LEZIONE 10. S(C,ρ) Figura 10.1

(1)

10.1. Sfere nello spazio.

In questa lezione studieremo alcuni oggetti geometrici “non lineari”, circonferenze e sfere nello spazio A³. Poiché le proprietà delle circonferenze nel piano sono del tutto analoghe alle proprietà delle sfere nello spazio ci limiteremo ad esaminare quest’ultimo caso.

Definizione 10.1.1. Sia C ∈ A³, % ∈ R, % > 0. Definiamo sfera S(C, %) di centro C e raggio % il luogo dei punti P ∈ A³ tali che d(P, C) = %.

O y

z

S(C,ρ)

x

C ρ

Figura 10.1

Poiché entrambe le quantità ai due membri dell’equazione d(P, C) = % sono positive, questo è equivalente alla condizione d(P, C)² = %². Esprimiamo tale condizione in coordinate: se C = (xC, yC, zC) ∈ A³, si ottiene l’equazione cartesiana della sfera nello spazio

(x − xC)²+ (y − yC)² + (z − zC)² = %².

Svolgendo i conti otteniamo la cosiddetta equazione della sfera di centro C = (x_C, y_C, z_C) e raggio %

(10.1.2) x²+ y²+ z²− 2x_Cx − 2y_Cy − 2z_Cz + x²_C + y_C² + z_C² − %² = 0 : ci`o significa che

S(C, %) = { (x, y, z) | x²+ y²+ z²− 2x_Cx − 2y_Cy − 2z_Cz + x²_C+ y²_C+ z_C² − %² = 0 }.

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1

(2)

2 10.1. SFERE NELLO SPAZIO

Esempio 10.1.3. La sfera di centro C = (0, −2, 1) e raggio % = 1 ha equazione (x − 0)²+ (y + 2)²+ (z − 1)²− 1 = x²+ y²+ z²+ 4y − 2z + 4 = 0.

Si noti che, essendo noi interessati al luogo dei punti che annullano l’Equazione (10.1.2) e non all’equazione stessa, possiamo ad essa sostituire un qualsiasi suo multiplo non nullo: quindi, per ogni λ ∈ R non nullo, abbiamo anche

S(C, %) = { (x, y, z) | λ(x²+y²+z²−2xCx−2yCy−2zCz +x²_C+y_C²+z_C²−%²) = 0 }.

Esempio 10.1.4. Ricordando l’Esempio 10.1.3, osserviamo che anche equazione

−2x²− 2y²− 2z²− 8y + 4z − 8 = 0

`

e un’equazione cartesiana della sfera di centro C = (0, −2, 1) e raggio % = 1.

Si ha, dunque, un’equazione di grado 2 nelle coordinate del punto generico. Tale equazione ha due caratteristiche principali. La prima `e che manca dei monomi

“misti” (cio`e in xy, xz, yz). La seconda `e che i coefficienti dei termini quadratici sono non nulli ed uguali fra loro.

Viceversa supponiamo di avere un’equazione di grado 2 con tali propriet`a.

A patto di dividere per il coefficiente comune dei termini quadratici, abbiamo un’equazione della forma

(10.1.5) x²+ y²+ z²+ αx + βy + γz + δ = 0 :

ci domandiamo se l’Equazione (10.1.5) rappresenta una sfera e, in caso affermativo, come calcolare il suo centro ed il suo raggio.

Confrontando le Equazioni (10.1.2) e (10.1.5) deduciamo che dovrebbero esistere x_C, y_C, z_C ∈ R e % ∈ R positivo per cui valgano le relazioni

α = −2xC, β = −2yC, γ = −2zC, δ = x²_C + y²_C + z_C² − %², quindi

xC = −α

2, yC = −β

2, zC = −γ

2, 4%² = α²+ β²+ γ² − 4δ.

Abbiamo perci`o la seguente Proposizione 10.1.6. L’insieme

S = { (x, y, z) | x²+ y²+ z²+ αx + βy + γz + δ = 0 }

`e una sfera in A³ se e solo se α²+ β²+ γ²− 4δ > 0.

Se ci`o accade, risulta S = S(C, %) ove C =

−α 2, −β

2, −γ 2

, % =

pα²+ β²+ γ²− 4δ

2 .

Per semplicit`a, qualora valga la condizione α²+β²+γ²−4δ < 0 per l’Equazione (10.1.5), si dice che essa rappresenta una sfera immaginaria (o, anche, una sfera di raggio immaginario o a punti immaginari) o che l’insieme

S = { (x, y, z) | x²+ y²+ z²+ αx + βy + γz + δ = 0 }

che con tale condizione sui coefficienti `e l’insieme vuoto, `e una sfera immaginaria (o, anche, una sfera di raggio immaginario o a punti immaginari).

(3)

Esempio 10.1.7. Si consideri l’equazione

x²+ y²+ z²+ 3x − 2y + 1 = 0.

Poiché 3² + (−2)² − 4 · 1 = 3 > 0 tale equazione è l’equazione di una sfera S in A³. Il suo centro è C = (−3/2, 1, 0), il suo raggio % =√

3/2.

Invece l’equazione

x²+ y²+ z²+ 3x − 2y + 2 = 0

non rappresenta una sfera nel senso della Definizione 10.1.1 poich´e 3²+ (−2)²− 4 · 2 = −1 < 0: rappresenta, invece, una sfera immaginaria.

10.2. Circonferenze nello spazio.

Definizione 10.2.1. Sia π ⊆ A³ un piano, C ∈ π, % ∈ R, % > 0. Definiamo circonferenza C(π, C, %) del piano π, di centro C e raggio % il luogo dei punti P ∈ π tali che d(P, C) = %.

O y

z

C

x

ρ S C

Figura 10.2

Per rappresentare la circonferenza C(π, C, %) ci possono essere vari modi. Il più comodo è quello di pensarla come intersezione del piano π con S(C, %). Cioè se π ha equazione

ax + by + cz = d

e C = (xC, yC, zC), si ottengono le seguenti cartesiane per C(π, C, %)

(10.2.2) ax + by + cz = d

(x − xC)²+ (y − yC)²+ (z − zC)² = %².

(4)

4 10.2. CIRCONFERENZE NELLO SPAZIO

Esempio 10.2.3. Nel piano π di equazione x + y + z = 3 si consideri il punto C = (1, 1, 1). Allora la circonferenza del piano π di centro C e raggio % = 1 ha equazioni cartesiane

x + y + z = 3

x²+ y²+ z²− 2x − 2y − 2z + 2 = 0.

Come nel caso della sfera ci poniamo ora il problema inverso a quello della rappresentazione. Cio`e dato il sistema della forma

(10.2.4) ax + by + cz = d

x²+ y²+ z²+ αx + βy + γz + δ = 0,

ci domandiamo se esso rappresenta una circonferenza e, in caso affermativo, come calcolare il suo centro ed il suo raggio (il piano d’appartenenza `e, evidentemente, quello d’equazione ax + by + cz = d).

Chiaramente, affinché il Sistema (10.2.4) rappresenti una circonferenza è, innan- zi tutto, necessario che l’equazione x²+ y²+ z²+ αx + βy + γz + δ = 0 rappresenti una sfera S(C, %) di centro C e raggio %. Se ciò accade, allora occorre e basta che il piano π di equazione ax + by + cz = d e la sfera S(C, %) abbiano punti in comune:

ci`o accade se e solo se C ha distanza d(C, π) da α minore di %.

C' ρ'

α S(C,ρ)

d(C,α)

C ρ

Figura 10.3

Sia ora C = π ∩ S(C, %). In tale caso il centro della circonferenza CalC `e la proiezione ortogonale C⁰ sul piano π: invece `e il raggio %⁰ di C soddisfa la relazione

%² = %⁰²+ d(π, C)², da cui si deduce

(10.2.5) %⁰ =p

%²− d(π, C)².

Se, invece, d(C, π) > %, il Sistema (10.2.4) non ha soluzioni, cio`e π ∩S(C, %) = ∅.

(5)

C'

α S(C,ρ)

d(C,α)

C ρ

Figura 10.4

Esempio 10.2.6. Si consideri il piano π_h d’equazione x + y + z = 1 + h, h ∈ R.

Sia poi S la sfera di equazione

x²+ y²+ z²− 2x − 2y − 2z − 1 = 0.

Vogliamo individuare i valori di h ∈ R tali che S ∩ π^h sia una circonferenza. A tale scopo osseriamo che S ha centro nel punto C = (1, 1, 1) e raggio % = 2. Poich´e

d(C, π_h) = |2 − h|

3

segue che S ∩ πh è una circonferenza se e solo se |2 − h| < 6: svolgendo i calcoli ciò significa che S ∩ πh è una circonferenza se e solo se h ∈] − 4, 8[.

Siano Ch e %h rispettivamente il centro ed il raggio di tale circonferenza, cio`e C(π_h, C_h, %_h) = S ∩ π_h. Per determinare %_h utilizziamo la Formula (10.2.5):

otteniamo

%h = s

2²− 2 − h 3

2

=

√32 + 4h − h²

3 .

Per quanto riguarda il calcolo delle coordinate del centro C_h si noti che la retta u per C e perpendicolare a πh ha equazioni parametriche







x = 1 + t y = 1 + t z = 1 + t.

Dunque

Ch = u ∩ πh = 1 + h

3 ,1 + h

3 ,1 + h 3

.

(6)

6 10.2. CIRCONFERENZE NELLO SPAZIO

Più interessante è il caso in cui d(C, π) = %. In questo caso si ha che l’intersezione π ∩ S(C, %) = P0 si riduce ad un solo punto. In questo caso π è l’unico piano passante per P₀ e perpendicolare a P₀− C.

P

α S(C,ρ)

C ρ

0

Figura 10.5 Introduciamo allora la seguente

Definizione 10.2.7. Sia data la sfera S(C, %) ⊆ A³ e sia P0 ∈ S(C, %). Definiamo piano tangente a S(C, %) nel punto P₀, l’unico piano per P₀perpendicolare a P₀−C.

Una retta tangente a S(C, %) in P0 `e una qualsiasi retta passante per P0 e contenuta nel piano tangente a S(C, %) nel punto P₀.

Si noti che il piano tangente `e lo stesso per tutte le sfere passanti per P0 ed aventi centro sulla retta per P₀ e C: infatti il centro di tali sfere ha coordinate (x0 + t(xC − x0), y0+ t(yC − y0), z0 + t(zC − z0)) per un opportuno t ∈ R non nullo, dunque il piano tangente in P₀ ha in tal caso equazione

t(x0− xC)(x − x0) + t(y0− yC)(y − y0) + t(z0− zC)(z − z0) = 0 cio`e, semplificando t,

(x0− xC)(x − x0) + (y0− yC)(y − y0) + (z0− zC)(z − z0) = 0.

Sia ora C una circonferenza intersezione del piano π. È solo questione di facili conti verificare che i piani tangenti in P0 alle sfere S contenenti C passano tutti per una stessa retta r ⊆ π. Tale retta interseca C solo in P₀ ed ha la proprietà di essere perpendicolare al vettore P0− C⁰ ove C⁰ ∈ π è il centro di C.

Esempio 10.2.8. Siano C = (1, 1, 1), % =√

3. Allora S(C, %) ⊆ A³ ha equazione x²+ y²+ z²− 2x − 2y − 2z = 0

e contiene P0 = (2, 2, 2). Il piano tangente a S(C, %) in P0 ha dunque equazione (2 − 1)(x − 2) + (2 − 1)(y − 2) + (2 − 1)(z − 2) = 0,

(7)

cio`e x + y + z = 6.

La retta







x = 2 + t y = 2 − 2t z = 2 + `t

`

e tangente a S(C, %) in P₀ se e solo se ` = 1.

Osservazione 10.2.9. Un caso interessante di circonferenze sono quelle contenute nel piano xy, cio`e quelle le cui equazioni cartesiane sono della forma

(10.2.9.1) z = 0

x²+ y²+ z²+ αx + βy + γz + δ = 0, (si veda il Sistema (10.2.4)). Il Sistema (10.2.9.1) `e equivalente a

(10.2.9.2) z = 0

x²+ y²+ αx + βy + δ = 0,

che rappresenta la circonferenza data come intersezione del piano xy con un cilindro circolare avente asse perpendicolare a tale piano. Spesso si parla allora della circonferenza nel piano di equazione

x²+ y²+ αx + βy + δ = 0.

Quanto detto sopra per le sfere continua a valere, con le dovute modifiche, per le circonferenze nel piano xy (calcolo del centro e del raggio, circonferenze immaginarie, calcolo della retta tangente, etc.).

10.3. Intersezione di due sfere.

Si considerino ora due sfere in A³, diciamo S(C1, %1) e S(C2, %2). La struttura dell’intersezione S(C1, %1)∩S(C2, %2) `e legata strettamente alla distanza d(C1, C2).

Si possono verificare tre casi principali.

Nel primo caso d(C1, C2) > %1 + %2 oppure d(C1, C2) < |%1− %2|: le due sfere non possono avere punti in comune e sono, rispettivamente, esterne o interne l’una all’altra.

S(C,ρ)

S(C',ρ') C

C'

C

C'

S(C',ρ') S(C,ρ)

Figura 10.6

(8)

8 10.3. INTERSEZIONE DI DUE SFERE

Nel secondo caso d(C₁, C₂) = %₁ + %₂ oppure d(C₁, C₂) = |%₁ − %₂|: le due sfere hanno esattamente un punto in comune. Si dicono tangenti, rispettivamente, esternamente o internamente.

S(C,ρ)

S(C',ρ')

C

C'

C

C'

S(C',ρ') S(C,ρ)

P P

0 0

Figura 10.7

Nel terzo caso |%1− %2| < d(C1, C2) < %1+ %2: in questo caso le due sfere hanno punti in comune

S(C,ρ)

S(C',ρ') C

C'

Figura 10.8

Tali punti descrivono una circonferenza C avente centro sulla retta che unisce i punti C₁ e C₂. Vogliamo determinarne le equazioni cartesiane.

Si osservi preliminarmente che C₁ 6= C₂, cio`e le due sfere non sono concentriche.

Se le equazioni delle due sfere sono rispettivamente

(10.3.1) x²+ y²+ z²+ α1x + β1y + γ1z + δ1 = 0 x²+ y²+ z²+ α2x + β2y + γ2z + δ2 = 0

allora tale condizione si traduce nella disuguaglianza (α₁, β₁, γ₁) 6= (α₂, β₂, γ₂).

Le coordinate dei punti di C soddisfano le due equazioni di S(C1, %1) e S(C2, %2), dunque soddisfano anche l’equazione ottenuta sottraendo membro a membro le due Equazioni (10.3.1): in particolare le coordinate dei punti di C soddisfano anche l’equazione di primo grado

(α₁− α₂)x + (β₁− β₂)y + (γ₁− γ₂)z + (δ₁− δ₂) = 0 :

(9)

poich´e (α₁, β₁, γ₁) 6= (α₂, β₂, γ₂) tale equazione rappresenta, nello spazio A³, un piano π che contiene C. Dunque possiamo scrivere C = π ∩ S(Ci, %i). Si noti che il piano π `e perpendicolare a

C1− C2 = (α1− α2)~ı + (β1− β2)~ + (γ1− γ2)~k 6= ~0.

Definizione 10.3.2. Date le due sfere S1 e S2 non concentriche, rispettivamente di equazione

x²+ y²+ z²+ α1x + β1y + γ1z + δ1 = 0, x²+ y²+ z²+ α2x + β2y + γ2z + δ2 = 0.

Il piano π di equazione

(α1− α2)x + (β1− β2)y + (γ1− γ2)z + (δ1− δ2) = 0 viene detto piano radicale della coppia di sfere S1 e S2.

Esempio 10.3.3. Si considerino le due sfere S₁ e S₂ rispettivamente di equazione x²+ y²+ z²− 2x − 2y + 4z + 5 = 0,

x²+ y²+ z²+ 2x + 2y − 4z + 1 = 0.

Allora il centro di S1 `e C1 = (1, 1, −2), mentre il centro di S2 `e C2 = (−1, −1, 2), quindi d(C1, C2) = 5.

Poich´e e %1 = %2 = 1 si deduce che S1 ∩ S2 = ∅: di pi`u le sfere sono esterne l’una all’altra.

Esempio 10.3.4. Si considerino le due sfere S₁ e S₂ rispettivamente di equazione x²+ y²+ z²− 2x − 4z + 4 = 0,

x²+ y²+ z²− 2x − 2y − 2z + 2 = 0.

Allora il centro di S1 `e C1 = (1, 0, 2), mentre il centro di S2 `e C2 = (1, 1, 1), quindi d(C₁, C₂) = √

2. Per quanto riguarda i raggi abbiamo %₁ = %₂ = 1. Concludiamo che C = S1∩ S2 `e una circonferenza: calcoliamone centro e raggio. A tale scopo osserviamo prima che il piano radicale π, che contiene C, ha equazione

y − z + 1 = 0.

La retta passante per C₁ e C₂ ha equazioni





 x = 1 y = 1 + t z = 1 − t.

(10)

10 10.3. INTERSEZIONE DI DUE SFERE

Concludiamo che il centro di C `e C = (1, 1/2, 3/2). Per quanto riguarda il raggio

%, poich´e d(C1, π) = 1/√

2, segue che

% = q

%²₁− d(C1, π)² = 1/√ 2.

Quanto visto sopra circa l’intersezione di due sfere pu`o essere utile per la determinazione di sfere che soddisfano certe propriet`a come, per esempio, con- tenere una circonferenza data o essere tangenti ad un piano dato.

Esempio 10.3.5. Si consideri la circonferenza C di equazioni

x²+ y²+ z²− 7 = 0 x + y + z − 3 = 0.

Una sfera contenente C `e perci`o S₁ di equazione x² + y²+ z²− 7 = 0.

Per quanto osservato sopra, ogni altra sfera S contenente C deve avere un’equazione della forma

x²+ y²+ z²+ αx + βy + γz + δ = 0 tale che

(x²+ y²+ z²+ αx + βy + γz + δ) − (x²+ y²+ z²− 7) = λ(x + y + z − 3), cio`e

x²+ y²+ z²+ αx + βy + γz + δ = x²+ y²+ z²− 7 + λ(x + y + z − 3) per un’opportuno λ ∈ R.

Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera contenente C e passante per P₀ = (1, 0, 0) dobbiamo scegliere λ tale che

1²+ 0²+ 0²− 7 + λ(1 + 0 + 0 − 3) = 0, ovvero λ = −3. Pertanto la sfera cercata ha equazione

x²+ y²+ z²− 3x − 3y − 3z + 2 = 0.

(11)

Esempio 10.3.6. Si consideri il piano π di equazione x + y + z − 3 = 0

e sia P0 = (1, 1, 1): si noti che P0 ∈ π. Vogliamo determinare le sfere tangenti a π in P0. ogni sfera di questo tipo ha centro in un punto della retta per P0

perpendicolare a π, cio`e in un punto Ct avente coordinate (1 + t, 1 + t, 1 + t), quindi ha equazione della forma

x²+ y²+ z²− 2(1 + t)x − 2(1 + t)y − 2(1 + t)z + 3 + 6t + t²− %² = 0 Poich´e P₀ appartiene a tale sfera si ha necessariamente t² = %². A questo punto si osserva facilmente che tale equazione si pu`o anche scrivere come

(x − 1)²+ (y − 1)²+ (z − 1)²+ λ(x + y + z − 3) = 0 con λ = −2t.

Se, per esempio, vogliamo determinare la sfera tangente a π e passante per P0 = (1, 0, 0) dobbiamo scegliere λ tale che

0²+ (−1)²+ (−1)²− 2λ(1 + 0 + 0 − 3) = 0, ovvero λ = 1. Pertanto la sfera cercata ha equazione

x²+ y²+ z²− x − y − z = 0.