Problemi : cinematica unidimensionale 1. 2.

1.

2.

0.05 rad

h=50 m h

d

Calcolare la velocità media in ciascun tratto di percorso e la velocità media complessiva.

La velocità media complessiva è pari a

Attenzione, è diversa dalla media delle velocità

s s m

m km

t t

d d t

v x 37,04 /

60 135

10 300 min 135

300 ³

2 1

2

1 =

×

= × + =

= + Δ

=Δ

Problemi : cinematica unidimensionale

3o

.

≈57 ≈0.017rad

3.

Una palla scende lungo un piano inclinato lungo 9 m con una

accelerazione di 0.500 m/s². Dopoavere raggiunto la base, la palla sale lungo un altro piano inclinato, dove si ferma dopo avere percorso 15.0 m.

a) quale è la velocità alla base del primo piano inclinato?

b) quanto tempo impiega a scendere lungo il primo piano?

c) quale è l’accelerazione lungo il secondo piano ?

d) quale è la velocità dopo i primi 8.00 m lungo il secondo piano ?

4.

5.

s T s

g v g

v g

v t

s s

s

83 . 81

7 . 12 2

4 2 2

2 ²

1 =−

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝ + ⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

± ⎛

−

=

v₀=28m/s v=0

rupe y

0

2 1 2

1 1

0

0 2

1 2

1gt gt

t v y h

y_f = = + − =−

sasso:

suono:

y_f =0= y₀+v_St₂ =h+v_St₂

h

6. Una pietra viene lanciata nel punto A dalla cima di un palazzo con una velocità iniziale di 20.0 m·s^-1 verso l’alto e poi ricade a terra.

L’edificio è alto 50.0 m.

Calcolare:

a) il tempo impiegato dalla pietra a raggiungere il punto di altezza massima;

b)  l’altezza massima raggiunta;

c)  il tempo impiegato dalla pietra per tornare al livello del lanciatore; la velocità della pietra in questo istante;

d)  la velocità e la posizione per t = 5.0 s;

e)  la posizione della pietra a t = 6 s.

f)  Come mai il modello fallisce nell’ultima parte del problema?

B y

yi

y

v a t t

v

_f

= + → 0 = 20.0 m ⋅ s

^-1

+ ( − 9 . 8 m ⋅ s

^-2

)

2

1

₂

B

max

y y v t a t

y =

_B

=

_A

+

_{yA B}

+

_y

2 C 2

C

0 20.0 - 4.90 2

1 a t t t

t v y

y

_C

=

_A

+

_{yA C}

+

_y

→ =

_C

s 08 . 4

e 0 0

) 4.90 - 20.0

(

_C

= →

_C

=

_C

=

C

t t t

t

1 - 2

1

-

( 9 . 8 m s ) (4.08 s) - 20 m s s

m 20.0

= ⋅ + − ⋅ = ⋅

+

=

_{yA y C}

y

v a t

v

_C

1 - 2

1

-

( 9 . 8 m s ) (5.00 s) - 29 m s s

m 20.0

= ⋅ + − ⋅ = ⋅

+

=

_{yA y D}

yD

v a t

v

m 5 . 22 2

1 ₂

D =− +

+

= y v t a t

y_{D A yA D y} t_B =20.0m ⋅s¹

9.8 m ⋅s² = 2.04 s

m 4 . 20 s) (2.04 ) s m 8 . 9 2( s 1 04 . 2 s m 20.0

0 ^{-1 -2 2}

max = + ⋅ ⋅ + − ⋅ =

y

m 50 m

4 . 56 2

1 ₂

6 6

6 = y +v t + a t =− < −

y _{A yA y}

a)

b)

c)

d)

e)

Problemi : cinematica in due dimensioni

7.

Il coyote sta cercando di catturare la sua preda (road runner).

Il coyote calza un paio di pattini a propulsione che gli forniscono accelerazione orizzontale costante pari a 15.0 m/s²

Il coyote parte da fermo da 70 m dal bordo di un burrone all’istante in cui la preda scatta verso il burrone.

a) se la preda si muove a velocità costante, quale è la minima velocità della preda per raggiungere il burrone prima del coyote ?

b) se il burrone è a 100 m al di sopra del fondo del canyon, dove atterra il coyote nel canyon ?

[i suoi pattini continuano a funzionare anche in volo!]

c) determinare le componenti della velocità del coyote proprio prima che atterri nel canyon.

8.

Una particella con velocità iniziale, a t=0, v₀ = -2.0 i+4.0j m/s subisce una accelerazione costante di intensità a = 3.0 m/s², il cui vettore

forma un angolo θ =130⁰ rispetto alla direzione positiva dell’asse x.

Quale è la velocità della particella, espressa in versori e con ampiezza e direzione (rispetto all’asse x positivo), per t=5.0 s?

Si tratta di moto bidimensionale con accelerazione costante.

s m v

con t

a v

v

s m v

con t

a v

v

y y

y y

x x

x x

/ 0 . 4

/ 0 . 2

0 0

0 0

= +

=

−

= +

=

2 0

2

2 0

2

/ 30 . 2 ) 130 sin(

) / 0 . 3 ( sin

/ 93 . 1 ) 130 cos(

) / 0 . 3 ( cos

s m s

m a

a

s m s

m a

a

y x

=

=

=

−

=

=

=

θ θ

Trovo quindi i valori di v_x e v_y al tempo t=5.0 s:

s m s

m s

s m s

m v

s m s

m s

s m s

m v

y x

/ 16 /

0 5 . 15 ) 0 . 5 )(

/ 30 . 2 ( ) / 0 . 4 (

/ 12 /

65 . 11 )

0 . 5 )(

/ 93 . 1 ( ) / 0 . 2 (

2 2

≈

= +

=

≈

−

=

− +

−

=

j s m i

s m

v ! = ( − 12 / ) ! + ( 16 / ) !

Esprimo ora v in coordinate polari:

0 0

1

2 2

130 127

/ 19 /

4 . 19

≈

=

=

≈

= +

=

− x y

y x

v tg v

s m s

m v

v v

θ

!

x

y

-2.0

4.0

x

y

-1.93

2.30

v

a

130⁰

N.B.

si decide graficamente!!

⎩⎨

⎧

= −

= ⁻ ₀

0 1

53 127

x y

v tg v θ

9.

Soluzione :

10.

Un treno affrontando una curva rallenta da 90.0 km/h a 50.0 km/h nei 15.0 secondi che impiega ad affrontare la curva.

Il raggio della curva è r = 150 m.

Calcolare l’accelerazione nel momento in cui la velocità del treno è

50.0 km/h, assumendo che in questo momento il treno continui a decelerare.

Converto le unità di misura:

2 2 2

/ 29 . 150 1

) / 9 . 13

( m s

m s m r

v_f

=

=

/ 2

48 .

1 m s

=

/ 2

74 . 0 0

. 15

/ 1 . 11 0

. 15

/ ) 0 . 25 9 . 13 ) (

( m s

s s m s

s m t

v v_{f i}

−

− =

− = Δ =

= −

0 1

1 29.9

29 . 1

74 .

0 ⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⁻ ⎛ tg⁻ a

tg a

r

θ t

11.

Calcolare accelerazione centripeta della Terra, dovuta al suo moto orbitale intorno al Sole.

[N.B. raggio dell’orbita terrestre r = 1.5 10¹¹ m]

Ipotesi: approssimo l’orbita terrestre ad una circonferenza di raggio r.

s s m

m h

v km

s s m

m h

v km

i f

/ 0 . 60 25

60 0 10 . 90 0

. 90

/ 9 . 60 13

60 0 10 . 50 0

. 50

3 3

× =

=

=

× =

=

=

2 3 2

11 2

2 11 2

2 2 2

2

/ 10 9 . ) 5 60 60 24 365 (

) 10 5 . 1 ( 4

) 1

(

) 10 5 . 1 ( 4 4

) / 2 (

s s m

m

anno m T

r r

T r r

a_c v

× −

× =

×

×

= ×

= ×

=

=

=

π

π π

π