ANALISI MATEMATICA I:

ANALISI MATEMATICA I:

ING. CIVILE 5/6/2008

Prof.ssa M. R. Lancia - Prof. G. Dell’Acqua Testo A

Cognome ... Nome...

Matricola...

Risolvere per esteso i seguenti esercizi, motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta.

1) Studiare al variare di α, β ∈ IR la continuit`a e la derivabilit`a nel suo insieme di definizione della funzione

f (x) =



 



 

 R x

0 5t−1

(t−1)

dt + βx + α x < 0

β x = 0

sin x

x

x > 0

Dire per quali α, β ∈ IR la funzione ammette asintoto obliquo per x → −∞.

2) Studiare, al variare di x ∈ IR, il carattere della serie

∞

X

n=1

(n + 2)x ²ⁿ n(n + 1)

3) Determinare tutte le soluzioni z = a + ib dell’equazione complessa

|z| − iIm(z) = Re(z ² − z − 1)

TEORIA. Dare la definizione di funzione e di funzione inversa. Enunciare

dei criteri di invertibilit`a. Fornire esempi e controesempi.

ANALISI MATEMATICA I:

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Prof.ssa M. R. Lancia - Prof. G. Dell’Acqua Testo B

Cognome ... Nome...

Matricola...

Risolvere per esteso i seguenti esercizi, motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta.

1) Studiare al variare di α, β ∈ IR la continuit`a e la derivabilit`a nel suo insieme di definizione della funzione

f (x) =



 



 

 R x

0 t −1

t

+t+1 dt + β(1 − cosx) + α ² x < 0

β x = 0

e

−1

x

x > 0

Dire per quali α, β ∈ IR la funzione ammette asintoto obliquo per x → −∞.

2) Studiare, al variare di x ∈ IR, il carattere della serie

∞

X

n=1

√ nx ⁿ n(n + 1)

3) Determinare tutte le soluzioni z = a + ib dell’equazione complessa

|z| − iRe(z) = Im(z − iz ² )

TEORIA. Dare la definizione di estremo superiore ed estremo inferiore

per una funzione e di minimo e massimo assoluto. Enunciare dei criteri per

la ricerca di minimi e massimi assoluti. Fornire esempi e controesempi.

ANALISI MATEMATICA I:

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Prof.ssa M. R. Lancia - Prof. G. Dell’Acqua Testo C

Cognome ... Nome...

Matricola...

Risolvere per esteso i seguenti esercizi, motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta.

1) Studiare al variare di α, β ∈ IR la continuit`a e la derivabilit`a nel suo insieme di definizione della funzione

f (x) =



 



 

 R x

0 2t+4

(t−2)

dt + βx ² + α x < 0

β x = 0

sin x

2x

x > 0

Dire per quali α, β ∈ IR la funzione ammette asintoto obliquo per x → −∞.

2) Studiare, al variare di x ∈ IR, il carattere della serie

∞

X

n=1

(n + 1)x ⁿ n ² ( √

n + 1)

3) Determinare tutte le soluzioni z = a + ıb dell’equazione complessa

|z| − iRe(z) = Im(z ² − z − 1)

TEORIA. Definizione di successione, successione monotona e relativi teo-

remi. Esempi e controesempi.

ANALISI MATEMATICA I:

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Prof.ssa M. R. Lancia - Prof. G. Dell’Acqua Testo D

Cognome ... Nome...

Matricola...

Risolvere per esteso i seguenti esercizi, motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta.

1) Studiare al variare di α, β ∈ IR la continuit`a e la derivabilit`a nel suo insieme di definizione della funzione

f (x) =



 

  R x

0 t −1

t

+t+2 dt + βsenx + α ² x < 0

β x = 0

log(x

+1)

x

x > 0

Dire per quali α, β ∈ IR la funzione ammette asintoto obliquo per x → −∞.

2) Studiare, al variare di x ∈ IR, il carattere della serie

∞

X

n=1

e ⁿ x ²ⁿ n ² (n + 1)

3) Determinare tutte le soluzioni z = a + ib dell’equazione complessa

|z| − iIm(z) = Re(2z − iz ² − 1)

TEORIA. Dare la definizione di serie. Serie a termini di segno costante.

Enunciare i principali teoremi e dimostrare il teroema di regolartit`a incon-

dizionata. Esempi e controesempi.