FIG. 1: Andamento dell’energia di una particella quantistica unidimensionale libera in funzione della sua temperatura. La retta tratteggiata rappresenta l’andamento teorico E = T /2.

Domenico Di Sante

University of L’Aquila, Department of Physics (Dated: February 25, 2011)

I. PARTICELLA LIBERA

Nel caso in questione di una particella quantistica (unidimensionale) libera, i.e. in un potenziale esterno nullo o costante, l’energia ` e esclusivamente determinata dalla temperatura T del sistema, essendo nelle unit` a ridotte utilizzate E = T /2. In figura FIG. 1 sono riportati i valori ottenuti dalle simulazioni di Path Integral Monte Carlo con le incertezze associate, ottenute applicando un’analisi statistica su un campione indipendente di 10 valori per ciascun valore della temperatura.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

E

T

FIG. 1: Andamento dell’energia di una particella quantistica unidimensionale libera in funzione della sua temperatura. La retta tratteggiata rappresenta l’andamento teorico E = T /2.

Come si pu` o osservare, l’accordo ` e accettabile all’interno delle incertezze statistiche. Sottolineiamo il fatto che per una particella libera, l’energia ad una fissata temperatura ` e indipendente dal numero di slices in tempo immaginario utilizzate per le simulazioni. Infatti, secondo l’estimatore del viriale per il calcolo dell’energia totale, si ha in generale (particella in 3 dimensioni in un potenziale esterno) che

E

= trρH trρ = 1

M

M

X

i=1

 3N

2τ − |R

− R

|

4λτ

 + 1

M

M

X

i=1

hV (R

)i

= 3

2 N K

T + τ M

M

X

i=1

h(R

− R

) · ∇

V(R

)i + 1 M

M

X

i=1

hV (R

)i , (1)

dove M ` e il numero di slices, τ = β/M ed N ` e il numero di particelle; nel caso unidimensionale in questione, essendo N = 1 e V (R

) = 0, l’espressione 1 si riduce banalmente a E

=

K

T = T /2 in unit` a ridotte, ed ` e chiaro come la dipendenza dal numero di slices viene rimossa.

Lo stesso discorso non ` e pi` u vero se lo applichiamo alla varianza dell’energia, ad una temperatura T fissata, studiata in funzione del numero di slices in tempo immaginario. Ci si pu` o facilmente render conto di ci` o osservando il grafico riportato in figura FIG. 2; a salire nel grafico sono riportati gli andamenti non mediati di σ

(le fluttuazioni sono evidenti) per i valori di temperatura T = 0.1 − 0.2 − 0.3 − 0.4 − 0.5 in funzione di M . Il trend generale crescente con M ` e chiaro.

Un’ultima propriet` a da verificare per la particella libera ` e la cosiddetta diffusione in tempo immaginario, definita

nel nostro caso unidimensionale come

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

FIG. 2: Andamento della varianza dell’energia di una particella quantistica unidimensionale libera in funzione del numero M di slices per diversi valori della temperatura. I valori riportati non sono mediati, quindi le fluttuazioni sono evidenti, ma l’andamento generale ` e chiaro.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

sigma^2(t)

t

FIG. 3: Andamento della diffusione in tempo immaginario per una particella quantistica libera a temperatura T = 0.5. Viene riportato anche l’andamento teorico dato dalla 2.

D(τ ) = h|x(τ ) − x(0)|

i = (β − τ )τ

β ; (2)

i valori ottenuti dalla simulazione a temperatura T = 0.5 sono riportati in FIG. 3 unitamente all’andamento teorico dato dalla relazione 2; l’accordo ` e ottimo.

II. PARTICELLA IN UN POTENZIALE ARMONICO

Consideriamo adesso il caso di una particella quantistica soggetta ad un potenziale armonico del tipo

V (x) = 1

2 ω

x

(3)

con un valore del parametro di accoppiamento pari a ω = 0.5 ed unit` a ridotte cosicch´ e ~ = 1. Dalla meccanica quantistica sappiamo perfettamente come i livelli energetici ammessi siano discretizzati ed equispaziati tra loro, essendo

E

= ω

 n + 1

2



. (4)

Volendo effettuare uno studio delle propriet` a del sistema al diminuire della temperatura T , scegliamo come valore iniziale T = 2.0 cosicch´ e in partenza siano popolati un certo numero di livelli. Per quanto riguarda il numero di intervalli in tempo immaginario, poniamo M = 200; per le propriet` a dell’oscillatore armonico che vogliamo studiare, questo numero ` e pi` u che sufficiente per assicurare sulla convergenza dell’energia un errore del 2 − 3% sul valor medio, come riportato in tabella TABLE I.

T E σ

2.00 2.01 4.8e-2 1.75 1.76 3.8e-2 1.50 1.52 2.6e-2 1.25 1.27 2.0e-2 1.00 1.03 2.0e-2 0.75 0.79 2.5e-2 0.50 0.54 1.5e-2 0.40 0.45 6.2e-3 0.30 0.37 6.4e-3 0.20 0.293 3.0e-3 0.10 0.254 1.7e-3 0.05 0.250 1.0e-3

TABLE I: Valori dell’energia e della relativa incertezza per una particella quantistica in un potenziale armonico in funzione della temperatura.

Possiamo confrontare questi dati anche con l’andamento teorico noto analiticamente nel caso di un potenziale ar- monico. Dalla teoria sappiamo che gli elementi diagonali della matrice densit` a, nella rappresentazione delle coordinate, sono date da (ricordiamo che ~ = 1 e m = 1)

ρ(x, x|β) =

r ω

2π sinh 2f exp −(ω tanh f )x



, (5)

con f = βω/2; da questa si ottiene per l’energia libera del sistema che

βF = − ln trρ = − ln tr e

= ln



2 sinh  βω 2



. (6)

La media termica dell’operatore hamiltoniano risulta a questo punto essere

< H >= E = trρH trρ = − ∂

∂β ln tr e

= ∂

∂β ln



2 sinh  βω 2



= ω

2 coth  βω 2



. (7)

I valori riportati in tabella TABLE I e l’andamento teorico secondo l’espressione 7 sono presentati in figura FIG.

4; come si vede, l’accordo ` e ottimale all’interno del range di temperatura preso in considerazione.

Interessante ` e a questo punto notare come al di sotto di una temperatura T ≈ 0.1, l’energia del sistema ` e pressoch´ e fornita esclusivamente dal livello energetico fondamentale, in quanto in figura FIG. 4 ` e evidente un plateau al valore di energia di punto zero E

= ω/2 = 0.25.

Anche la densit` a di particella ρ(x) presenta una forte dipendenza dalla temperatura del sistema, come ` e chiaramente

mostrato in figura FIG. 5, dove si vede che all’aumentare di T la densit` a di trovare la particella lontana dal minimo

di potenziale cresce in quanto aumenta il peso delle code della distribuzione. Ci` o ` e banalmente spiegato notando

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

0 0.5 1 1.5 2

E

T

FIG. 4: Andamento dell’energia di una particella quantistica in un potenziale armonico in funzione della temperatura T e confronto con l’andamento teorico dato dall’espressione 7.

-6 -4 -2 0 2 4 6

rho (arbitrary units)

x

FIG. 5: Andamento della densit` a di particella al variare della temperatura da T = 2.0 a T = 0.05.

-6 -4 -2 0 2 4 6

rho (arbitrary units)

x

FIG. 6: Andamento della densit` a di particella per T = 0.05. Si riporta in figura anche l’andamento teorico, l’accordo ` e ottimo.

che la popolazione dei livelli eccitati all’aumentare della temperatura T comporta la necessit` a di considerare funzioni d’onda, i.e. polinomi di Hermite, con valori sempre meno trascurabili in prossimit` a degli estremi del potenziale.

Per una temperatura T = 0.05, alla quale i contributi degli stati eccitati possono essere considerati trascurabili, la densit` a di particella ` e riportata in figura FIG. 6 insieme all’andamento teorico; quest’ultimo ` e sostanzialmente dato dalla funzione d’onda di stato fondamentale, ovvero

ρ(x) = |hx|ψ

i|

∼ exp −ωx



. (8)

III. PARTICELLA IN UNA DOPPIA BUCA DI POTENZIALE

Vogliamo studiare adesso il caso di una particella quantistica in un potenziale a doppia buca di potenziale del tipo

V (x) = ω

(x

− 4)

, (9)

con ω = 0.45. I primi due livelli energetici permessi alla particella sono tra di loro separati da una piccola gap a causa del fatto che la profondit` a delle due buche assume un valore finito. Tale splitting, pari a ∆E = 0.017 nelle nostre unit` a naturali, insieme al fatto che gli altri livelli energetici si trovano molto pi` u in alto in energia, permette di assimilare il sistema a quello di un sistema a due livelli.

Dalla meccanica quantistica, sappiamo che dette Ψ

=

2

(Ψ

+ Ψ

) e Ψ

=

2

(Ψ

− Ψ

) le funzioni d’onda opportunamente simmetrizzate (Ψ

` e simmetrica mentre Ψ

` e antisimmetrica), la funzione d’onda del sistema evolver` a nel tempo come

Ψ(x, t) = 1

√ 2 Ψ

(x) + Ψ

(x)e

 e

, (10)

dalla quale si vede che ogni t = 1/2∆E il sistema subir` a un salto da una buca all’altra. Chiaramente questo studio

`

e basato sulla dinamica della particella, i.e. sull’applicazione dell’operatore di evoluzione temporale ai primi due autostati dell’hamiltoniana; cos`ı facendo non si prendono in considerazione gli effetti della temperatura sul sistema, e come questa possa influenzare il meccanismo di attraversamento della barriera di potenziale.

Nell’ambito della meccanica statistica quantistica, il problema pu` o essere affrontato riformulando il problema nel formalismo degli integrali di cammino. Supponiamo che la particella quantistica si trovi nel minimo di potenziale

˜

x = −2; l’ampiezza di transizione di finire nell’altro minimo ` e data da

h−2|e

|2i = ρ(−2, 2|β) = Z

D[x] exp {−S[x]} , (11)

dove

S[x] = Z

0

dτ  1

2 [ ˙ x(τ )]

+ V (x(τ ))



(12)

`

e l’azione in campo complesso della particella della particella (la lagrangiana in tempo immaginario ` e formalmente identica all’hamiltoniana classica). Variando l’azione rispetto alla coordinata x, ovvero calcolando δS[x]/δx (il che corrisponde a scrivere le equazioni di Eulero-Lagrange) otteniamo la seguente equazione del moto (si noti la scomparsa del segno negativo davanti la derivata del potenziale):

d

x(τ )

dτ

= dV (x(τ ))

dx = 4ω

x

− 16ω

x . (13)

La scelta dei cammini che rappresentano un punto stazionario per l’azione, risiede nel fatto che i loro contributi

all’integrale di cammino costituiscono i termini dominanti nell’ampiezza di transizione. Classicamente, la suddetta

equazione descrive il moto di una particella soggetta ad un potenziale esterno pari a −V (x); supponendo che ad un

tempo immaginario sufficientemente lontano la particella si trovi in ˜ x = −2, l’equazione ammette una soluzione del

tipo

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x(tau)

tau

FIG. 7: Andamento funzionale della posizione della particella in funzione del tempo immaginario.

x(τ ) = 2 tanh h τ τ

i

, (14)

con τ ∗ = 1/4ω ≈ 0.56; l’andamento funzionale di x(τ ) ` e riportato in figura FIG. 7.

Osservando la figura possiamo affermare che l’attraversamento della barriera di potenziale, ovvero il tunneling da una buca di potenziale all’altra, avviene in un intervallo di tempo immaginario dell’ordine di 2, tempo al quale ci riferiamo come istantone. In figura FIG. 8 sono riportati gli istogrammi per simulazioni a diversi valori della temperatura, da T = 0.05 a T = 0.01, del tempo immaginario di attraversamento della bariera di potenziale;

FIG. 8: Istogrammi del tempo immaginario di attraversamento della barriera di potenziale per diversi valori della temperatuta,

da T = 0.05 a T = 0.01, come riportato nella legenda in base ai diversi colori.

`

e evidente come in ciascun istogramma il picco massimo sia raggiunto in prossimit` a del valore di ∆τ ≈ 2, mostrando una debole dipendenza dalla temperatura.

Diverso ` e il discorso se andiamo invece a studiare il tempo immaginario di permanenza della particella in una determinata buca di potenziale al variare della temperatura.

FIG. 9: Istogrammi del tempo immaginario di permanenza nella buca di potenziale per i medesimi valori della temperatura dello studio precedente, mantenendo per ciascun valore la stessa scala di colori.

Risulta chiaro come all’aumentare di T il tempo immaginario di permanenza diminuisca sensibilmente, passando monotonicamente da ∆τ ≈ 90 per T = 0.01 a ∆τ ≈ 18 per T = 0.05. Ci` o si pu` o spiegare pensando al fatto che all’aumentare della temperatura aumentano le fluttuazioni termiche, le quali possono facilitare il passaggio da una buca all’altra, tunneling che, come evidenziato all’inizio del paragrafo, ` e dovuto alla presenza del doppietto costituito dai primi due livelli energetici. Ci` o ` e molto importante da tenere a mente, in quanto le fluttuazioni termiche possono solo facilitare l’attraversamento della barriera, attraversamento che a temperature basse (temperature che popolano solo i livelli energetici al di sotto del livello della barriera) pu` o avvenire esclusivamente per effetti quantistici.

Prima di concludere, vorremmo soffermarci su un aspetto tecnico delle simulazioni finora non menzionato in questa

sezione della relazione: lo studio della convergenza dei risultati come funzione del numero di slices in tempo im-

maginario. La scelta del numero delle slices ` e un punto cruciale in ogni simulazione di Path Integral Monte Carlo,

determinandone o meno la riuscita. Per poter ottenere tutti i risultati sopra riportati, ` e stato preliminalmente af-

frontato uno studio, alla temperatura fissata di T = 0.05, variando il numero delle slices M nel range tra 500 e 4500; si

osserva che M = 500 (i.e. τ = 4 · 10

) assicura una convergenza nell’energia totale del sistema (secondo lo stimatore

del viriale) con indeterminazione di una parte in 10

. Per mantenere poi al variare della temperatura lo stesso grado

di precisione, si ` e scelto di volta in volta un valore di M tale da tener fissato il valore di τ = 4 · 10

; per esempio, la

simulazione a T = 0.01 ` e stata eseguita con M = 2500 slices.