Facolt`a di Agraria
Prova scritta di Matematica del 8/1/2003 A.A. 2002-2003
Voto
Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli di cui ` e composto l’elaborato. Chi avesse partecipato alla prova informale del 28/11/2002 pu` o decidere se conservare quello gi` a fatto (con la corrispondente valutazione) barrando la relativa casella, oppure rifarlo.
Cognome Nome
no. fogli (compreso questo) N. Matricola
1. Risolvere la disequazione
log
5|x − 2| ≥ log
1/5x
2 tenere per buono quello del 28/11/2002
2. Data la funzione
f (x) = 2 x √
x + 4 1. determinarne il dominio;
2. calcolarne i limiti agli estremi degli intervalli che costituiscono il dominio di f ;
3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;
4. scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di coordinate (−4/3, f (−4/3));
5. disegnare un grafico approssimativo di f e della retta tangente precedentemente individuata.
2 tenere per buono quello del 28/11/2002
2 Matematica, 8/1/2003
3. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge
f (x) =
( 1 + ax se x < 0
a + x
2se x ≥ 0 dove a `e un parametro reale.
1. Dire per quali valori di a la funzione `e in- vertibile e per quali di essi risulta f (R) = R;
2. dire se per a = 2 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;
3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione `e continua in ogni punto;
4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, f `e derivabile in ogni punto.
2 tenere per buono quello del 28/11/2002
4. Dati i problemi di Cauchy
1)
( y
0= e
−y−1
y(0) = 0, 2)
( y
0= e
−y−1
y(0) = log 3, 1. esibire una soluzione del problema 1);
2. dire se la funzione y(t) = log(2 e
−t+1) `e una soluzione del problema 2);
3. determinare una soluzione del problema 2), nel caso in cui non lo sia gi`a la funzione di cui al punto precedente.
5. Calcolare l’integrale Z
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