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1) DARE SOLO LA RISPOSTA FINALE SENZA IL PROCEDIMENTO. OGNI RISPOSTA ESATTA VALE 3 PUNTI

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(1)

GEOMETRIA I, c.d.L. in Matematica, Prova Scritta 3 maggio 2011, A.A. 2010-2011 - Fila 2 NON SI POSSONO UTILIZZARE COLCOLATRICI N ´ E CONSULTARE LIBRI O APPUNTI

NOME E COGNOME:

Numero di matricola o data di nascita:

1) DARE SOLO LA RISPOSTA FINALE SENZA IL PROCEDIMENTO. OGNI RISPOSTA ESATTA VALE 3 PUNTI

1a) Dire se i seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali. Inoltre se lo sono, indicare una loro base, se non lo sono, dare un controsempio o alla chiusura per la somma o alla chiusura per il prodotto per uno scalare:

A =

 x 1

x 2

x 3

 ∈ R 3 | x 1 + 2x 2 − 1 = 0

B =



A ∈ M (2 × 2, R)| A

 1 0



= t A

 3 0



1b) Se A =

0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 2 1 1 3 0

 , trovare la matrice associata a L A nelle basi di partenza B = {e 3 , e 4 − e 3 , e 1 − e 2 , e 1 } e di arrivo C = {e 1 − e 2 , e 1 , e 3 , e 4 − e 3 } .

1c) Calcolare la distanza tra il punto P = (0, 2, 1) e la retta r: x − z − 1 = x + y − z = 0.

1d) Dire se la funzione f : R 3 × R 3 → R definita da f (v, w) = hv ∧ w, w ∧ e 2 i costituisce una forma bilineare. In caso

affermativo scrivere la matrice associata rispetto alla base canonica. In caso negativo fornire un controesempio ad

una delle propriet` a della bilinearit` a.

(2)

2) Rispondere (con precisione) alle seguenti domande:

2a) (Vale 5 punti) Siano V e W spazi vettoriali su un campo K, T : V → W un’applicazione lineare e B = {v 1 , . . . , v n } e C = {w 1 , . . . , w m } basi rispettivamente di V di W .

(i) Definire la matrice A di T relativamente alle basi B e C (ii) Dimostrare che T ` e inettiva se e solo se A ha rango n.

(iii) Definire un isomorfismo fra lo spazio L(V, W ) delle applicazioni lineari da V in W e lo spazio di matrici M m,n (K).

2b) (Vale 5 punti) Sia V uno spazio vettoriale metrico.

(i) Dare la definizione di isometria T : V → V .

(ii) Dimostrare che una isometria trasforma una base ortonormale in una base ortonormale (iii) Sia λ ∈ R un autovalore reale di un’isometria T . Dimostrare che λ = ±1.

2

(3)

3) RISPONDERE, MOTIVANDO, ALLE SEGUENTI DOMANDE CIASCUNA DELLE QUALI VALE 6 PUNTI.

3a) (Vale 6 punti) Una matrice A quadrata si dice nilpotente se esiste un intero positivo n tale che A n ` e la matrice nulla.

i) Dimostrare che se A ` e una matrice nilpotente, allora det(A) = 0.

ii) Sia A

x,y,z

=

0 0 0 y 0 0 y y 0 y 0 z y y x 0

 . Calcolare il determinante di A x,y,z al variare di x, y e z in R.

iii) Dire per quali valori di x, y e z in R la matrice A x,y,z ` e nilpotente.

iv) Dire, motivando, per quali y e z in R la matrice A x,0,z ` e diagonalizzabile su R.

3b) (Vale 6 punti)

Al variare del parametro b ∈ R si consideri la conica

C b : x 2 + 6xy − by 2 + 2x + 2by = 0 (i) Dare la classificazione affine di C b al variare di b.

(ii) Verificare che C b ` e una iperbole per b = −1 e trovare la classificazione euclidea di C −1 . (iii) Trovare le equazioni degli assi di C −1 .

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