I contratti di finanziamento L’anatocismo nei piani di
ammortamento ‘’alla francese’’
21 luglio 2020 (10:00 – 13:00)
Antonio Annibali
www.attuariale.eu 1
L’ammortamento ‘’alla francese’’ di un mutuo secondo i regimi finanziari della capitalizzazione
composta e della capitalizzazione semplice.
La quantificazione dell’onere implicito conseguente
al differenziale tra i due regimi.
L’ammortamento di un mutuo prevede il prestito di una somma a un tempo iniziale e la restituzione di una rendita composta da n rate.
Per assicurare l’equità finanziaria, tale operazione deve verificare:
la condizione di chiusura (azzeramento del debito residuo finale),
l’uguaglianza tra il debito iniziale e la somma delle quote capitali, l’equivalenza tra il debito iniziale e l’insieme delle rate:
nel caso di un regime finanziario con leggi non scindibili (CS), l’equivalenza (relativa) dovrà essere verificata a un’epoca assegnata (ossia tempo finale),
mentre nel caso di un regime con leggi scindibili (CC), tale equivalenza (assoluta) sarà verificata in una qualsiasi epoca.
www.attuariale.eu 3
La metodologia di ammortamento di un mutuo corrisponde alla regola con la quale si procede al rimborso dell’importo prestato:
“mutuo puro“ (con pagamento periodico degli interessi e rimborso finale)
“all’italiana” (con quote capitali costanti)
“alla francese” (con rate costanti)
“all’americana” (mutuo puro + accumulo della somma prestata – a 2 tassi) opzione: “alla tedesca”
Attualmente la metodologia più frequentemente utilizzata è quella
“alla francese”, che spesso (in motivazioni di sentenze, consulenze tecniche
d’ufficio o di parte) viene immotivatamente comparata con quella “all’italiana”.
Il regime finanziario è il principio secondo cui vanno effettuate le valutazioni finanziarie, che sono operativamente effettuate tramite le leggi finanziarie (ossia gli algoritmi) sottostanti a tale principio.
I due regimi finanziari principalmente usati sono:
regime finanziario (detto esponenziale) della capitalizzazione composta (CC), nel quale gli interessi precedentemente maturati, a causa della loro capitalizzazione, sono causa di ulteriori interessi, con presenza quindi del fenomeno anatocistico,
regime finanziario (detto lineare/iperbolico) della capitalizzazione semplice (CS), nel quale gli interessi precedentemente maturati sono soltanto
contabilizzati e non generano ulteriori interessi, con assenza quindi del fenomeno anatocistico.
www.attuariale.eu 5
La tipologia di ammortamento è l’insieme delle caratteristiche tecniche che caratterizzano il processo di ammortamento.
Un ammortamento si definisce standard se le singole quote interessi sono calcolate sui corrispondenti debiti residui precedenti
Un ammortamento si definisce ingenuo se le singole quote interessi sono calcolate sulle corrispondenti quote capitali in scadenza; tale forma di
estinzione non è un ammortamento in quanto ogni rata estingue parte del debito complessivo, ma non paga gli interessi maturati dalla parte rimanente del debito (rif. Caliri: pag.194,195)
Un ammortamento si definisce improprio se alcune rate risultano insufficienti a coprire le corrispondenti quote interessi, generando quote capitali negative e conseguenti debiti residui crescenti (rif. Caliri: pag.150)
“Un’operazione si svolge in regime di capitalizzazione composta (CC) quando l’interesse è disponibile alla fine di ogni periodo di capitalizzazione” (rif. Varoli:–
pag.17); “la condizione di scindibilità della capitalizzazione composta consente di ottenere lo stesso piano di ammortamento qualunque sia la condizione di chiusura imposta (ad es.: finale oppure iniziale)” (rif. Caliri - pag. 147),
“Un’operazione si svolge in regime di capitalizzazione semplice (CS) quando l’interesse è disponibile solamente alla fine del periodo di impiego” (rif. Varoli - pag.17); “la caratteristica della capitalizzazione semplice è che gli interessi si rendono disponibili solo alla fine del periodo di impiego e pertanto essa si
inquadra nella logica della condizione di chiusura finale” (rif. Caliri - pag. 142),
www.attuariale.eu 7
“Un’operazione si svolge in regime di capitalizzazione ad interessi anticipati (CIA) quando l’interesse è disponibile anticipatamente, all’inizio del periodo di impiego, e pertanto è ragionevole l’uso della condizione di chiusura iniziale”
(rif. Caliri - pag. 145).
Se si desidera utilizzare il regime CS, è necessario inquadrarlo nella logica della equivalenza finale (CS.f), mentre se si desidera operare nella logica della
equivalenza iniziale bisogna utilizzare il regime CIA (CIA.i). L’abbinamento CS.i (come d’altro canto lo sarebbe simmetricamente l’abbinamento CIA.f), anche se ammissibile dal punto di vista puramente algebrico, non risulta accettabile dal punto di vista finanziario, economico e contabile, in quanto richiederebbe
concettualmente la disponibilità anticipata degli interessi, all’inizio del periodo di impiego e non già alla fine del periodo stesso.
1. - ammortamento standard in CC: regime della capitalizzazione composta e calcolo delle quote interessi sul debito residuo precedente
2. - ammortamento “ingenuo” in CC#: regime della capitalizzazione composta e
calcolo delle quote interessi sulla quota capitale in scadenza (#Marcelli)
3. - ammortamento standard in CS.f: regime della capitalizzazione semplice con epoca di equivalenza finale e calcolo delle quote interessi sul debito residuo precedente (Annibali, Annibali, Barracchini, Olivieri)
4. - ammortamento standard (“improprio”) in CS.i : regime della
capitalizzazione semplice con epoca di equivalenza iniziale e calcolo delle quote interessi sul debito residuo precedente (Mari, Aretusi)
5. - ammortamento “ingenuo” (“improprio”) in CS.i#: ammortamento in
capitalizzazione semplice con epoca di equivalenza iniziale e calcolo delle quote interessi sulla quota capitale in scadenza (Mari, Aretusi,#Marcelli)
www.attuariale.eu 9
Nota metodologica: E’ noto che, nel caso di ammortamento di un mutuo “alla francese”, fissato il regime finanziario e definita la rata di ammortamento, la conoscenza dei debiti residui (oppure della quote capitali) permette di
costruire in modo univoco il piano e, in particolare, le quote interessi, come differenze tra ciascuna rata e la corrispondente quota capitale (deducibile dai debiti residui). Il vantaggio concettuale di tale impostazione consiste nel fatto che la formula per il calcolo delle quote interessi non deriva da una decisione esogena (anche se giustificabile da considerazioni finanziario-economiche), ma da puri passaggi algebrici, che la rendono obiettiva e consequenziale alla scelta del regime finanziario (e, nel caso del regime CS, alla scelta dell’epoca di
equivalenza).
Nel corso della trattazione verrà utilizzato il seguente esempio numerico:
Prestito = 100000), numero delle rate annue = 30, 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 10%
Una congettura è un’affermazione (neutra/logica) di cui non risulta dimostrata la sua veridicità, nè il suo contrario, un teorema è una congettura dimostrata.
Come affermato, nel secolo scorso, da un eminente matematico, una congettura soggiace a un teorema ad essa contrapposto.
La congettura di Golbach “ogni numero pari >2 è sempre uguale alla somma di due numeri primi” è una congettura neutra
La congettura ”i numeri primi sono infiniti“ è stata, prima della dimostrazione di Euclide, una congettura logica
La congettura “la quota interessi è pari al prodotto del tasso di interesse per il debito residuo relativo al tempo precedente” è una congettura logica, ma, mentre in capitalizzazione composta è anche un teorema, in capitalizzazione semplice è una congettura errata (potendosi dimostrare il contrario).
www.attuariale.eu 11
Ammortamento in capitalizzazione composta e calcolo delle quote interessi sul debito residuo precedente (ammortamento standard in CC)
𝑹𝑹 = 𝑫𝑫𝟎𝟎 𝒊𝒊
𝟏𝟏 − (𝟏𝟏 + 𝒊𝒊)−𝒏𝒏 𝑫𝑫𝒌𝒌 = 𝑹𝑹𝟏𝟏 − (𝟏𝟏 + 𝒊𝒊)−𝒏𝒏+𝒌𝒌
𝒊𝒊
𝑪𝑪𝒌𝒌 = 𝑹𝑹(𝟏𝟏 + 𝒊𝒊)−𝒏𝒏+𝒌𝒌−𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒌𝒌 = 𝑫𝑫𝒌𝒌−𝟏𝟏 𝒊𝒊
le quote interessi, ottenute per via algebrica, come prodotto tra il tasso di interesse e il debito residuo precedente, risultano caratteristiche del regime finanziario della capitalizzazione composta (rif. Caliri - pag. 139).
www.attuariale.eu 13
Ammortamento in capitalizzazione composta e calcolo delle quote interessi sulla quota capitale in scadenza (ammortamento “ingenuo” in CC#)
(rif. Marcelli)
𝑪𝑪𝒌𝒌# = 𝑹𝑹(𝟏𝟏 + 𝒊𝒊)−𝒌𝒌 𝑫𝑫𝒌𝒌#= 𝑫𝑫𝒌𝒌(𝟏𝟏 + 𝒊𝒊)−𝒌𝒌
𝑫𝑫𝒌𝒌 − 𝑫𝑫𝒌𝒌# = 𝑫𝑫𝒌𝒌(𝟏𝟏 − (𝟏𝟏 + 𝒊𝒊)−𝒌𝒌) 𝑰𝑰𝒌𝒌#= 𝑹𝑹 − 𝑪𝑪𝒌𝒌# = 𝑹𝑹(𝟏𝟏 − (𝟏𝟏 + 𝒊𝒊)−𝒌𝒌) le quote interessi non risultano pari al prodotto tra il tasso di interesse e il debito residuo precedente, che, come si ricorda, risulta essere una
caratteristica essenziale del regime finanziario della capitalizzazione composta (rif. Caliri - pag. 139).
www.attuariale.eu 15
Ammortamento in capitalizzazione semplice con epoca di equivalenza finale e calcolo delle quote interessi sul debito residuo precedente (ammortamento standard in CS.f) (rif. Attuariale.eu)
𝑹𝑹𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒇𝒇 = 𝑫𝑫𝟎𝟎 (𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒏𝒏) 𝒏𝒏 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒏𝒏 − 𝟏𝟏𝟐𝟐
𝑫𝑫𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒇𝒇= 𝑹𝑹𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒇𝒇(𝒏𝒏 − 𝒌𝒌)𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒏𝒏 − 𝒌𝒌 − 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 (𝒏𝒏 − 𝒌𝒌) 𝑪𝑪𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒇𝒇 = 𝑹𝑹𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒇𝒇 − 𝑫𝑫𝒌𝒌−𝟏𝟏𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒇𝒇 𝒊𝒊
𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 (𝒏𝒏 − 𝒌𝒌) 𝑰𝑰𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒇𝒇= 𝑫𝑫𝒌𝒌−𝟏𝟏𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒇𝒇 𝒊𝒊 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 (𝒏𝒏 − 𝒌𝒌)
le quote interessi, ottenute per via algebrica, come prodotto tra il tasso di interesse, il debito residuo precedente e il fattore di attualizzazione in CS (per l’ampiezza dell’intervallo tra l’epoca k e l’epoca n, risultano caratteristiche del regime finanziario della capitalizzazione semplice con epoca di equivalenza finale (rif. Caliri - pag. 142).
www.attuariale.eu 17
Ammortamento in capitalizzazione semplice con epoca di equivalenza iniziale e calcolo delle quote interessi sul debito residuo precedente (ammortamento standard in CS.i) (rif. Aretusi-Mari)
𝑹𝑹𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊 = 𝑫𝑫𝟎𝟎 � 𝟏𝟏
𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒌𝒌
𝒏𝒏 𝒌𝒌=𝟏𝟏
−𝟏𝟏
𝑫𝑫𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊 = 𝑹𝑹𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊 � 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒌𝒌 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒈𝒈
𝒏𝒏
𝒈𝒈=𝒌𝒌+𝟏𝟏
𝑪𝑪𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊 = 𝑹𝑹𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊 − 𝑫𝑫𝒌𝒌−𝟏𝟏𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊 𝒊𝒊
𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 (𝒌𝒌 − 𝟏𝟏) 𝑰𝑰𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊= 𝑫𝑫𝒌𝒌−𝟏𝟏𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊 𝒊𝒊 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 (𝒌𝒌 − 𝟏𝟏)
le quote interessi, ottenute per via algebrica, come prodotto tra il tasso di interesse, il debito residuo precedente e il fattore di attualizzazione in CS (per l’ampiezza dell’intervallo tra l’epoca 1 e l’epoca k, risultano caratteristiche del regime finanziario della capitalizzazione semplice con epoca di equivalenza iniziale (rif. Caliri - pag. 140).
www.attuariale.eu 19
Ammortamento in capitalizzazione semplice con epoca di equivalenza iniziale e calcolo delle quote interessi sulla quota capitale in scadenza (ammortamento
“ingenuo” in CS.i#) (rif. Marcelli) 𝑪𝑪𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊# = 𝑹𝑹𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊
𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒌𝒌 𝑫𝑫𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊# = 𝑫𝑫𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒌𝒌 𝑫𝑫𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊 − 𝑫𝑫𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊# = 𝑫𝑫𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒌𝒌
𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒌𝒌 𝑰𝑰𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊# = 𝑹𝑹𝒄𝒄𝒄𝒄.𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒌𝒌 𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝒌𝒌
le quote interessi non risultano pari al prodotto tra il tasso di interesse e il debito residuo precedente, che, come si ricorda, risulta essere una
caratteristica essenziale del regime finanziario della capitalizzazione semplice con epoca di equivalenza iniziale (rif. Caliri - pag. 139).
www.attuariale.eu 21
0 10,000 20,000 30,000 40,000 50,000 60,000 70,000 80,000 90,000 100,000 110,000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Deb CC CC#
CS.f CS.i CS.i#
www.attuariale.eu 22
I debiti residui risultano sempre decrescenti, con andamento differenziato, tranne nel caso di ammortamento in CS.i e nel caso CS.i# (relativamente ai debiti globali). In tali casi, i debiti residui risultano inizialmente crescenti, per effetto delle (cinque) quote capitali negative (conseguenti al superamento dell’importo delle rate da parte delle quote interessi) e successivamente
decrescenti, per tornare al di sotto dell’importo iniziale del prestito solo dopo un certo numero (dieci) di pagamento delle rate. Tale situazione, che
caratterizza la situazione di un tipico “ammortamento improprio” risulta
ingiustificabile dal punto di vista economico–finanziario, in quanto genera una palese incongruenza: se, ad esempio, il soggetto, che ha contratto il prestito di
€ 100.000,00, dopo il pagamento di otto rate di € 7.409,74, chiedesse
l’estinzione del debito, il suo debito residuo risulterebbe pari a € 104.490,91, e tale sarebbe la cifra che egli dovrebbe pagare per l’estinzione.
www.attuariale.eu 23
L’assenza dei fattori di attualizzazione nella formula delle quote interessi in CC e la loro presenza nelle formule delle quote interessi in CS.f sono giustificate dal fatto che in CC le quote interessi ad ogni scadenza vengono calcolate e
contestualmente pagate (generando il loro montante al tempo finale), in CS.f tali quote debbono essere solo contabilizzate e pagate alla scadenza del mutuo.
Volendo effettuare il loro pagamento contestualmente al pagamento della rata (di cui ne costituisce una parte), è finanziariamente giusto pagare il loro valore attuale, in capitalizzazione semplice, per il tempo intercorrente tra l’epoca di pagamento e il tempo finale (tempo nel quale tali quote interesse non
attualizzate si sarebbero comunque dovute integralmente pagare).
Alla luce di quanto sopra considerato, la tipica affermazione (“congettura”), ricorrente in talune motivazioni tecniche di sentenze, oppure in elaborati di CTU e di CTP, secondo cui le quote interessi (ottenute come prodotto tra il tasso
periodale di interesse e il debito residuo relativo all’epoca precedente) riportate nei piani di ammortamenti allegati ai contratti di mutuo sono calcolate secondo il regime finanziario della capitalizzazione semplice è algebricamente errata per due motivi:
1- tale formula è caratteristica del regime della capitalizzazione composta (rif.
Caliri - pag. 139),
2- qualora l’estensore avesse voluto perseverare nell’indicare l’adozione del regime della capitalizzazione semplice, avrebbe dovuto specificare l’epoca di equivalenza, che ne costituisce un parametro indispensabile (rif. Caliri - pag.
140 e 142).
www.attuariale.eu 25
Ammortamento CC standard
Ammortamento CC# ingenuo
Ammortamento CS.f standard
Ammortamento CS.i standard improprio
Ammortamento CS.i# ingenuo improprio
Gli ammortamenti di tipo CS.i possono presentare l’anomalia di prevedere in modo fisiologico quote capitale negative e debiti residui superiori al debito
iniziale: tale situazione, anche se algebricamente accettabile, risulta incoerente con principi fondamentali di tipo economico, finanziario e contabile
Gli ammortamenti di tipo # presentano debiti residui non coerenti con l’importo che dovrebbe essere pagato in caso di estinzione anticipata: la necessità di
riconsiderare nel piano ‘’ingenuo’’ gli interessi maturati e non pagati riporta in effetti tale piano al corrispondente piano ‘’non ingenuo’’, rendendolo una
semplice e inconsistente manipolazione di tale piano ‘’non ingenuo’’.
Infatti, qualora non si tenesse conto degli interessi maturati e non pagati
(vedere: Paolo Stella Monfredini e Giuseppina Carruba ‘’Il contratto di mutuo e i piani ammortamento’’ - “Rivista di Diritto Bancario e Finanziario”, curata dalla Studio Tidona di Milano - Edizione del 18 settembre 2018), risulterebbe
evidente la convenienza per il mutuatario della rinegoziazione “alla pari” del mutuo, a causa della riduzione che subirebbe la rata di ammortamento. Tale fenomeno, sarebbe addirittura eclatante, se si ipotizzasse di rinegoziare “alla pari” il mutuo in ciascuna delle scadenze (caratterizzando quindi rate pagate sempre un solo periodo dopo la nuova stipula/rinegoziazione). www.attuariale.eu 27
L’ammortamento ‘’alla francese’’ di un mutuo secondo i regimi finanziari della capitalizzazione
composta e della capitalizzazione semplice.
La quantificazione dell’onere implicito conseguente al differenziale tra i due regimi.
www.attuariale.eu
Dalle considerazioni precedenti si può dedurre che i due piani di
ammortamento da considerare per la quantificazione dell’onere implicito conseguente al differenziale tra i due regimi sono:
1. - ammortamento standard in CC 3. - ammortamento standard in CS.f I calcoli da effettuare sono:
a. – stesura dei due piani di ammortamento (oppure, semplicemente, calcolo delle due rate di ammortamento)
b. – attualizzazione del cash-flow (in CC) delle differenze tra le due rate c. – considerazione del valore attenuto come onere implicito da inserire al tempo iniziale
d. – calcolo del T.I.C. (in CC) relativo al cash-flow comprensivo dell’onere implicito
www.attuariale.eu 29
www.attuariale.eu 31 0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
22%
10% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 0%
TAN TIC
I contratti di finanziamento L’anatocismo nei piani di
ammortamento ‘’alla francese’’
Antonio Annibali
www.attuariale.eu , attuariale.eu@gmail.com
antonio.annibali@gmail.com , antonio.annibali@legalmail.it
