Tema d’Esame del 29 giugno 2017 Esercizio 2

Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido

Tema d’Esame del 29 giugno 2017

Esercizio 2

𝑀 = 100 𝑔; 𝑅 = 0,10 𝑚; 𝜔₀ = 60 𝑟𝑎𝑑/𝑠; 𝑚 = 10 𝑔; 𝑣₀ = 80 𝑚/𝑠;

𝑣_𝑓 = 45 𝑚/𝑠; 𝜃 = 30°; 𝜑 = 45°;

i. 𝜔_𝑓 = ?;

Il problema in esame riguarda l’urto di una massa puntiforme con un corpo rigido vincolato a ruotare attorno ad un asse passante per il punto 𝑂. È dunque opportuno e necessario avvalersi del principio di conservazione del momento angolare rispetto al polo 𝑂 del sistema in esame. Infatti, ricordando la seconda equazione cardinale, si ha che:

𝑀_𝑂^𝑒

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝐿⃗⃗⃗⃗ _𝑂 𝑑𝑡 = 0 da cui 𝐿⃗⃗⃗⃗ è costante. _𝑂

Applichiamo dunque la conservazione del momento angolare nel seguente modo per ricavare 𝜔_𝑓:

𝐼_𝑂𝜔₀ + 𝑚𝑣₀𝑅 sen 𝜃 = 𝐼_𝑂𝜔_𝑓 + 𝑚𝑣_𝑓𝑅 sen 𝜑

dove 𝐼_𝑂 è il momento d’inerzia del disco rispetto al polo 𝑂, nonché rispetto al suo centro di massa che ricordiamo essere 𝐼_𝑂 =¹₂𝑀𝑅².

Si ha dunque

𝜔_𝑓 = 𝜔₀+𝑚𝑅

𝐼_𝑂 (𝑣₀sen 𝜃 − 𝑣_𝑓sen 𝜑) = 𝜔₀+ 2𝑚

𝑀𝑅(𝑣₀sen 𝜃 − 𝑣_𝑓sen 𝜑)

≈ 76,4 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido

ii. Δ𝑝 = ?;

Per calcolare la variazione della quantità di moto del sistema è sufficiente fare la differenza tra la quantità di moto finale e quella iniziale in termini vettoriali, ossia delle componenti.

Δ𝑝_𝑥 = 𝑚𝑣_𝑓cos 𝜑 + 𝑚𝑣₀cos 𝜃 Δ𝑝_𝑦 = 𝑚𝑣_𝑓sen 𝜑 − 𝑚𝑣₀sen 𝜃 Δ𝑝 = √(Δ𝑝_𝑥)²+ (Δ𝑝_𝑦)² ≈ 1,01 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚/𝑠 iii. Δ𝐾 = 0?

Affinché l’urto sia elastico è necessario che la variazione di energia cinetica del sistema sia nulla. Valutiamo se tale condizione è soddisfatta.

Δ𝐾 = 1

2𝐼_𝑂(𝜔_𝑓²− 𝜔₀²) +1

2𝑚(𝑣_𝑓²− 𝑣₀²) ≈ −21,3 𝐽 Siccome Δ𝐾 < 0, l’urto non è elastico.