A esterno) è ed(A0o0

1

Cenni di topologia in ℜ .

Sottoinsiemi di

ℜ

: INTERVALLI.

[ ] a , b : = { x ∈ ℜ : a ≤ x ≤ b }

CHIUSO

( ) { a , b : = x ∈ ℜ : a < x < b }

APERTO

] [ ^{a, b} ( a , b ] e [ a , b )

né chiusi né aperti.

Definizione di INTORNO. Si definisce intorno di centro

x

₀ e raggio

δ > 0

l’insieme :

I ( x

₀

, δ ) : = { x ∈ ℜ : x − x

₀

< δ }

.

Definizione. Un punto

x

₀si dice interno all’insieme A (nel nostro caso A indica un intervallo della retta reale) se esiste un suo intorno

I ( x

₀

, δ )

contenuto in A.

Un punto

x

₀si dice esterno ad A se è interno al complementare di A.

Un punto

x

₀si dice di frontiera per A se non è né interno né esterno ad A.

A per frontiera di

punti dei

insieme )

FA (oppure A

A ad interni punti

dei insieme A

o

=

∂

=

Osservazione:

- se

A

₀

∈ A

o

0

∈ ⇒ x

x

- se

A ( ed è esterno)

₀

A

o

0

∉ ⇒ x ∉

x

- se

A.

di are complement del

punti sia

A di punti sia

contiene

) I(

caso ogni in A, oppure

A

o aversi può

allora

A

_{0 0 0}

0

x x x

x ∈ ∂ ∈ ∉ ∀

ESEMPIO

. A=(a,b) ogni punto di A è interno. a e b sono di frontiera

. A=[a,b) ogni punto di A, tranne a, è interno. a e b sono di frontiera.

. A=(a,+∞) ogni punto di A è interno. a è l’unico punto di frontiera.

2

Definizione.

x

₀è punto di accumulazione per A se in

∀ I ( x

₀

, δ )

esiste un punto di A diverso da

x

₀( cioè in ogni intorno di

x

₀ esistono infiniti punti di A).

DA= derivato di A è l’insieme dei punti di accumulazione per A.

Osservazione.

- Se

x

₀

∈ D A

allora può aversi

x

₀

∈ A

oppure

x

₀

∉ A

. - Se

x

₀

A x

₀

D A

.

o

⇒ ∈

∈

Se

x

₀

∉ D A

allora

x

₀si dice isolato.

Se

D A = Φ

(insieme vuoto) allora A si dice discreto. Es.

A : = { 1,2,3,4 }

. Se

D A = A

allora A si dice perfetto. Es A:=[a,b]

Definizione.

A ⊆ ℜ

è aperto se ogni

x ∈ A

è punto interno cioè se

A A .

=

o

A si dice chiuso se il suo complementare è aperto.

Φ

ℜ e

sono gli unici insiemi sia aperti che chiusi.

Definizione. Si definisce chiusura di A e si indica

A

, l’insieme:

A ∪ ∂ A

.

A è chiuso

⇔ A = A

.

Definizione.

A ⊂ ℜ

è limitato se

∃ I(0, r)

che lo contiene.

Teorema di Bolzano Weierstrass.

Ogni (in generale ) limitato e infinito, possiede almeno un punto di accumulazione.

ℜ

⊂

A ℜ

ⁿ

Un insieme chiuso e limitato in

ℜ

ⁿ ammette massimo e minimo.

Definizione. A è limitato superiormente se

∃ K ∈ ℜ : x ≤ K , ∀ x ∈ A

. Esempi:

(- ∞, 0) è limitato superiormente.

(0, + ∞) non è limitato superiormente.

3

Definizione. A è limitato inferiormente se

∃ H ∈ ℜ : x ≥ H , ∀ x ∈ A

. Esempi.

(0, + ∞) è limitato inferiormente.

(- ∞, 0) non è limitato inferiormente.

(0,1] è limitato sia inferiormente (da 0) che superiormente (da 1).

Definizione. A è limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.

Definizione. Si dice estremo superiore (analogamente estremo inferiore) di A e si indica con sup A ( inf A ), il minimo ( massimo) dei maggioranti (minoranti) di A, se esiste.

Il sup A e inf A se esistono sono unici.

Se sup A

∈

A

⇒

sup A = massimo di A Se inf A

∈

A

⇒

inf A = minimo di A.

Definizione.

P ∈ ℜ

è maggiorante (minorante) per A se i)

P

è confrontabile con ogni

x ∈ A

,

ii)

∀x ∈ A

si ha

x ≤ P , ( x ≥ P )

.