g m P
=
g m P
=
Pendolo semplice
il pendolo semplice consiste di
all’equilibrio statico il pendolo e’ nella posizione verticale,
a m g
m
= +
ideale di lunghezza
l
di equilibrio e lo si rilascia
se si allontana il punto dalla posizione
inizia un moto circolare periodico
la risultante delle forze agenti fuori dalla posizione di equilibrio
ma
ma pari a e’ dinamica percio’
attenzione :
non sara’ uguale a zero,
un punto materiale di massa
m
appeso ad un filola condizione
proiettando le forze lungo la direzione del filo e lungo
t c
ma mgsen
ma mg
=
−
=
−
cos
e’ il modulo della tensione nel filo
=
la direzione perpendicolare al filo tangente alla traiettoria
dove
y x
g m P
=
ossia si ha
2
2
v
a
cr
r
= =
22 2
v
c
t
a l
a l d
dt
=
=
in questo caso
r
=l
per cui :v
2cos
ma
cm mg
l
= −
la prima equazione fornisce
2 2 2
2 2 2
( )
t
d s d r d
a r
dt dt dt
= = =
la seconda equazione
2 t 2
ma ml d mgsen dt
= −
v
2( cos )
m g l
= +
2
2
0
d g
dt l sen
+ =
del moto del punto materiale
la variazione della tensione nel filo in funzione descrive il moto del punto materiale in termini angolari
→ nell’ approssimazione di piccole oscillazioni
2
0
2
+ = l
g dt
d
che, postol
= g
2 20
2
2
+ = dt
d
equazione dell’oscillatore armonico
→
percio’ l’equazione oraria per l’angolo sara’
) (
)
(
0
t = sen t +
2
0
2
+ =
l sen g dt
d
e’ una equazione differenziale trascendente enon ha una semplice soluzione analitica nella approssimazione di piccole oscillazioni
sen
del tipo
e quindi per piccoli angoli si ha che
l’equazione del pendolo diviene:
g
= l
da
= 2 2
T
=
poiche’ si ha
2 l
T = g
da notare come il periodo del pendolo e soprattutto non dipendanon dipenda dalla massa dall’ampiezza angolare
per piccole oscillazioni
➢ proprieta’ di isocronismo del pendolo
dove
K
è l'integrale ellittico completo di prima specie, valutato in . se l'ampiezza angolare dell'oscillazionel'integrale ellittico completo di prima specie K è definito come che il periodo del pendolo dipenderebbe da
max
sen 2
1
2 2 2
0
( ) 1
(1 )(1 )
K x dt
t x t
= − −
4
max2
T l K sen
g
=
non fosse piccola, si può dimostrare
maxe puo’ anche essere stimato con il seguente sviluppo in serie di Taylor
( )
22
4 0
(2 )!
(k) k
2 16 ( !)
n
n n
K n
n
=
