DIARIO DELLE LEZIONI DI TUTORATO DI ANALISI MATEMATICA I Corsi di laurea in Ingegneria delle Comunicazioni e Ingegneria Elettronica Tutor:

DIARIO DELLE LEZIONI DI TUTORATO DI

ANALISI MATEMATICA I

Corsi di laurea in Ingegneria delle Comunicazioni e Ingegneria Elettronica

Tutor: Dott. Salvatore Fragapane

Lezione 1 - 03/10/2018, dalle 12.00 alle 14.00 in aula 3 - Esempi svolti:

Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 28/09/2018. Inoltre:

Es.1 Determinare i seguenti insiemi numerici:

(a) {x ∈ R : x⁴− 3x²+ 2x = 0} ∪ {x ∈ R : √

1 − x²+ 1

√x ≥ 0}.

(b) {x ∈ R : √

x + 2 ≥√

3 − x + 1}.

- Esercizi assegnati:

i) Dimostrare la seguente uguaglianza:

A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).

ii) Dati gli insiemi

A = {n ∈ N : n² < 36}

e

B = {n ∈ N : n `e un divisore primo di 30} ∪ {1, 4}, dire se c’`e una qualche relazione di inclusione tra essi.

iii) Provare che inf(−1, 3) = −1.

iv) Determinare inf e sup dei seguenti insiemi numerici, specificando se si tratta di min e max:

(a) A = {n + 7

n + 1 : n ∈ N}.

(b) B = {(−1)ⁿ⁺¹n²

n + 3 : n ∈ N}.

(c) C = {(−1)ⁿn

n + 1 : n ∈ N}.

v) Determinare i seguenti insiemi numerici:

(a) {x ∈ R : x⁴− 10x²+ 9 = 0} ∩ {x ∈ R : |x − 3| ≤ 5}.

(b) {x ∈ R : |x²+ 3x + 2| < x + 2}.

(c) {x ∈ R : x + 2

x²+ 2x ≤ −1} ∪ {x ∈ R : √

4 − x² < 1}.

(d) {x ∈ R : |x| ≥ 2} ∩ {x ∈ R : x + 2 x − 2 < 0}.

(e) {x ∈ R : √

x²− x < |x − 2|} ∩ {x ∈ R : |x − 2| − 4|x| > 7}.

Lezione 2 - 10/10/2018, dalle 12.00 alle 14.00 in aula 3 - Esempi svolti:

Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 05/10/2018. Inoltre:

Es.1 Dimostrare, usando il principio di induzione, che la seguente propriet`a P (n) `e vera per ogni n ∈ N.

P (n) :

n

X

k=1

k² = (n + 1)(n + 2)(2n + 1)

6 .

- Esercizi assegnati:

i) Raprresentare graficamente le seguenti funzioni, precisandone il dominio, l’immagine, la monotonia e le eventuali simmetrie:

(a) f (x) = max{|x|,p|x|}

(b) f (x) = min{1,√³ x}

ii) Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni:

(a) f (x) = log₈(x²+ 2x + 1) 5^3x−1− 125 , (b) f (x) = 2 log₂(x − 1) +

rx + 1 x ,

(c) f (x) =

√3

x⁴− 3x²+ 2 log₃(log¹

2(3x − 2)), (d) f (x) = |x + 5|^−π

x⁴+ 3x²+ 10.

iii) Determinare l’insieme numerico individuato dalle soluzioni delle seguenti equazioni:

(a) 3^2x+1> −81 + 12 · 3^x,

(b) log₂(x − 1) + log₂(x + 3) > 1 + 2 log₂x, (c) √

x² + 3x > x − 2, (d) log₃(√

1 − x − 2) ≥ 1, (e)

r1 − 2x x ≤ x, (f) |x| − 3|x − 7| > 1 − 4x,

(g) 4^x− 4^xlog₂(7 − x²).

Lezione 3 - 17/10/2018, dalle 12.00 alle 14.00 in aula 3 - Esempi svolti:

Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 12/10/2018. Inoltre:

Es.1 Rappresentare graficamente le seguenti funzioni, precisando sup e inf (ed eventuali minimi e meassimi assoluti):

(a) f (x) = log₃(x − 7), (b) f (x) = 2| sin(x + π

4)| − 3.

Es.2 Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni:

(a) f (x) = 3x²+ 1 x²+√

x − 1, (b) f (x) = sin(arcsin(7x − 4)),

(c) f (x) = tan(arcsin(x − 2)),

(d) f (x) = s

log₂(x − 1) log₂(4x − 7) − 1.

- Esercizi assegnati:

i) Rappresentare graficamente le seguenti funzioni, precisando sup e inf (ed eventuali minimi e meassimi assoluti):

(a) f (x) = log₅(x − 3) + 2, x ∈ (3, 5], (b) f (x) = 2^x+1− 3, x ∈ (0, 7).

ii) Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni:

(a) f (x) = arcsin(|x| − 5), (b) f (x) = arctan(x +√

x⁴− 3x² − 4), (c) f (x) = tan(x²+ π

2), (d) f (x) = 2^{x+log5(3x−2)}− 1.

(e) f (x) = log₃(log₂(2^|x|− 1)), (f) f (x) = (7x²− 8x + 1)^π−1

2^|x|x−1− 1 . iii) Determinare inf e sup (min e max) delle seguenti successioni:

(a) an= n + 1 n + 5, (b) a_n = n²

n + 1, (c) an= n⁴+ 4n²,

Lezione 4 - 24/10/2018, dalle 12.00 alle 14.00 in aula 3 - Esempi svolti:

Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 19/10/2018.

- Esercizi assegnati:

i) Verificare i seguenti limiti usando la definizione.

(a) lim

n→+∞

2n²

3n²+ 1 = 2

3; (b) lim

x→0⁻

4 − x

x = −∞ ;

(c) lim

x→1

1

x²+ 1 = 1

2; (d) lim

x→−∞arctan(x) = −π 2 ; (e) lim

x→3

x²− 9

x − 3 = 6 ; (f) lim

x→+∞

2x²+ 1

x + 1 = +∞ ; (g) lim

x→−∞5^−x2+1 = 0 ; (h) lim

x→02^x3 = 2 ; (i) lim

x→1

2x²

x + 1 = 1 ; (l) lim

n→+∞sin1 n



= 0 .

Lezione 5 - 31/10/2018, dalle 12.00 alle 13.30 in aula 3 - Esempi svolti:

Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 26/10/2018. Inoltre:

Es.1 Calcolare, se esistono, i seguenti limiti.

(a) lim

2→3

x²+ 2x − 3

|x + 3| ; (b) lim

n→+∞(√

n² + 1 −√

n²− 1) ;

(c) lim

n→+∞(√

n²+ n + 1 −√

n²− 1) ; (d) lim

x→+∞

log₄(x + 4^x) log₂(1 + 2^2x). Es.2 Verificare il seguente limite, usando la definizione.

lim

x→0⁻

1 − x

x = −∞.

Lezione 6 - 07/11/2018, dalle 12.00 alle 14.00 in aula 3 - Esempi svolti:

Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 02/11/2018.

- Esercizi assegnati:

i) Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

(a) lim

x→+∞

x⁷− 3x²+ 1

2x⁶− 3x⁷+ 7x − 3; (b) lim

x→1

√7x + 2 − 3 x²− 3x + 2 ; (c) lim

x→0

arctan(ln(1 + x))

x ; (d) lim

n→+∞

3n²+ 1

n^2a+ 7n^1−a, a ∈ R ; (e) lim

x→^π₂

cos²x

(x −^π₂)² ; (f) lim

x→+∞

x³+ 1 x³+ 2

^x5−3

2x3 ;

(g) lim

x→+∞

h3

r 1 + 1

x − 1i

x ; (h) lim

x→0⁺

x^x+1; (i) lim

x→+∞

1 − cos x

x² ; (j) lim

x→0

tan x²arcsin x (e^x− 1) ln(1 + x²); (k) lim

x→+∞x³[ln(x³+ x) − ln(x³+ 1)] ; (l) lim

n→+∞(sin n)n² + 3n − 1 4n³ + 7 ; (m) lim

x→+∞

(1 − e^x31 )x

1 − cos¹_x ; (n) lim

x→3

x²− 9 sin(x − 3) (o) lim

n→+∞

n!eⁿ nⁿ√

4n; (p) lim

n→+∞

(a + 1)ⁿ− 4

2ⁿ⁺¹+ n , a ≥ −1 . Lezione 7 - 14/11/2018, dalle 12.00 alle 14.00 in aula 3

- Esempi svolti:

Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 09/11/2018. Inoltre:

Es.1 Dire per quali valori del parametro x ∈ R le seguenti serie risultano convergenti e calcolarne la somma.

(a)

+∞

X

n=0

(x +√

x²− 1)ⁿ , (b)

+∞

X

n=1

x²− 4 3

n

.

Es.2 Studiare, al variare di α ∈ R dove presente, il carattere delle seguenti serie numeriche.

(a)

+∞

X

n=1

[arctan(n + 1) − arctan(n)] , (b)

+∞

X

n=1

ln(1 +_n¹2) sin_n¹ , (c)

+∞

X

n=1



n^α−3+ n² n^α+1+ 2



, (d)

+∞

X

n=1

n + 1 n + 3

n

. - Esercizi assegnati:

i) Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche.

(a)

+∞

X

n=1

n²

n⁵ + 1 , (b)

+∞

X

n=1

1 neⁿ,

(c)

+∞

X

n=1

10

n²+ 2ⁿ⁻¹ , (d)

+∞

X

n=1

[√

n²+ 7 −√

n²− 1],

(e)

+∞

X

n=1

[√

n²+ 3n − 2 − n].

Lezione 8 - 21/11/2018, dalle 12.00 alle 14.00 in aula 3 - Esempi svolti:

Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 16/11/2018. Inoltre:

Es.1 Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche.

(a)

+∞

X

n=1



1 + 3

4n³+ 1

n

.

Es.2 Studiare la continuit`a delle seguenti funzioni (al variare di α ∈ R dove richiesto).

(a) f (x) =







e^−x21 , x 6= 0

0, x = 0 , (b) f (x) =







x^α−1

x−1 , x > 1

αx²− 3x + 1, x ≤ 1 , (c) f (x) =







cos x

x−^π₂, x 6= ^π₂ 2, x = ^π₂

.

- Esercizi assegnati:

i) Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche (al variare di α ∈ R dove richiesto).

(a)

+∞

X

n=1

tan 1 n + 1



, (b)

+∞

X

n=1

tan n!eⁿ

nⁿ⁺², (c)

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 1 n + 7,

(d)

+∞

X

n=0

sin³n

n³+ 2n + 1, (e)

+∞

X

n=1

n^α(1 − eⁿ²¹ ),

(f)

+∞

X

n=1

n²

n^α+ ln n, (g)

+∞

X

n=1

2²ⁿnⁿ

5

r 1 + 1

n − 1n

,

ii) Studiare la continuit`a delle seguenti funzioni (al variare di α ∈ R dove richiesto).

(a) f (x) =







x sin¹_x, x 6= 0

0, x = 0 , (b) f (x) =







ln(1+x²)

3x² , x 6= 0

α, x = 0 , (c) f (x) =











(1 + αx⁴)^x31 , x > 0 0, x = 0

x²+αx

x³+x , x < 0

.