Un altro modello per l’evoluzione delle popolazioni

Un altro modello per

l’evoluzione delle popolazioni

N₀ = numero iniziale di prede ● ● ● P₀ = numero iniziale di predatori

 Prede senza predatori: la variazione delle prede ΔN’ nel tempo Δt è direttamente proporzionale al loro numero iniziale:

ΔN’ = AN₀Δt (A costante >0)  N cresce esponenzialmente

 Predatori senza prede: la variazione dei predatori è direttamente proporzionale al loro numero iniziale (ma ha un segno negativo):

ΔP’ = – CP₀Δt (C costante >0)  P cresce esponenzialmente

 Prede e predatori: gli incontri tra le due specie portano a una diminuzione di prede e a un aumento di predatori.

Nel caso più semplice, queste variazioni sono direttamente proporzionali al prodotto N₀P₀ :

ΔN’’ = –BN₀P₀Δt ΔP’’ = DN₀P₀Δt (B, D costanti >0)

Traduzione in linguaggio matematico

 prede con cibo illimitato, assenza di predatori  crescita esponenziale: ΔN’ = AN₀Δt (con A>0)

 cibo limitato  la disponibilità di cibo per ciascun individuo è influenzata (negativamente) dalla popolazione totale

1- Prede con cibo limitato, senza predatori



l'equazione iniziale va modificata:

ΔN’ = (AλN

) N

Δt ( A, λ costanti >0)

1. A–λN

=0  N=N

=cost.

2. AλN

>0  N→A/λ (>N

)

3. A–λN <0  N→A/λ (<N )

Confronto tra i due modelli di crescita

 secondo il MODELLO LINEARE una popolazione di individui, isolata, senza vincoli esterni (cibo illimitato, no predatori)

aumenta esponenzialmente secondo la formula x_n = (1+a)ⁿx₀

 esistono altri modelli che descrivono una evoluzione diversa.

Un modello interessante e’ quello basato sulla curva logistica.

• Nel 1934 il biologo russo Georgyi F. Gause (1910-1986) propose un esperimento di coltura di un protozoo con cui evidenziò i i limiti del modello lineare.

• popolazione di partenza: 5 protozoi

• tempo di osservazione: 6 giorni

• tasso di crescita iniziale : ~ 231%

• con il passare del tempo la crescita rallentò progressivamente

• popolazione finale stabile ~ 375 individui.

• comportamento in evidente contrasto con quanto previsto

dal modello lineare.

la previsione del modello lineare era la seguente:

modello lineare

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

giorno

individui

giorno popolazione

0 5

1 17

2 55

3 181

4 600

5 1987

6 6576

Invece, i risultati ottenuti erano rappresentati da una curva del tipo:

Una spiegazione plausibile è quella che imputa il rallentamento della crescita alla “saturazione” dell’ambiente di coltura.

Prede in competizione per il cibo, senza predatori

ΔN = N

– N

= (AλN

) N

Δt ( A, λ costanti >0)

AλN

>0  N→A/λ (>N

)

• facciamo un esercizio sul foglio elettronico:

• partendo da :

ΔN = N₁ – N₀ = (AλN₀) N₀ Δt ( A, λ costanti >0) scriviamo:

1) N₁ = N₀ +(AλN₀) N₀ Δt 2) N₂ = N₁ +(AλN₁) N₁ Δt 3) N₃ = N₂ +(AλN₂) N₂ Δt ...

...

...

• rappresentiamo l’andamento della popolazione in funzione del tempo

• confrontiamo con il modello lineare ΔN = N₁ – N₀ = AN₀Δt

scriviamo:

1) N₁ = N₀ +AN₀ Δt 2) N₂ = N₁ +A N₁ Δt 3) N₃ = N₂ +A N₂ Δt ...

...

...

Questa evoluzione è descritta da una curva del tipo:

nota con il nome di curva logistica

At At

e N N

A

e t AN

N

0 0

0

) ) (

(     

“… dobbiamo ammettere che la crescita del numero degli individui di una specie in un ambiente limitato non potrebbe essere indefinita, ma che, man mano che il numero degli individui cresce, i coefficienti si modifichino. Beninteso, questo effetto potrà

esseretrascurato fino al momento in cui il numero degli individui non abbia sorpassato certi limiti;”

V. Volterra – U. D’Ancona : Le associazioni biologiche

In conclusione: