Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica Tutor: Caterina Fenu

Esercitazione 2 (16 Ottobre 2017)

Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica, Elettronica e Informatica Tutor: Caterina Fenu

1. Sviluppare in serie di Fourier la funzione

f (x) =







−1 − sin(x), −4 ≤ x < −2,

x, −2 ≤ x < 2,

1 − sin(x), 2 ≤ x < 4.

2. Si scriva la serie di Fourier della funzione di periodo 2π definita da

Soluzione:

1. La funzione f (x) `e dispari. Infatti:

f (−x) =







1 + sin(x), −4 ≤ x < −2,

−x, −2 ≤ x < 2,

−1 + sin(x), 2 ≤ x < 4.

= −f (x)

Per questo i coefficienti a₀ e a_k sono nulli.

Inoltre L = 4 quindi ω = _L^π = ^π₄, perci`o lo sviluppo in serie di Fourier della f (x) `e

S_f(x) =

∞

X

k=1

b_ksin kπ 4x f (x) =







sin(x), x ,

x, x >

≤ 0 0

.

.

.

)

Si ha:

b_k = 2 L

Z L 0

f (x) sin kπ

4x dx = 2 4

Z 4 0

f (x) sin kπ 4x dx

= 1 2

(Z 2 0

x sin kπ

4x dx + Z 4

2

(1 − sin x) sin kπ 4x dx

)

Integrando per parti il primo integrale e dividendo il secondo:

= 1 2

(

−xcos k^π₄x k^π₄

2 0

+ Z 2

0

cos k^π₄x k^π₄ dx +

Z 4 2

sin kπ

4x dx − Z 4

2

sin x sin kπ 4x dx

)

= 1 2

( 4 kπ

−2 cos kπ 2 − 0

+ 4 kπ

sin k^π₄x k^π₄

2 0

− cos k^π₄x k^π₄

4 2

− Z 4

2

sin x sin kπ 4x dx

)

= 1 2

(−8

kπ cos kπ

2 + 16 k²π²

 sin kπ

2 − 0

− 4 kπ



cos kπ − cos kπ 2

− Z 4

2

sin x sin kπ 4x dx

)

Per svolgere l’ultimo integrale utilizziamo le formule di Werner sin α sin β = 1

2(cos (α − β) − cos (α + β)) . Nel nostro caso α = x e β = k^π₄x e quindi

cos (α − β) = cos (x − kπ

4x) = cos [(1 − kπ 4)x]

cos (α + β) = cos (x + kπ

4x) = cos [(1 + kπ 4)x]

da cui Z 4

2

sin x sin kπ

4x dx = 1 2

Z 4 2

cos [(1 − kπ

4)x] dx − Z 4

2

cos [(1 + kπ 4)x] dx



= 1 2

 sin [(1 − k^π₄)x]

1 − k^π₄

4 2

−1 2

 sin [(1 + k^π₄)x]

1 + k^π₄

4 2

= 1

2(1 − k^π₄)



sin [(1 − kπ

4)4] − sin [(1 − kπ 4)2]



− 1

2(1 + k^π₄)



sin [(1 + kπ

4)4] − sin [(1 + kπ 4)2]



= 1

2 − k^π₂



sin (4 − kπ) − sin (2 − kπ 2)

− 1

2 + k^π₂



sin (4 + kπ) − sin (2 + kπ 2) Dalle formule:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α − β) = sin α cos β − cos α sin β

si ha:

sin (4 − kπ) = sin 4 cos kπ − cos 4 sin kπ = (−1)^ksin 4 sin (2 − kπ

2) = sin 2 cos kπ

2 − cos 2 sin kπ 2

sin (4 + kπ) = sin 4 cos kπ + cos 4 sin kπ = (−1)^ksin 4 sin (2 + kπ

2) = sin 2 cos kπ

2 + cos 2 sin kπ 2

Proseguendo il calcolo si ha:

b_k = − 4

kπcos kπ 2 + 8

k²π² sin kπ 2 − 2

kπ(−1)^k+ 2

kπcos kπ 2 −

Z 4 2

sin x sin kπ 4x dx

= − 4

kπcos kπ 2 + 8

k²π² sin kπ 2 − 2

kπ(−1)^k+ 2

kπcos kπ 2

− 1

2 − k^π₂



(−1)^ksin 4 − sin 2 cos kπ

2 − cos 2 sin kπ 2



+ 1

2 + k^π₂



(−1)^ksin 4 − sin 2 cos kπ

2 − cos 2 sin kπ 2



= cos kπ 2



− 4 kπ + 2

kπ + sin 2

2 − k^π₂ − sin 2 2 + k^π₂



+ sin kπ 2

 8

k²π² + cos 2

2 − k^π₂ − cos 2 2 + k^π₂



+ (−1)^k



− 2

kπ − sin 4

2 − k^π₂ + sin 4 2 + k^π₂



= cos kπ 2



− 2

kπ + 4kπ sin 2 16 − k²π²



+ sin kπ 2

 8

k²π² + 4kπ cos 2 16 − k²π²



+ (−1)^k



− 2

kπ − 4kπ sin 4 16 − k²π²

 .

Quindi lo sviluppo della f (x) ´e:

S_f(x) =

∞

X

k=1

b_ksin kπ 4x =

∞

X

k=1

 cos kπ

2



− 2

kπ + 4kπ sin 2 16 − k²π²



+ sin kπ 2

 8

k²π² + 4kπ cos 2 16 − k²π²



+ (−1)^k



− 2

kπ − 4kπ sin 4 16 − k²π²



sin kπ 4x

Dato che non ´e ne’ pari ne’ dispari, dobbiamo calcolare tutti e tre i coefficienti a_o, a_k e b_k sapendo che ω = _L^π = 1.

a₀ = 1 2L

Z L

−L

f (x) dx = 1 2π

Z 0

−π

sin x dx + Z π

0

x dx



= 1

2π[− cos x]⁰_−π + 1 2π

 x² 2

π 0

= − 1

2π(cos (0) − cos (−π)) + 1

4π · π² = −1 π +π

4 a_k = 1

L Z L

−L

f (x) cos kx dx = 1 π

Z 0

−π

sin x cos kx dx + Z π

0

x cos kx dx



=

= 1 π

 1 2

Z 0

−π

sin [(1 + k)x] dx + Z 0

−π

sin [(1 − k)x] dx



+



xsin kx k

π 0

− Z π

0

sin kx k dx



= 1 2π

(

−cos (1 + k)x 1 + k

0

−π

+



−cos (1 − k)x 1 − k

0

−π

) + 1

π



(0 − 0) − 1

k² [cos kx]^π₀



= − 1 2π

 1 − cos (1 + k)(−π)

1 + k +1 − cos (1 − k)(−π) 1 − k



− 1

πk²((−1)^k− 1)

= − 1 2π

 −1 + (−1)^k

1 + k +−1 + (−1)^k 1 − k



− 1

πk²((−1)^k− 1)

= ((−1)^k− 1)



− 1

2π(1 + k) − 1

2π(1 − k) − 1 πk²



= (1 − (−1)^k)

 1

2π(1 + k) + 1

2π(1 − k) + 1 πk²



per k 6= 1 b_k = 1

L Z L

−L

f (x) sin kx dx = 1 π

Z 0

−π

sin x sin kx dx + Z π

0

x sin kx dx



=

= 1 π

 1 2

Z 0

−π

cos [(1 − k)x] dx − Z 0

−π

cos [(1 + k)x] dx



+



−xcos kx k

π 0

+ Z π

0

cos kx k dx



= 1 2π

( sin (1 − k)x 1 − k

0

−π

− sin (1 + k)x 1 + k

0

−π

)

− 1 kπ



(π(−1)^k− 0) + 1

k[sin kx]^π₀



= 1

2π[(0 − 0) − (0 − 0)] − 1

k(−1)^k− 1

k²π(0 − 0)

= −1

k(−1)^k per k 6= 1

Per k = 1 dobbiamo calcolare sia a₁ che b₁. 2.

a₁ = 1 L

Z L

−L

f (x) cos x dx = 1 π

Z 0

−π

sin x cos x dx + Z π

0

x cos x dx



=

= 1 π

 1 2

Z 0

−π

sin 2x dx



+ [x sin x]^π₀ − Z π

0

sin x dx



= 1 2π

(

−cos 2x 2

0

−π

) + 1

π{(0 − 0) + [cos x]^π₀}

= − 1

4π[1 − 1] + 1

π(−1 − 1) = −2 π b₁ = 1

L Z L

−L

f (x) sin x dx = 1 π

Z 0

−π

sin²x dx + Z π

0

x sin x dx



=

= 1 π

 1 2

Z 0

−π

1 − cos 2x dx



+ [−x cos x]^π₀ + Z π

0

cos x dx



= 1 2π

(

x − sin 2x 2

0

−π

)

− 1

π{(π(−1) − 0) + [sin x]^π₀}

= 1

2π[(0 − 0) − (−π − 0)] + 1 + (0 − 0) = 1

2+ 1 = 3 2

Quindi lo sviluppo della f (x) ´e:

S_f(x) =

∞

X

k=2

−1 π + π

4

−

2

π sin x + 3 2cos x (1 − (−1)^k)

 1

2π(1 + k) + 1

2π(1 − k) + 1 πk²

 +

+ sin kx−1

k(−1)^k (

cos kx )