1. Determinare una parametrizzazione della superficie semplice e regolare avente per sostegno S il cilindro ellittico x 2 + y4

7. ESERCIZI sulle SUPERFICI

1. Determinare una parametrizzazione della superficie semplice e regolare avente per sostegno S il cilindro ellittico x ² + ^y ₄

= 1, z 2 [0, 3]. Determinarne versore normale e piano tangente in P = (0, 2, 1).

2. Determinare una parametrizzazione della superficie semplice e regolare avente per sostegno la porzione di sfera S = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ² + z ² = 1, z 2 [ ¹ 2 , 1], y 0 }. Determinarne versore normale e piano tangente in P = ( ^p ₄ ² , ^p ₄ ⁶ , ^p ₂ ² ).

3. Determinare una parametrizzazione della superficie semplice e regolare avente per sostegno S la porzione di sfera x ² + y ² + z ² = 4 esterna al cilindro x ² + y ² = 1 nella regione z 0:

S = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ² + z ² = 4, x ² + y ² 1, z 0 } Determinarne versore normale e piano tangente in P = (0, p

2, p 2).

4. Determinare una parametrizzazione della superficie semplice e regolare avente per sostegno la porzione di cono C = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ² = z ² , z 2 [1, 3], y 0 }. Determinarne versore normale nel punto P = (0, 2, 2) e stabilire se la parametrizzazione determina un orientamento del versore normale entrante o uscente nel solido avente per frontiera laterale il cono C.

5. Determinare una parametrizzazione della superficie semplice e regolare avente per sostegno la porzione di paraboloide S = {(x, y, z) 2 R ³ | x ² + y ² = 4z, x 0, z 2 [1, 4]}. Determinarne versore normale nel punto P = (2, 0, 1) e stabilire se la parametrizzazione determina un orientamento del versore normale entrante o uscente nel solido avente per frontiera laterale il paraboloide S.

6. Determinare una parametrizzazione della superficie S ottenuta dalla rotazione di un angolo di ⇡ radianti attorno all’asse z della curva semplice e regolare a tratti avente per sostegno il segmento = {(x, z) 2 R ² | z = x 1, x 2 [1, 2]}.

7. Determinare una parametrizzazione della superficie S ottenuta dalla rotazione di un angolo di 2⇡

radianti attorno all’asse z della curva semplice e regolare a tratti avente per sostegno la frontiera del dominio D = {(x, z) 2 R ² | 1  x  2 z ² , z 2 [ 1, 1]}.

8. Determinare una parametrizzazione della superficie semplice avente per sostegno la regione S ottenuta dalla rotazione di un angolo di 2⇡ radianti attorno all’asse z della curva semplice e regolare di sostegno

= {(x, z) 2 R ² | x ² + y ² 2x = 3, x 2 }. Determinare il versore normale alla superficie nel punto P = (0, 3, 0).

9. Determinare una parametrizzazione del cilindro generalizzato avente come direttrice la curva avente per sostegno l’intersezione della sfera x ² + y ² + z ² = 1 con il piano z = x + 1 e avente come vettori generatori i vettori paralleli al vettore w = (0, 1, 1). Stabilire se la superficie risulta regolare.

10. Determinare una parametrizzazione del cono generalizzato avente come direttrice la spirale (✓) = (✓ cos ✓, ✓ sin ✓, 1), ✓ 2 [0, 4⇡] e vertice l’origine P = (0, 0, 0). Stabilire se la superficie risulta regolare.

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