1. Per parametrizzare la superficie semplice e regolare avente per sostegno il cilindro ellittico S definito da x 2 + y4

Risoluzione

1. Per parametrizzare la superficie semplice e regolare avente per sostegno il cilindro ellittico S definito da x ² + ^y ₄

= 1, z 2 [0, 3], possiamo utilizzare le coordinate cilindriche “ellittiche” ponendo

: 8 >

<

> :

x = cos ✓ y = 2 sin ✓ z = z

e facendo variare ✓ 2 [0, 2⇡] e z 2 [0, 3]. Tale superficie risulta regolare difatti

✓ (✓, z) = ( sin ✓, 2 cos ✓, 0) e z (✓, z) = (0, 0, 1) sono linearmente indipendenti essendo

✓ (✓, z) ^ ^z (✓, z) = (2 cos ✓, sin ✓, 0) e k ^✓ (✓, z) ^ ^z (✓, z) k = p

3 cos ² ✓ + 1 > 0 per ogni (✓, z) 2 [0, 2⇡] ⇥ [0, 3]. Il punto P = (0, 2, 1) corrisponde a ( ^⇡ ₂ , 1), quindi

N( ^⇡ ₂ , 1) = ^✓ ( ^⇡ ₂ , 1) ^ ^z ( ^⇡ ₂ , 1)

k ^✓ ( ^⇡ ₂ , 1) ^ ^z ( ^⇡ ₂ , 1) k = (0, 1, 0) e il piano tangente alla superficie in P = (0, 2, 1) avr`a equazione

(0, 1, 0) · (x, y 2, z 1) = 0 , y = 2.

2. Per parametrizzare la superficie semplice e regolare avente per sostegno la porzione di sfera S = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ² + z ² = 1, z 2 [ ¹ 2 , 1], y 0 } possiamo utilizzare le coordinate sferiche

: 8 >

<

> :

x = sin ' cos ✓ y = sin ' sin ✓ z = cos '

che descriveranno il nostro sostegno facendo variare ' 2 [0, ^⇡ 3 ], dato che z = cos ' 2 [ ¹ 2 , 1] per ' 2 [0, ^⇡ 3 ]) e ✓ 2 [0, ⇡] (poich´e deve risultare y = sin ' sin ✓ 0). La superficie risulta di classe C ¹ con

' (', ✓) = (cos ' cos ✓, cos ' sin ✓, sin ') e ✓ (', ✓) = ( sin ' sin ✓, sin ' cos ✓, 0).

Si ha

' (', ✓) ^ ^✓ (', ✓) = (sin ² ' cos ✓, sin ² ' sin ✓, sin ' cos ')

e dunque k ^' (', ✓) ^ ^✓ (', ✓) k = sin ' > 0 per ogni (', ✓) 2 (0, ^⇡ 3 ] ⇥[0, ⇡]. Ne segue che la superficie

`e regolare. Nel punto P = ( <sup>p</sup> <sub>4</sub> <sup>2</sup> , <sup>p</sup> <sub>4</sub> <sup>6</sup> , <sup>p</sup> <sub>2</sub> <sup>2</sup> ) = ( <sup>⇡</sup> <sub>4</sub> , <sup>⇡</sup> <sub>3</sub> ) abbiamo che ' ( <sup>⇡</sup> <sub>4</sub> , <sup>⇡</sup> <sub>3</sub> ) ^ <sup>✓</sup> ( <sup>⇡</sup> <sub>4</sub> , <sup>⇡</sup> <sub>3</sub> ) = ( <sup>1</sup> <sub>4</sub> , <sup>p</sup> <sub>4</sub> <sup>3</sup> , <sup>1</sup> <sub>2</sub> ) con k <sup>'</sup> ( <sup>⇡</sup> <sub>4</sub> , <sup>⇡</sup> <sub>3</sub> ) ^ <sup>✓</sup> ( <sup>⇡</sup> <sub>4</sub> , <sup>⇡</sup> <sub>3</sub> ) k = <sup>p</sup> 2 <sup>2</sup> . Quindi il versore normale sar`a

N( ^⇡ ₄ , ^⇡ ₃ ) = ( ^p ₄ ² , ^p ₄ ⁶ , ^p ₂ ² ) e il piano tangente avr` a equazione

( ^p ₄ ² , ^p ₄ ⁶ , ^p ₂ ² ) · (x ^p 4 ² , y ^p ₄ ⁶ , z ^p ₂ ² ) = 0 , x + p

3y + 2z = 2 p

2.

3. Per determinare una parametrizzazione della superficie semplice e regolare avente per sostegno la porzione di sfera x ² + y ² + z ² = 4 esterna al cilindro x ² + y ² = 1 nella regione z 0, osserviamo innanzitutto che l’intersezione del cilindro con la sfera `e data da

8 >

<

> :

x ² + y ² + z ² = 4 x ² + y ² = 1

z 0

,

( z = p 3 x ² + y ² = 1

Utilizzando le coordinate sferiche

: 8 >

<

> :

x = 2 sin ' cos ✓ y = 2 sin ' sin ✓ z = 2 cos '

avremo che queste descriveranno il nostro sostegno facendo variare ✓ 2 [0, 2⇡] e ' 2 [ ^⇡ 6 , ^⇡ ₂ ], dato che z = 2 cos ' 2 [0, p

3] per ' 2 [ ^⇡ 6 , ^⇡ ₂ ]. Come nell’esercizio precedente abbiamo che la superficie risulta regolare con

' (', ✓) ^ ^✓ (', ✓) = 4(sin ² ' cos ✓, sin ² ' sin ✓, sin ' cos ')

e k ^' (', ✓) ^ ^✓ (', ✓) k = 4 sin ' per ogni (', ✓) 2 [ ^⇡ 6 , ^⇡ ₂ ] ⇥ [0, 2⇡]. Il punto P = (0, p 2, p

2) corrisponde a ( ^⇡ ₄ , ^⇡ ₂ ), dunque si ha ' ( ^⇡ ₄ , ^⇡ ₂ ) ^ ^✓ ( ^⇡ ₄ , ^⇡ ₂ ) = (0, 2, 2), da cui

N( ^⇡ ₄ , ⇡) = ⇣

0, ^{p 1} ₂ , ^{p 1} ₂ ⌘ e il piano tangente in P = (0, p

2, p

2) avr`a equazione

⇣ 0, ^{p 1} ₂ , ^{p 1} ₂ ⌘

· (x, y p

2, z p

2) = 0 , y + z = 2 p 2.

4. Per parametrizzare la superficie semplice e regolare avente per sostegno la porzione di cono C = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ² = z ² , z 2 [1, 3], y 0 } utilizziamo le coordinate cilindriche

: 8 >

<

> :

x = z cos ✓ y = z sin ✓ z = z

con z 2 [1, 3] e ✓ 2 [0, ⇡], dato che deve risultare y = z sin ✓ 0. Abbiamo che la superficie `e di classe C ¹ con ✓ (✓, z) ^ ^z (✓, z) = (z cos ✓, z sin ✓, z) e k ^✓ (✓, z) ^ ^z (✓, z) k = p

2z per ogni (✓, z) 2 [ ^⇡ 2 , ^⇡ ₂ ] ⇥ [1, 3]. Possiamo quindi concludere che la superficie risulta regolare.

Il versore normale in P = (0, 2, 2) = ( ^⇡ ₂ , 2) `e quindi N( ^⇡ ₂ , 2) = ⇣

0, ^{p 1} ₂ , ^{p 1} ₂ ⌘

. Tale vettore, avendo seconda componente positiva, determina un orientamente uscente dal solido avente per frontiera laterale il cono C.

5. Per determinare una parametrizzazione della superficie semplice e regolare avente per sostegno la porzione di paraboloide S = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ² = 4z, x 0, z 2 [1, 4]} utilizziamo nuovamente le coordinate cilindriche ponendo

: 8 >

<

> : x = 2 p

z cos ✓ y = 2 p z sin ✓ z = z

con z 2 [1, 4] e ✓ 2 [ ^⇡ 2 , ^⇡ ₂ ], poich´e deve risultare x = 2 p

z cos ✓ 0. Abbiamo che la superficie `e di classe C ¹ con ✓ (✓, z) ^ ^z (✓, z) = (2 p z cos ✓, 2 p z sin ✓, 2) e k ^✓ (✓, z) ^ ^z (✓, z) k = p

4z + 4 per

ogni (✓, z) 2 [ ^⇡ 2 , ^⇡ ₂ ] ⇥ [1, 4]. Ne segue allora che la superficie `e regolare.

Il versore normale in P = (2, 0, 1) = (0, 1) `e quindi N(0, 1) = ⇣

p 1

2 , 0, ^{p 1} ₂ ⌘

. Tale vettore, avendo prima componente positiva, determina un orientamento uscente dal solido avente per frontiera la- terale la superficie S.

Provare a ottenere il risultato utilizzando le parametrizzazioni alternative

: 8 >

<

> :

x = 2t cos ✓ y = 2t sin ✓ z = t ²

(t, ✓) 2 [1, 2] ⇥ [ ^⇡ 2 , ^⇡ ₂ ]

e

: 8 >

<

> : x = u y = v

z = ¹ ₄ (u ² + v ² )

(u, v) 2 D = {(u, v) | 4  u ² + v ²  16}

6. Osservato che una parametrizzazione della curva avente per sostegno `e data da '(x) = (x, x 1), x 2 [1, 2], una parametrizzazione della superficie di rotazione si pu`o ottenere utilizzando le coordinate cilindriche ponendo

: 8 >

<

> :

x = x cos ✓ y = x sin ✓ z = x 1

(x, ✓) 2 [1, 2] ⇥ [0, ⇡].

Osserviamo che risulta x (x, ✓) ^ ^✓ (x, ✓) = ( x cos ✓, x sin ✓, x) e k ^x (x, ✓) ^ ^✓ (x, ✓) k = p 2x, per ogni (x, ✓) 2 [1, 2] ⇥ [0, ⇡].

7. Osserviamo che la frontiera del dominio D = {(x, z) 2 R ² | 1  x  2 z ² , z 2 [ 1, 1]} `e l’unione del segmento S = {(1, z) | z 2 [ 1, 1]} e dell’arco di parabola P = {(2 z <sup>2</sup> , z) | z 2 [ 1, 1]}. La superficie risulta quindi unione di due superfici di rotazione: il cilindro S <sup>1</sup> generato dalla rotazione del segmento S e la superficie S <sup>2</sup> generata dalla rotazione dell’arco di parabola. Una parametrizzazione del cilindro S <sup>1</sup> `e data da

1 : 8 >

<

> :

x = cos ✓ y = sin ✓ z = z

(z, ✓) 2 [ 1, 1] ⇥ [0, 2⇡].

mentre una parametrizzazione di S ² `e data da

2 : 8 >

<

> :

x = (2 z ² ) cos ✓ y = (2 z ² ) sin ✓ z = z

(z, ✓) 2 [ 1, 1] ⇥ [0, 2⇡].

8. Osserviamo innanzitutto che il sostegno della curva `e l’arco di circonferenza di centro (1, 0) e raggio 2 nella regione x 2. Una parametrizzazione di tale curva sar`a quindi data da

'(t) = (1 + 2 cos t, 2 sin t), t 2 [ ^⇡ 3 , ^⇡ ₃ ].

Usando le coordinate cilindriche, una parametrizzazione della superficie di rotazione sar` a

: 8 >

<

> :

x = (1 + 2 cos t) cos ✓ y = (1 + 2 cos t) sin ✓ z = 2 sin t

(t, ✓) 2 [ ^⇡ 3 , ^⇡ ₃ ] ⇥ [0, 2⇡].

Abbiamo allora che

t (t, ✓) = ( 2 sin t cos ✓, 2 sin t sin ✓, 2 cos t)

✓ (t, ✓) = ( (1 + 2 cos t) sin ✓, (1 + 2 cos t) cos ✓, 0) e quindi, nel punto P = (0, 3, 0) = (0, ^⇡ ₂ ) risulta

t (0, ^⇡ ₂ ) = (0, 0, 2) e ✓ (0, ^⇡ ₂ ) = ( 3, 0, 0)

da cui t (0, ^⇡ ₂ ) ^ ^✓ (0, ^⇡ ₂ ) = (0, 6, 0) e il versore normale in P `e N(0, ^⇡ ₂ ) = (0, 1, 0).

9. Per determinare una parametrizzazione della curva il cui sostegno `e dato dall’intersezione ( x ² + y ² + z ² = 1

z = x + 1 ,

( x ² + y ² + (x + 1) ² = 1

z = x + 1 ,

( _(x+

2

)

1

4

+ ^y

= 1 z = x + 1 possiamo utilizzare le coordinare polari ellittiche, ottenendo

'(t) = ( ¹ ₂ + ¹ ₂ cos t, ^{p 1} ₂ sin t, ³ ₂ + ¹ ₂ cos t) t 2 [0, 2⇡].

Una parametrizzazione del cilindro generalizzato di direttrice e generatrici le rette parallele al vettore w = (0, 1, 1) sar`a data allora da

(t, s) = '(t) + sw = ( ¹ ₂ + ¹ ₂ cos t, p ¹

2 sin t + s, ³ ₂ + ¹ ₂ cos t + s) (t, s) 2 [0, 2⇡] ⇥ R

Abbiamo che la superficie risulta di classe C ¹ con

t (t, s) = ( ¹ ₂ sin t, ^{p 1} ₂ cos t, ¹ ₂ sin t) e s (t, ✓) = (0, 1, 1) da cui

t (t, s) ^ ^s (t, s) = ( ^{p 1} ₂ cos t + ¹ ₂ sin t, ¹ ₂ sin t, ¹ ₂ sin t) e

k ^t (t, s) ^ ^s (t, s) k = q

1 + ¹ ₄ sin ² t + ₂ ^{p 1} ₂ sin(2t)

Dato che k ^t (t, s) ^ ^s (t, s) k 6= 0 per ogni (t, s) possiamo concludere che la superficie `e regolare.

10. Osservato che la retta passante per il punto della spirale (✓) = (✓ cos ✓, ✓ sin ✓, 1) e per l’origine

`e determinata dal vettore generatore w(✓) = (✓ cos ✓, ✓ sin ✓, 1), una parametrizzazione del cono generalizzato sar` a allora data da

: 8 >

<

> :

x = s✓ cos ✓ y = s✓ sin ✓ z = s

, s 2 R, ✓ 2 [0, 2⇡]

Abbiamo che la superficie risulta di classe C ¹ con

✓ (✓, s) = (s cos ✓ s✓ sin ✓, s sin ✓ + s✓ cos ✓, 0) e ✓ (t, ✓) = (✓ cos ✓, ✓ sin ✓, 1) da cui

t (✓, s) ^ ^✓ (✓, s) = (s(sin ✓ + ✓ cos ✓), s(✓ sin ✓ cos ✓), s✓ ² ) e

k ^t (✓, s) ^ ^✓ (✓, s) k = p

s ² (1 + ✓ ² + ✓ ⁴ )

Dato che k ^t (✓, s) ^ ^✓ (✓, s) k = 0 se e solo se s = 0, abbiamo che la superficie non `e regolare, l’unico

punto singolare `e il punto (✓, 0) = (0, 0, 0), il vertice del cono generalizzato.