Alcuni semplici problemi di cinematica
Alcuni semplici problemi di cinematica. Vanno trovati i risultati in for- mula ed in valore numerico.
1. Un’automobile di massa m = 954kg percorre la prima met`a di un rettilineo lungo l = 10km alla velocit`a di v = 80km/h e la seconda met`a ad una velocit`a pari alla met`a della precedente. Determinare la velocit`a media in km/h.
2. Un punto materiale percorre l = 128m lungo un’orbita circolare a velocit`a costante di modulo v = 19.7m/s compiendo complessivamente 3 giri e mezzo. Determinare la velocit`a media scalare e vettoriale.
Soluzione 1
In questo problema bisogna evitare l’errore di affermare che la velocit`a media `e di 60km/h, essendo le due met`a del rettilineo percorse una a 80km/h ed una a 40km/h.
Infatti la media delle velocit`a si pu`o fare solamente se il tempo di per- correnza `e lo stesso per i due tratti, mentre in questo caso il tempo per percorrere la seconda met`a del rettilineo `e maggiore rispetto alla prima, e quindi peser`a di pi`u nella media. O, detto pi`u correttamente, la velocit`a media `e la media delle velocit`a tenute lungo il percorso pesate con il tempo impiegato per ogni tratto. Passando al continuo, questa media diventa un integrale:
vm = 1 τ
Z τ 0
vi(t) dt (1)
essendo vi(t) la velocit`a istantanea e τ l’intervallo di tempo nel quale si vuole trovare la velocit`a media.
In formule: lo spazio percorso `e s = 10km, il tempo impiegato `e t = t1+ t2= s1/v1+ s2/v2 = s/v
Di conseguenza la velocit`a media v `e data dalla relazione:
1 vm
= f1
v1
+f2
v2
(2)
1
dove f1(2)`e la frazione di strada percorsa con velocit`a v1(2). In questo caso f1= f2= 0.5, per cui:
1 vm
= 0.5 80 +0.5
40 = 3
160 → vm= 53.3km/h
Si noti che in equazione (2) viene fatta la media dell’inverso della velocit`a pesata con la frazione di percorso.
Soluzione 2
La velocit`a media si trova come lo spazio percorso, scalare o vettoriale, diviso il tempo impiegato.
Essendo il moto circolare uniforme, la velocit`a scalare media `e semplice- mente uguale a quella del moto, cio`e vs= 19.7m/s.
Lo spazio vettoriale percorso ´e pari ad un diametro, e quindi a:
d = l 3.5π ed il moto della velocit`a vettoriale `e:
|~v| = vs
3.5π = 1.79m/s
2
