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Dati n numeri reali positivi x 1 , x 2 , · · · x n la formula della media aritmetica ` e:

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Academic year: 2021

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DISUGUAGLIANZA TRA MEDIA GEOMETRICA E ARITMETICA

Dati n numeri reali positivi x 1 , x 2 , · · · x n la formula della media aritmetica ` e:

M a = x 1 + x 2 + · · · + x n

n =

P n i=1 x i

n

Dati n numeri reali positivi x 1 , x 2 , · · · x n la formula della media geometrica ` e:

M g = √

n

x 1 · x 2 · · · x n =

n

v u u t

n

Y

i=1

x i

Si ha la seguente disuguaglianza

M g =

n

v u u t

n

Y

i=1

x i ≤ P n

i=1 x i

n = M a

Si far` a uso del principio di induzione

• Per n = 1 la disuguaglianza ` e vera risultando x 1 = x 1

• Supponiamo che al passo n − 1 risulti

M g 0 =

n−1

v u u t

n−1

Y

i=1

x i ≤ P n−1

i=1 x i n − 1 = M a 0 Si ha

M a = (n − 1)

n M a 0 + x n

n =



M a 0 + (x n − M a 0 ) n

 , M a

M a 0 =



1 + x n − M a 0 M a 0

1 n



,  M a

M a 0

 n

=



1 + x n − M a 0 M a 0

1 n

 n

Per applicare la disuguaglianza di Bernoulli dovr` a risultare −M a 0 + x n ≥

−nM a 0 ossia (n − 1)M a 0 + x n ≥ 0, che risulta verificata.

Pertanto

 M a

M a 0

 n

≥



1 + x n − M a 0 M a 0



= x n

M a 0 (M a ) n ≥ x n (M a 0 ) n−1 , e quindi per l’ipotesi induttiva

(M a ) n ≥ x n (G 0 a ) n−1 = x 1 · x 2 . . . x n =

n

Y

i=1

x i , e la dimostrazione ` e completa

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