3⋅m b4:=0.4⋅m
θ4:=270°
θ3 360° atan z4−z3 x4−x3
+ = 329.0362⋅° :=
A3:=h3⋅b3= 0.18m2 A4:=h4⋅b4= 0.16m2
Area della sezione: Area della sezione:
Inerzia della sezione: I3
b3⋅h33
12 =0.0054m4
:= Inerzia della sezione: I4
b4⋅h43
12 =0.00213m4 :=
Lunghezza dell'elemento: L3:= (x4−x3)2+(z4−z3)2= 5.831m Lunghezza dell'elemento: L4:= (x5−x4)2+(z5−z4)2= 7m
PASSO 4: Costruzione delle matrici di rigidezza dei singoli elementi riferite al sistema di assi locali
Le matrici di rigdezza riferite agli assi locali dell'elemento devono già tenere in considerazione la presenza di eventuali "sconnessioni interne", pertanto la matrice di rigidezza locale dell'elemento 3 sarà quella tipica di un elemento "truss" o di un'elemento "beam incernierato alle estremità". Le matrici di rigidezza locali non devono tenere in considerazione i vincoli esterni.
Si fa inoltre presente che tali matrici devono essere adimensionalizzate, dal momento che le varie rigidezze interne possiedono unità di misura differenti tra loro.
Elemento 1:
xi zi i xj zj j
xi
3 2 3 2 zi
2 2 i
BEAM
xj
3 2 3 2 zj
2 2 j
u u u u
EA EA
0 0 0 0 u
L L
12EI 6EI 12EI 6EI
0 0 u
L L L L
6EI 4EI 6EI 2EI
0 0
K L L L L
EA EA
0 0 0 0 u
L L
12EI 6EI 12EI 6EI
0 0 u
L L L L
6EI 2EI 6EI 4EI
0 0
L L L L
φ φ
φ
φ
−
−
−
≡
−
− − −
−
K1_LOC
E A⋅ 1 L1
m N
⋅
0
0
−E⋅A1 L1
m N
⋅
0
0
0
12⋅E⋅I1 L13
m N
6⋅E⋅I1 L12
1 N
0
−12⋅E⋅I1 L13
m N
6⋅E⋅I1 L12
1 N
0
6⋅E⋅I1 L12
1 N
4⋅E⋅I1 L1
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
2⋅E⋅I1 L1
1 N m⋅
−E⋅A1 L1
m N
⋅
0
0
E A⋅ 1 L1
m N
⋅
0
0
0
−12⋅E⋅I1 L13
m N
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
0
12⋅E⋅I1 L13
m N
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
0
6⋅E⋅I1 L12
1 N
2⋅E⋅I1 L1
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
4⋅E⋅I1 L1
1 N m⋅
:=
Elemento 2:
K2_LOC
E A⋅ 2 L2
m N
⋅
0
0
−E⋅A2 L2
m N
⋅
0
0
0
12⋅E⋅I2 L23
m N
6⋅E⋅I2 L22
1 N
0
−12⋅E⋅I2 L23
m N
6⋅E⋅I2 L22
1 N
0
6⋅E⋅I2 L22
1 N
4⋅E⋅I2 L2
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I2 L22
1 N
2⋅E⋅I2 L2
1 N m⋅
−E⋅A2 L2
m N
⋅
0
0
E A⋅ 2 L2
m N
⋅
0
0
0
−12⋅E⋅I2 L23
m N
−6⋅E⋅I2 L22
1 N
0
12⋅E⋅I2 L23
m N
−6⋅E⋅I2 L22
1 N
0
6⋅E⋅I2 L22
1 N
2⋅E⋅I2 L2
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I2 L22
1 N
4⋅E⋅I2 L2
1 N m⋅
:=
Elemento 3:
xi zi i xj zj j
xi
zi
TRUSS i
xj
zj
j
u u u u
EA EA
0 0 0 0 u
L L
0 0 0 0 0 0 u
0 0 0 0 0 0
K
EA EA
0 0 0 0 u
L L
0 0 0 0 0 0 u
0 0 0 0 0 0
φ φ
φ
φ
−
≡
−
K3_LOC
E A⋅ 3 L3
m N
⋅
0 0
−E⋅A3 L3
m N
⋅
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
−E⋅A3 L3
m N
⋅
0 0 E A⋅ 3
L3 m N
⋅
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
:=
Elemento 4:
K4_LOC
E A⋅ 4 L4
m N
⋅
0
0
−E⋅A4 L4
m N
⋅
0
0
0
12⋅E⋅I4 L43
m N
6⋅E⋅I4 L42
1 N
0
−12⋅E⋅I4 L43
m N
6⋅E⋅I4 L42
1 N
0
6⋅E⋅I4 L42
1 N
4⋅E⋅I4 L4
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
2⋅E⋅I4 L4
1 N m⋅
−E⋅A4 L4
m N
⋅
0
0
E A⋅ 4 L4
m N
⋅
0
0
0
−12⋅E⋅I4 L43
m N
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
0
12⋅E⋅I4 L43
m N
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
0
6⋅E⋅I4 L42
1 N
2⋅E⋅I4 L4
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
4⋅E⋅I4 L4
1 N m⋅
:=
PASSO 5: Costruzione delle matrici di trasformazione (o di rotazione) e scrittura delle matrici di rigidezza nel sistema Globale
Per scrivere le matrici di rigidezza dei singoli elementi nel sistema di coordinate globali è necessario introdurre le matrici " T " di trasformazione:
Elemento 1: Elemento 2:
T1
cos θ( )1
sin θ( )1
− 0 0 0 0
sin θ( )1
cos θ( )1
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos θ( )1
sin θ( )1
− 0
0 0 0 sin θ( )1
cos θ( )1
0 0 0 0 0 0 1
0
−1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
−1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
=
:= T2
cos θ( )2
sin θ( )2
− 0 0 0 0
sin θ( )2
cos θ( )2
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos θ( )2
sin θ( )2
− 0
0 0 0 sin θ( )2
cos θ( )2
0 0 0 0 0 0 1
0.86
−0.51 0 0 0 0
0.51 0.86 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.86
−0.51 0
0 0 0 0.51 0.86 0
0 0 0 0 0 1
= :=
Elemento 3: Elemento 4:
T3
cos θ( )3
sin θ( )3
− 0 0 0 0
sin θ( )3
cos θ( )3
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos θ( )3
sin θ( )3
− 0
0 0 0 sin θ( )3
cos θ( )3
0 0 0 0 0 0 1
0.86 0.51 0 0 0 0
−0.51 0.86
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.86 0.51 0
0 0 0
−0.51 0.86
0 0 0 0 0 0 1
=
:= T4
cos θ( )4
sin θ( )4
− 0 0 0 0
sin θ( )4
cos θ( )4
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos θ( )4
sin θ( )4
− 0
0 0 0 sin θ( )4
cos θ( )4
0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
−1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0
−1 0 0
0 0 0 0 0 1
= :=
NOTA:
Per costruire le matici di trasformazione, si devono proiettare gli spostamenti generalizzati scritti nel sistema globale, su quello locale.
La scrittura della matrice di rigidezza riferita ad assi locali, nel sistema di assi globali, avviene attraverso la seguente trasformazione di coordinate:
T
GLOB LOC
K ≡ ⋅ T K ⋅ T
Elemento 1:
K1_GLOB T1T⋅K1_LOC⋅T1
2239067 0 7836735
−
2239067
−
−0 7836735
−
0 685714286
0
−0 685714286
− 0
7836735
− 0 36571429
7836735
−0 18285714
2239067
−
−0 7836735 2239067
0 7836735
−0 685714286
−
−0 0 685714286
−0
7836735
− 0 18285714
7836735
−0 36571429
= :=
Elemento 2:
K2_GLOB T2T⋅K2_LOC⋅T2
683545887 404244122 14708526
−
683545887
−
404244122
−
14708526
−
404244122 252352157 24514210 404244122
−
252352157
−
24514210
14708526
−
24514210 111131083
14708526 24514210
−
55565542
683545887
−
404244122
−
14708526 683545887 404244122 14708526
404244122
−
252352157
−
24514210
−
404244122 252352157 24514210
−
14708526
−
24514210 55565542 14708526 24514210
−
111131083
= :=
Elemento 3:
K3_GLOB T3T⋅K3_LOC⋅T3
680950265 408570159
− 0 680950265
−
408570159 0
408570159
−
245142095 0 408570159
245142095
− 0
0 0 0 0 0 0
680950265
−
408570159 0 680950265
408570159
− 0
408570159 245142095
− 0 408570159
−
245142095 0
0 0 0 0 0 0
= :=
Elemento 4:
K4_GLOB T4T⋅K4_LOC⋅T4
2239067 0 7836735
2239067
−
−0 7836735
0 685714286
−0
−0 685714286
−
−0
7836735
−0 36571429
7836735
− 0 18285714
2239067
−
−0 7836735
− 2239067
0 7836735
−
−0 685714286
− 0 0 685714286
0
7836735
−0 18285714
7836735
− 0 36571429
= :=
