Corso Luigi Einaudi, 55/B - Torino NUMERO: 2427A ANNO: 2019 A P P U N T I. STUDENTE: Beltrame Fabio. MATERIA: Relazioni Aeroelasticita - Prof.

(1)

Corso Luigi Einaudi, 55/B - Torino

NUMERO: 2427A ANNO: 2019

A P P U N T I

STUDENTE: Beltrame Fabio

MATERIA: Relazioni Aeroelasticita - Prof. Carrera

Cartoleria e cancelleria Stampa file e fotocopie

Print on demand Rilegature

(2)

stessi mediante qualunque supporto magnetico o cartaceo, piattaforma tecnologica o rete telematica, senza previa autorizzazione scritta dell'autore.

(3)

POLITECNICO DI TORINO

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Aerospaziale A.A 2018/2019

Corso di AEROELASTICITÀ Relazione finale e consierazioni

Prof. Carrera

Author : Fabio Beltrame

(4)

4

8 b – 3: Sweep angle effect on divergence speed ... 70

CHAPTER 9: Flutter of finite wings via FEM and Doublet Lattice Method ... 71

Pt 9a: Free Vibration analysis ... 71

Evaluation of the first six natural frequencies and modal shapes with 2 different beam models: EBBT and N=4 ... 72

Comparison with the analytical solution for EBBT (chapter 6) ... 76

Pt 9b: Flutter Analysis ... 80

9 b – 1: Flutter frequency and speed solution / comparison with p-k method for 2 different shear center positions ... 80

9 b – 3: Structural model effect on flutter conditions ... 80

9 b – 4: Aerodynamic mesh effect on flutter conditions ... 81

Pt 9c: Composite material fiber orientation effect on flutter ... 82

Pt 9d: Sweep angle effect on flutter ... 84

(6)

La soluzione x(t=2) = -0.442;

Seguono le soluzioni al momento t = 2, condizioni iniziali x (0) = 1 e 𝑥̇(0) = 0 per diversi valori di smorzamento di massa e rigidità elastica:

(2, 0, 2) = -0.416; oscillazioni armoniche con ampiezza costante (senza smorzamento)

(2, 0, 1) = 0.155; oscillazioni armoniche con ampiezza costante ma bassa frequenza (periodo più grande)

Figura 2: oscillazioni armoniche ad ampiezza costante

Figura 3: ocillazioni aroniche ad ampiezza costante

(7)

8 Pt 1b: Solution of the equation with aerodynamic terms

Si consideri la seguente equazione differenziale di secondo ordine

(𝑚 − 𝑚_𝑎)𝑥̈ + (𝑐 − 𝑐_𝑎)𝑥̇ + (𝑘 − 𝑘_𝑎)𝑥 = 0

Dove 𝑚𝑎, 𝑐𝑎, 𝑘𝑎 sono i contributi aerodinamici a massa, smorzamento e rigidità, rispettivamente. Per tutti i le analisi, sono state impostate (m, c, k) = (1, 0,1, 1).

Si procede calcolando su Matlab la parte reale e immaginaria degli autovalori dell’equazione differenziale per i seguenti intervalli delle variabili:

0 ≤ 𝑚𝑎 ≤ 0.5 0 ≤ 𝑐𝑎 ≤ 0.3 0 ≤ 𝑘𝑎 ≤ 2

La soluzione al variare dei suddetti parametri è riportata in figura 6 ed è rappresentata in funzione di 𝑘𝑎 poiché quest’ultimo parametro, la rigidezza aerodinamica, è una funzione facilmente calcolabile della velocità di volo.

Questi grafici rappresentano la parte reale e immaginaria degli autovalori per l'intervallo richiesto di ma Ca Ka

come funzione di ka dato che è preferibile avere risultati in funzione della velocità dell'aeromobile.

Al fine di avere oscillazioni armoniche pure è possibile trovare il valore di ka per cui la parte reale della soluzione è zero e l'immaginario diverso da zero:

Figura 6: Parte reale (a) e immaginaria (b) degli autovalori del sistema

(a) (b)

(8)

CHAPTER 2: 2-DOF Dynamic System

Si consideri il seguente schema come riferimento: un profilo alare con centro di massa in C e centro di taglio in P. Il profilo si assume non sia soggetto a forze aerodinamiche per adesso.

I gradi di libertà sono il plunge ed il pitch del profilo, rispettivamente ℎ e 𝜗 .

Le equazioni del moto si ricavano facilmente dall’equilibrio delle forze o dal PLV e sono le seguenti:

𝑚(ℎ^′′+ 𝑏𝑥_𝜃𝜃^′′) + 𝑘_ℎℎ = 0 𝐼_𝑃𝜃^′′+ 𝑚𝑏𝑥_𝜃ℎ^′′+ 𝑘_𝜃𝜃 = 0 Con 𝑥_𝜗 = 𝑒 − 𝑎 (distanza centro di massa- centro di taglio)

Caratteristiche della sezione tipica:

𝐶ℎ𝑜𝑟𝑑 𝑐 = 0.25 𝑚

𝑘ℎ = 500 𝑁/𝑚, 𝑘_𝜃 = 5000 𝑁𝑚.

𝑚 = 5 𝐾𝑔.

𝐼𝑝 = 0.5 𝐾𝑔 𝑚²

Pt 2a: Uncoupled system

Posto e=0, a=0.

Si riscrive il Sistema di equazioni in maniera compatta sotto forma matriciale:

𝑀 𝑥̅′′ + 𝐾 𝑥̅ = 0 dove

𝑥̅ = (ℎ, 𝜃)

𝑀 = 𝑚 𝑏𝑥_𝜃𝑚

𝑚𝑏𝑥𝜃 𝐼𝑃 𝑒 𝐾 =𝑘_ℎ 0 0 𝑘𝜃

Nel nostro caso 𝑥𝜃= 0 quindi le equazioni possono essere trattate in maniera divisa:

𝑚ℎ′′ + 𝑘ℎℎ = 0 𝐼_𝑃𝜃^′′+ 𝑘_𝜃𝜃 = 0

(9)

12

Nel caso seguente si pongono le condizioni iniziali: h(0)= 0.1 , ^{𝜃(0) = 1}

Figure 3: risposta dei due gradi di libertà del sistema

In tutti questi casi la risposta del Sistema è completamente disaccoppiata: I due moti non si influenzano tra loro.

Pt 2b: Coupled system

Si pone e=0 , a=-0.75.

Assumendo una semplice soluzione armonica

ℎ = ℎ̃𝑒^𝑖𝜔𝑡 𝜃 = 𝜃̃𝑒^𝑖𝜔𝑡 → defining 𝑥̅ = (ℎ, 𝜃)^𝑇 : 𝑥̅ = 𝑋0𝑒^𝑖𝜔𝑡

Sostituendo nell’equazione differenziale otteniamo l’equazione caratteristica: −𝑀 𝜔²+ 𝐾 = 0 La soluzione può essere trovata impostando il determinante della matrice uguale a zero per trovare gli autovalori:

𝑑𝑒𝑡 [−𝑚𝜔²+ 𝑘_ℎ −𝑏𝑥_𝜃𝑚𝜔²

−𝑚𝑏𝑥_𝜃𝜔² −𝐼_𝑃𝜔²+ 𝑘_𝜃] = 0

Il polinomio caratteristico è quindi il seguente: 𝜔⁴(𝑚𝐼_𝑃− 𝑏²𝑥_𝜃²𝑚²) + 𝜔²(−𝐼_𝑃𝑘_ℎ− 𝑚𝑘_𝜃) + 𝑘_ℎ𝑘_𝜃= 0 Dove nel nostro caso 𝑥_𝜃= 𝑒 − 𝑎 = 0.75

È quindi possibile trovare le frequenze del sistema:

𝜔_1,2² =

(𝐼𝑃𝑘ℎ+ 𝑚𝑘𝜃± √(𝐼𝑃𝑘ℎ+ 𝑚𝑘𝜃)²− 4(𝑚𝐼𝑃− 𝑏²𝑥_𝜃²𝑚²)(𝑘ℎ𝑘𝜃)) 2(𝑚𝐼_𝑃− 𝑏²𝑥_𝜃²𝑚²)

Poiché non vi è alcun esponente dispari nell'equazione, tra i 4 risultati sono solo 2 quelli diversi, le due pulsazioni, da cui si possono ricavare le frequenze:

𝑓_ℎ= 1.591 𝐻𝑧 𝑎𝑛𝑑 𝑓_𝜃= 16.67 𝐻𝑧

(a) Plunge (b) Pitch

(10)

Figure 6: risposta dei due gradi di libertà del sistema

In questo caso entrambe le condizioni iniziali non sono zero. L'alta frequenza di pitching può essere osservata nelle fluttuazioni del moto di h. Le oscillazioi verticali inducono variazioni infinitesimali nel movimento di pitching, per questo dal grafico non possono essere osservate.

Pt 2c: Aerodynamic terms

Le equazioni del moto della sezione tipica con smorzamento e termini aerodinamici sono le seguenti:

𝑚(ℎ^′′+ 𝑏𝑥_𝜃𝜃^′′) + (𝑐_ℎ− 𝑐_ℎ𝑎)ℎ^′+ (𝑘_ℎ− 𝑘_ℎ𝑎)ℎ = 0 𝐼_𝑃𝜃^′′+ 𝑚𝑏𝑥_𝜃ℎ^′′+ (𝑐_𝜃− 𝑐_𝜃𝑎)𝜃^′+ ( 𝑘_𝜃− 𝑘_𝜃𝑎)𝜃 = 0 Dove 𝑐ℎ= 0.1^𝑁𝑠

𝑚 𝑒 𝑐_𝜃= 0.02𝑁𝑚𝑠

Definendo 𝑥̅ = (ℎ, 𝜃)^𝑇 è possibile riscrivere l'equazione come

𝑀𝑥′′ + (𝐶 − 𝐶_𝑎)𝑥^′+ (𝐾 − 𝐾_𝑎)𝑥 = 0 Dove:

𝑀 = [ 𝑚 𝑏𝑥_𝜃 𝑚𝑏𝑥_𝜃 𝐼_𝑃 ] 𝐶 = [𝑐_ℎ 0

0 𝑐_𝜃] 𝐶_𝑎= [𝑐_ℎ𝑎 0

0 𝑐_𝜃𝑎] 𝐾 = [𝑘_ℎ 0

0 𝑘_𝜃] 𝐾_𝑎= [𝑘_ℎ𝑎 0

0 𝑘_𝜃𝑎]

Supponendo una soluzione semplice armonica: ℎ = ℎ̃𝑒^𝛼𝑡 𝜃 = 𝜃̃𝑒^𝛼𝑡 è possibile calcolare gli autovalori e

(a) Plunge (b) Pitch

(11)

16 CHAPTER 3: Divergence speed Pt 3a: 1-DOF divergence speed analysis

Si consideri il profilo alare generico sovrastante come riferimento per la scrittura delle equazioni.

L’unico grado di libertà del modello è il pitching, ovvero la rotazione della sezione attorno al centro di taglio in 0, dove si ha la rigidezza torsionale. La portanza è applicata nel fuoco (centro aerodinamico) al quarto anteriore della corda 𝑐 = 0.6𝑚. Si trascurano tutti gli effetti tridimensionali, si considera un’aerodinamica bidimensionale, e il coefficiente di portanza ideale sarà quindi 2𝜋.

Equazione dell’equilibrio alla rotazione rispetto al centro 0 dove è posizionata la rigidezza torsionale:

𝑀_𝑎𝑐+ 𝐿(𝑋_𝑜− 𝑋_𝑎𝑐) − 𝑊(𝑋_𝑜− 𝑋_𝑐𝑔) − 𝐾𝜃 Sapendo che:

𝐿 = 𝑞 𝑆 𝐶_𝐿𝛼(𝛼_𝑟+ 𝜃) 𝑀_𝑎𝑐= 𝑞𝑐𝑆𝐶_𝑚𝑎

𝑐𝐿𝛼= 2𝜋

Si ricava l’angolo di torsione:

𝜃 =𝑞𝑆𝑐𝐶_𝑚𝑎+ 𝑞𝑆𝐶_𝐿𝛼𝛼_𝑟(𝑋_𝑜− 𝑋_𝑎𝑐) − 𝑊(𝑋_𝑜− 𝑋_𝑐𝑔) 𝐾 − 𝑞𝑆𝐶_𝐿𝛼(𝑋_𝑜− 𝑋_𝑎𝑐)

Il caso in cui theta tende a infinito avviene alla velocità di divergenza: tale velocità si trova annullando il denominatore dell’equazione scritta di sopra

𝑞_𝐷= 𝐾

𝑆𝐶_𝐿𝛼(𝑋_𝑜− 𝑋_𝑎𝑐) 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖 𝑉_𝐷= √ 2𝐾

𝑆𝜌𝐶_𝐿𝛼(𝑋_𝑜− 𝑋_𝑎𝑐) 𝑝𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑎

Per modellizzare la rigidezza torsionale dell’ala si usa uno schema trave: 𝐾_𝑇 =^𝐺𝐽_𝐿 =^𝐺(𝑐

ℎ3 3)

𝐿 = 10968 𝑁𝑚𝑚 Conoscendo K è possibile quini valutare la velocità di divergenza sul livello del mare con densità dell’aria pari a 1.225 kg/m³

(12)

Effetto della densità dell’aria sulla velocità di divergenza:

Si fa variare la densità del flusso nel seguente intervallo: 0.1 ≤ 𝜌 ≤ 1.225 𝑘𝑔/𝑚³

Figure 2: variazione della velocità di divergenza in funzione della densità

Si nota come la diminuzione di densità dell’aria assume un ruolo sempre più influente sull’aumento della velocità di divergenza, in maniera inversamente proporzionale alla radice.

Effetto della rigidezza torsionale K sulla velocità di divergenza:

Per cambiare la rigidezza torsionale si fa variare la lunghezza L della trave che modellizza la rigidezza torsionale della semiala da 20m a 2m.

(13)

20 Pt 3b: 2-DOF divergence speed analysis

Si procede calcolando la velocità di divergenza ed il centro di taglio xct per un modello con 2 gradi di libertà, ovvero gli spostamenti lineari 𝛿1 𝛿₂, e due molle lineari con rispettive rigidezze 𝐾1 e 𝐾₂.

Si impone che non ci sia rotazione se si applica la forza nel centro di taglio del profilo alare:

𝑑𝑥(𝐾₁+ 𝐾₂)(𝑥_𝑐𝑡) = 𝑘₂𝑐𝑑𝑥 → 𝑥_𝑐𝑡 = 𝐾₂ 𝐾1+ 𝐾2

𝑐 Nel caso 𝐾₁ = 𝐾₂= 1000^𝑁

𝑚 si ottiene 𝑥_𝑐𝑡 = 0.3 𝑚

Il centro di taglio è posto esattamente a metà della corda del profilo come si poteva facilmente immaginare.

Per calcolare la velocità di divergenza si fa l’equilibrio alla rotazione della sezione al bordo di fuga:

𝑀_𝑎𝑐+ 𝐿(𝑐 − 𝑥_𝑎𝑐) − 𝑊(𝑐 − 𝑥_𝑐𝑔) − 𝑘₁𝛿₁𝑐 = 0

A questa equazione aggiungo l’equilibrio alla traslazione verticale e la relazione tra le deformazioni elastiche delta e la rotazione della sezione theta:

𝐿 − 𝑊 − 𝑘₁𝛿₁− 𝑘₂𝛿₂= 0 𝜃 = (𝛿₁− 𝛿₂)/𝑐

In questo modo basta trovare 𝛿₁, 𝛿₂ = 𝑓(𝑀_𝑎𝑐, 𝐿, 𝑊, 𝑥_𝑎𝑐, 𝑥_𝑐𝑔, 𝐾₁, 𝐾₂) per poi esplicitare portanza e momento focale 𝐿 = 𝑞 𝑆 𝐶_𝐿𝛼(𝛼_𝑟+ 𝜃) 𝑀_𝑎𝑐= 𝑞𝑐𝑆𝐶_𝑚𝑎

Infine basta sostituire 𝛿₁, 𝛿₂ −→ 𝜃 ed esplicitare 𝜃:

𝜃 = 𝐾₁+ 𝐾₂ 𝑐²𝐾₁𝐾₂

[𝑞𝑆𝑐𝐶_𝑀𝑎𝑐+ 𝑞𝑆𝐶_𝐿𝛼𝛼_𝑟(𝑐 − 𝑥_𝑎𝑐− 𝑐𝐾₁

𝐾₁𝐾₂) − 𝑊 (𝑐 − 𝑥_𝑐𝑔− 𝑐𝐾₁ 𝐾₁𝐾₂) ] 1 − 𝑞𝑆𝐶_𝐿𝛼 𝐾₁+ 𝐾₂

𝑐²𝐾₁𝐾₂ (𝑐 − 𝑥_𝑎𝑐− 𝑐𝐾₁ 𝐾₁𝐾₂)

Si impone ora la condizione di divergenza, ovvero quella per cui 𝜃 tende ad infinito, trovando quella pressione dinamica 𝑞𝐷 che annulla il denominatore dell’equazione di sopra.

𝑞_𝐷= 𝑐²𝐾₁𝐾₂

𝑆𝐶_𝐿𝛼[𝐾₂(𝑐 − 𝑥_𝑎𝑐− 𝐾₁𝑥_𝑎𝑐)]

(14)

Importante notare che nel grafico non è stata rappresentata la prima coppia di valori: dal calcolo su matlab la velocità di divergenza per il centro di taglio posizionato a 0.138 m dal bordo di attacco risulta essere un valore puramente immaginario.

Questo è facilmente spiegabile andando a vedere a che punto della corda capita il centro di taglio nel caso in cui k2= 300 N/m.

𝑥_𝑐𝑡

𝑐 (𝐾₂= 300) =0.138

𝑐 = 0.23 = 23%𝑐

Il centro di taglio è quindi anteriore al fuoco: in questo caso il denominatore di 𝜃 non si annulla e non si avrà la velocità di divergenza.

Quando il fuoco è dietro il centro di taglio, un incremento di portanza provoca una diminuzione di incidenza e quindi autolimita la torsione dell’ala, rendendo quindi il sistema stabile ad ogni velocità.

(15)

24

Dove:

𝑀 = [ 𝑚 𝑏𝑚𝑥

_𝜗

𝑚𝑏𝑥

_𝜗

𝐼

_𝑝

¹

2

+ 𝑎) ]

𝑥 = [ ℎ 𝜗 ]

Si impone la soluzione puramente armonica 𝑥 = 𝑥̅𝑒^𝜆𝑡, quindi

𝑥̇ = 𝜆𝑥̅𝑒

^𝜆𝑡

𝑥̈ = 𝜆

²

𝑥̅𝑒

^𝜆𝑡

Sostituendo la soluzione armonica l’equazione sarà:

(𝜆²𝑀 + 𝐾 − 𝐾_𝑎)𝑥̅𝑒^𝜆𝑡 = 0

Per trovare gli autovalori e quindi le frequenze, si calcolano i valori di 𝜆 per cui il determinante risulta pari a 0.

2 + 𝑎) | = 0

Si ottiene quindi il polinomio caratteristico:

𝜆⁴(𝑚𝐼_𝑃− (𝑚𝑏𝑥𝜗)²) + 𝜆²(𝑚𝑘𝜗− 2𝑚𝜋𝜌∞𝑏²𝑈²(1

2+ 𝑎) + 𝑘ℎ𝐼𝑃− 2𝑚𝜋𝑏²𝑥𝜗𝑈²) + 𝑘𝜗𝑘ℎ− 2𝑘ℎ𝜋𝜌∞𝑏²𝑈²(1

2+ 𝑎) = 0

√𝑘

^ℎ

𝑚

√ 𝑘

_𝜗

𝐼

_𝑝

; 𝜇 = 𝑚

𝜌

_∞

𝜋𝑏

²

; 𝑉 = 𝑈 𝑏𝜔

_𝜗

dividendo tutte le equazioni per mU²e moltiplicando la prima delle due equazioni per b, dividendo poi la variabile h per b si ottiene quindi:

𝑥 = [

ℎ̅ 𝑏

𝜗̅

].

(16)

³

𝑈 (

¹

2

+ 𝑎)

²

¹

2

+ 𝑎) ];

con

𝑥 = [ ℎ 𝜗 ];

Imponendo la soluzione armonica 𝑥 = 𝑥̅𝑒^𝜆𝑡

𝑥̇ = 𝜆𝑥̅𝑒

^𝜆𝑡

𝑥̈ = 𝜆

²

𝑥̅𝑒

^𝜆𝑡

L’equazione matriciale del moto diventa quindi:

(𝜆²𝑀 − 𝜆𝐶_𝑎+ 𝐾 − 𝐾_𝑎)𝑥̅𝑒^𝜆𝑡 = 0

Per trovare gli autovalori e quindi le frequenze si calcolano i valori di 𝜆 per cui il determinante risulta pari a 0.

𝑑𝑒𝑡 ||

𝜆²𝑚 + 𝑘_ℎ+ 2𝜋𝜌_∞𝑏𝑈 𝜆²𝑚𝑏𝑥_𝜗+ 2𝜋𝜌_∞𝑏𝑈²+ 2𝜋𝜌_∞𝑏²𝑈(1 2+ 𝑎) 𝜆²𝑏𝑚𝑥𝜗− 2𝜋𝜌∞𝑏²𝑈(1

2+ 𝑎) 𝜆²𝐼𝑃+ 𝑘𝜗− 2𝜋𝜌∞𝑏²𝑈²(1

2+ 𝑎) − 2𝜋𝜌∞𝑏³𝑈 (1 2+ 𝑎)

2|| = 0

Si ottiene il polinomio caratteristico:

𝜆⁴(𝑚𝐼_𝑃− (𝑚𝑏𝑥_𝜗)²) + +𝜆³2𝜋𝜌_∞𝑏𝑈 (−𝑚𝑏²(¹

2+ 𝑎)²+ 𝐼_𝑃− 𝑚𝑥_𝜗𝑏²(¹

2+ 𝑎) + 𝑚𝑏²𝑥_𝜗(¹

2+ 𝑎)) + +𝜆²(𝑚𝑘𝜗+ 𝑘ℎ𝐼𝑃− 2𝑚𝜋𝜌∞𝑏²𝑈²(1

2+ 𝑎) − 𝑚2𝜋𝜌∞𝑏²𝑥𝜗𝑈²− (2𝜋𝜌∞)²𝑈²𝑏⁴(1 2+ 𝑎)

2

+ (2𝜋𝜌∞)²𝑈²𝑏⁴(1 2+ 𝑎)

2

) +

+𝜆2𝜋𝜌_∞𝑏𝑈 (2𝜋𝜌_∞𝑏²𝑈²(1

2+ 𝑎) + 𝑘_𝜗− 𝑘_ℎ𝑏²(1

2+ 𝑎) + 2𝜋𝜌_∞𝑈²𝑏²(1

2+ 𝑎)) + + 𝑘_𝜗𝑘_ℎ− 2𝑘_ℎ𝜋𝜌_∞𝑏²𝑈²(1

2+ 𝑎) = 0

Da cui si possono calcolare gli autovalori per le due velocità:

(17)

28

(𝐾 − K_𝑎) = [𝑘_ℎ 2𝜋𝜌_∞𝑏𝑈² 0 𝑘_𝜗− 2𝜋𝜌_∞𝑏²𝑈²(¹

2+ 𝑎)];

STUDIO DEL SISTEMA CON AERODINAMICA STAZIONARIA

Figure 6: parte reale(a) e immaginaria(b) degli autovalori del sistema in funzione della velocità di volo ( a )

( b )

(18)

Figure 7: parte reale(a) e immaginaria(b) della soluzione del sistema in funzione della velocità di volo

Il comportamento del sistema è molto simile al caso stazionario visto in precedenza con l’unica differenza che i punti di flutter e divergenza si sono spostati di 3 m/s a velocità più basse.

La velocità di flutter è a 57.5 m/s e, guardando la parte complessa dell’autovalore, la frequenza di flutter risulta 𝑓_𝑓𝑙 = 5.14 𝐻𝑧

STUDIO DEL SISTEMA CON MOTO DEL PROFILO NON STAZONARIO

(a)

(b)

(19)

32

STUDIO COMPLETO DEL SISTEMA NON STAZIONARIO

Figure 9: parte reale(a) e immaginaria(b) della soluzione del sistema in funzione della velocità di volo

In questa condizione si nota come il comportamento sia simile a quella precedente ma la velocità di flutter sia leggermente diminuita passando da 60m/s a 57 m/s. La frequenza di flutter 𝑓𝑓𝑙 = 6.47 𝐻𝑧 .

Anche la velocità di divergenza ha subito una leggerissima diminuzione passando a 78 m/s.

(a)

(b)

(20)

Il termine k che compare nella funzione di Theodorsen è la frequenza ridotta:

𝑘 =^𝜔𝑏_𝑈 e solitamente 0 < 𝑘 < 1.

Il metodo di risoluzione che utilizzeremo si chiama metodo 𝑝 − 𝑘 poiché scriveremo i termini strutturali in funzione di 𝑝 che rappresenta gli autovalori 𝜆 (con parte reale e parte complessa) analogamente alle altre esercitazioni, mentre scriveremo i termini aerodinamici in funzione di 𝑘 che rappresenta gli autovalori 𝜔 puramente complessi.

Pt. 5a : Theodorsen Unsteady aerodynamics

Si inizia dunque scrivendo il sistema delle equazioni del moto ricavato sempre facendo l’equilibrio delle forze e dei momenti, esattamente come nel capitolo 4.

{

𝑚(ℎ̈ + 𝑏𝑥_𝜗𝜗̈) + 𝑘_ℎℎ = −𝐿̈ 𝐼_𝑃𝜗̈ + 𝑚𝑏𝑥_𝜗ℎ̈ + 𝑘_𝜗𝜗 = 𝑏 (1

2+ 𝑎) 𝐿 + 𝑀1 4

Dove:

𝐿 = 2𝜋𝜌_𝑜𝑏𝑈𝐶(𝑘) [𝑈𝜗 + ℎ̇ + 𝑏 (1

2− 𝑎) 𝜗̇] + 𝜋𝜌_𝑜𝑏²(ℎ̈ + 𝑈𝜗̇ − 𝑏𝑎𝜗̈) 𝑀1

4

= −𝜋𝜌₀𝑏³[ℎ̈

2+ 𝑈𝜗̇ + (1 8−𝑎

2) 𝜗] ̈ Questo sistema può essere riscritto in forma matriciale compatta:

(𝑀 − 𝑀_𝑎)𝑥̈ − 𝐶_𝑎𝑥̇ + (𝐾 − 𝐾𝑎)𝑥 = 0 Dove:

𝑀 − 𝑀_𝑎= [ 𝑚 + 𝜋𝜌₀𝑏² 𝑚𝑏𝑥_𝜗− 𝜋𝜌₀𝑏³𝑎

𝑚𝑏𝑥_𝜗− 𝑏 (¹

2+ 𝑎) 𝜋𝜌₀𝑏²+^𝜋

2𝜌_𝑜𝑏³ 𝐼_𝑃+ 𝑏 (¹

2+ 𝑎) 𝑏³𝑎𝜋𝜌₀+ 𝜋𝜌₀𝑏⁴(¹

8−^𝑎

2)];

−𝐶_𝑎 = [ 2𝜋𝜌₀𝑏𝑈𝐶(𝑘) 2𝜋𝑏²𝑈𝐶(𝐾) (¹

2− 𝑎) + 𝜋𝜌₀𝑏²𝑈

−𝑏²(¹

2+ 𝑎) 2𝜋𝜌₀𝑈𝐶(𝑘) − (¹

2− 𝑎) (¹

2+ 𝑎) 2𝜋𝜌₀𝑏³𝑈𝐶(𝑘) + 𝜋𝜌₀𝑏³𝑈 + 𝜋𝜌₀𝑏²𝑈];

𝐾 − 𝐾_𝑎= [𝑘_ℎ 2𝜋𝜌₀𝑏𝑈𝐶(𝑘)𝑈 0 𝑘_𝜃− 𝑏 (¹

2+ 𝑎) 2𝜋𝜌₀𝑏𝑈𝐶(𝑘)𝑈];

Si assume una soluzione armonica:

Per gli autovalori strutturali si assume: 𝑥 = 𝑥̅𝑒^𝜆𝑡; 𝑥̇ = 𝜆𝑥̅𝑒^𝜆𝑡; 𝑥̈ = 𝜆²𝑥̅𝑒^𝜆𝑡 ;

(21)

36

Nella forma: |𝐻₁₁ 𝐻₁₂ 𝐻₂₁ 𝐻₂₂|

Pt. 5b: Parametric study of flutter conditions

Si procede con il calcolo della velocità di flutter e la frequenza facendo variare i parametri che influenzano la risposta del sistema.

- (a, e, c, fh , fθ , m, Ip, ρ∞) = (-0.2, -0.1, 0.5, 3, 15, 5, 0.1, 1.225)

Figure 10: parte reale e immaginaria della soluzione del sistema

La velocità alla quale la parte reale passa da un valore negativo ad uno positivo (dove è nulla) è 90.5 m/s:

questa è la velocità di FLUTTER. Si nota come essa sia aumentata notevolmente dal caso dell’esercitazione 4

(22)

- Effetto della variazione della densità dell’aria:

ρ∞ 0.6 0.8 1.225

Flutter velocity m/s 134.13 114.3 90.29

Frequency Hz 12.34 12.5 12.73

- Effetto della variazione della massa m:

m 2.5 5 7.5 10 12.5 15

Flutter velocity m/s 61.86 90.29 113.1 132.5 149.9 165.76

Frequency Hz 13.03 12.73 12.51 12.35 12.2 12.12

(23)

40 CHAPTER 6: Static and free vibration analysis of beams

ℎ = 0.2 𝑚 ; 𝑏 = 0.5𝑚 , 𝑡 = 0.002 𝑚

Si andrà a risolvere il problema della trave incastrata: prima a livello statico (calcolo della freccia massima della trave) poi dinamico (analisi dei modi di vibrazione libera ricavando frequenze proprie della struttura, a torsione e a flessione).

Le ipotesi principali della trattazione sono quelle di Eulero Bernoulli e di De Saint Venant che insieme sono raccolte nella teoria tecnica delle travi.

Ne segue che la nostra semiala incastrata 3D diventa un modello trave monodimensionale. Nel modello 3D, lo spostamento è funzione delle tre coordinate spaziali: u = f(x, y, z).

Nel modello trave monodimensionale, invece, si assume il comportamento del solido lungo un piano (yz) lasciando lo spostamento funzione solo di una coordinata: u=f(x)*F(yz). Nello specifico, con Eulero Bernoulli si ipotizza che le normali alla sezione rimangono tali anche nella configurazione deformata. Con il modello trave quindi si ipotizza il comportamento della sezione nel piano (y,z) nel caso deformato.

Nella realtà gli effetti del taglio tendono a deformare la sezione, ma con l’ipotesi della teoria delle travi questo viene trascurato: ciò è ragionevole per solidi molto allungati nei quali la lunghezza caratteristica della sezione è molto inferiore all’allungamento del solido (valida per travi allungate):

ℎ 𝐿< 1

50 Se L/h =10 si hanno effetti di taglio non trascurabili.

Un altro caso in cui non possiamo trascurare gli effetti di taglio è quello dei materiali compositi: questo perché E/G circa 100 quindi quando abbiamo una grande deformabilità a taglio. Nel caso di materiali isotropi (ex acciaio) E/G =circa 2.

Figure 12: sistema di riferimento baricentrico utilizzato per trave piena (a) e sezione in parete sottile(b)

(a )

(b

)

(24)

L’equazione della freccia allora risulta: 𝑣(𝑥) = ¹

𝐸𝐼(𝐹_𝑦𝐿^𝑥²

2 −^𝐹^𝑦^𝑥³

6 )

Valuto ora la freccia massima del nostro sistema nel caso di trave piena (a) e trave con sezione in parete sottile(b):

𝐼_𝑧𝑎= ¹

12𝑏ℎ³= 3.33 ∗ 10⁻⁴

= 1

𝐸𝐼

(

¹ 2−1

6

)

𝐹_𝑦𝐿³= 4.2 ∗ 10⁻³𝑚

Si nota, anche nei grafici sottostanti, come nel caso di parete sottile la freccia sia un ordine di grandezza maggiore.

Pt. 6b – bending modes

Si scrive l’equilibrio dinamico: (𝜌𝐴𝐿)^𝜕²^𝑣

𝜕𝑡²= 𝑞(𝑥)𝐿 → 𝑜𝑣𝑣𝑒𝑟𝑜 → 𝜌𝐴^𝜕²^𝑣

𝜕𝑡²= 𝐸𝐼^𝜕⁴^𝑣

𝜕𝑥⁴ la quale viene riscritta:

(𝐸𝐼 𝜌𝐴) (𝜕⁴𝑣

𝜕𝑥⁴) +𝜕²𝑣

𝜕𝑡² = 0

Si risolve la PDE con il metodo della separazione delle variabili: la soluzione si può scrivere come moltiplicazione di due soluzioni indipendenti tra loro: 𝑣(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡)

Andando a sostituire nell’equazione e posto (_𝜌𝐴^𝐸𝐼) = 𝑄 si ottiene:

𝑄𝑋^….(𝑥)𝑇(𝑡) + 𝑋(𝑥)𝑇^′′(𝑡) = 0

Figure 2: andamento della freccia nel caso di trave piena (a) e sezione in parete sottile(b)

( b )

(a

)

(25)

44

𝜔_𝑏 = (𝛼_𝑖)²√𝐸𝐼

𝜌𝐴 → 𝑓_𝑛𝑏=𝜔_𝑏

2𝜋=(𝛼_𝑖𝐿)²

2𝜋 √ 𝐸𝐼

𝜌𝐴𝐿⁴

Si procede quindi con il calcolo delle prime cinque frequenze naturali per entrambi i tipi di sezione, avendo risolto l’equazione trascendente e riportando i primi 5 valori:

(𝛼𝑖𝐿) = [1.8751 , 4.6941 , 7.8548 , 10.9955 , 14.1372]

𝑓𝑖 (𝐻𝑧) = [1.645, 10.3088, 28.8649, 56.5633, 93.5043]

Ritornando ora all’equazione caratteristica sostituendo i risultati ottenuti si ha che:

𝑋(𝑥) = −(cos(𝛼𝑥) − cosh(αx)) −(cos(𝛼𝐿) + cosh(𝛼𝐿))

sin(𝛼𝐿) + sinh(𝛼𝐿) (sinh(𝛼𝑥) − sin(𝛼𝑥))

Definendo 𝛽_𝑖 =(cos(𝛼𝐿)+cosh(𝛼𝐿)) sin(𝛼𝐿)+sinh(𝛼𝐿) si ha:

𝑋(𝑥) = (− cos(𝛼𝑥) + cosh(αx)) − 𝛽_𝑖(sinh(𝛼𝑥) − sin(𝛼𝑥))

Avendo nel nostro caso 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5 otterremo cinque modi vibrazionali a cinque frequenze crescenti.

CASO 1: SEZIONE PIENA (a)

Si riporta la soluzione spaziale rappresentativa dei primi cinque modi di vibrazione flessionale:

(26)

CASO 2: SEZIONE IN PARETE SOTTILE (b)

Cambiando la sezione, l’analisi condotta non cambia. Varieranno numericamente i risultati delle frequenze poiché le caratteristiche della sezione rientrano nel parametro 𝛼 sottoforma di area geometrica della sezione e momento di inerzia.

𝑓𝑛 =^𝜔^𝑏

2𝜋 =^(𝛼^𝑖^𝐿)²

2𝜋 √_𝜌𝐴^𝐸𝐼^𝑧𝑏

𝑏 𝐿⁴

i 𝛼_𝑖𝐿 𝑓_𝑖 (𝐻𝑧)

1 1.8751 3.6281

2 4.6941 22.7373

3 7.8548 63.6652

4 10.9955 124.7574

5 14.1372 206.2353

In particolare si nota come le frequenze vibrazionali dei modi siano nettamente più alte rispetto al caso di sezione piena: questo è assimilabile soprattutto all’inerzia nettamente inferiore di una trave a guscio rispetto ad una piena.

Pt. 6c – torsional modes

Si scrive l’equilibrio dinamico del sistema a torsione:

(𝐺𝐽𝑡

𝜌𝐼_𝑃) (𝜕²𝜃

𝜕𝑥²) −𝜕²𝜃

𝜕𝑡² = 0

Si risolve la PDE con il metodo della separazione delle variabili: la soluzione si può scrivere come moltiplicazione di due soluzioni indipendenti tra loro: 𝜃(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡)

Andando a sostituire nell’equazione, e posto per semplicità _𝜌𝐼^𝐺𝐽^𝑡

𝑃= 𝑄 si ottiene:

𝑄𝑋^..(𝑥)𝑇(𝑡) − 𝑋(𝑥)𝑇^′′(𝑡) = 0

Dividendo tutto per 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) si può scrivere un sistema di equazioni differenziali separate:

{𝑋^..= −𝛼²𝑋 𝑇^′′= −𝜔_𝑡²𝑇 Dove 𝛼 𝑒 𝜔 sono le costanti di separazione: 𝛼²=^𝜔_𝐺𝐽^𝑡²^𝜌𝐼^𝑃

𝑡 , sapendo che 𝜔_𝑡 = 2𝜋𝑓_𝑡 con 𝑓_𝑡 le frequenze naturali a torsione del sistema trave.

Risulta semplice quindi scrivere la soluzione delle due equazioni differenziali omogenee del secondo ordine:

𝑋(𝑥) = 𝐴₁sin(𝛼𝑥) + 𝐴₂cos(𝛼𝑥) 𝑇(𝑡) = 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) + 𝐶𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) Si impongono le condizioni al bordo all’equazione caratteristica 𝑋(𝑥):

1) Rotazione nulla all’incastro: 𝜃(0, 𝑡) = 0 → 𝑋(𝑥 = 0) = 0 → 𝐴₂ = 0

2) Momento nullo all’estremo libero: 𝜃̇(𝐿, 𝑡) = 0 → 𝑋^.(𝐿) = 0 → 𝐴₁= 0 è la soluzione banale; si impone quindi cos (𝛼𝐿) = 0 → 𝛼 =^2𝑖−1𝜋 𝑐𝑜𝑛 𝑖 = 1 … 𝑛.

(27)

48

i 𝛼_𝑖 𝑓_𝑖 (𝐻𝑧)

1 0.3142 3.1218

2 0.9425 9.3654

3 1.5708 15.6090

4 2.1991 21.8526

5 2.8274 28.0962

Il calcolo delle frequenze riportate in tabella conferma ciò che si può semplicemente osservare dai grafici soprastanti: la frequenza aumenta man mano che si vanno a studiare i modi successivi. Inoltre, è anche dimostrabile che l’ampiezza di questi modi va a diminuire con l’incremento di 𝑖 , rendendo sempre meno importanti i modi oscillatori a frequenze crescenti.

Figure 4: modi di vibrare a torsione del sistema trave piena a sezione rettangolare

(28)

i 𝛼_𝑖 𝑓_𝑖 (𝐻𝑧)

1 0.3142 55.0333

2 0.9425 165.1000

3 1.5708 275.1667

4 2.1991 385.2333

5 2.8274 495.3000

Come previsto il comportamento è molto simile al caso precedente con l’unica differenza nell’ordine di grandezza delle frequenze: esse sono circa 10 volte superiori a causa della minore inerzia della sezione.

(29)

52

𝑇 = 𝐺𝐽𝑡(𝑑𝜃(𝑦) 𝑑𝑦 ) Si impone l’equilibrio dei momenti per unità di lunghezza:

𝑑𝑇

𝑑𝑦= −𝑀^′ → 𝐺𝐽_𝑡(𝑑²𝜃

𝑑𝑦²) = −𝑞𝑐²𝐶_𝑚𝑎− 𝑞𝑐𝑎(𝛼_𝑟+ 𝜃) + 𝑁𝑚𝑔𝑑 𝑑²𝜃

𝑑𝑦²+𝑞𝑐𝑎𝑒 𝐺𝐽𝑡

𝜃 = − 1 𝐺𝐽𝑡

(𝑞𝑐²𝐶_𝑚𝑎+ 𝑞𝑐𝑎𝑒𝛼_𝑟− 𝑁𝑚𝑔𝑑)

Si definisce 𝜆²=^{𝑞𝑐𝑎𝑒}

𝐺𝐽_𝑡 e 𝛼̅̅̅ =𝑟 ^𝑐𝐶^𝑚𝑎

𝑎𝑒 −^{𝑁𝑚𝑔𝑑}

𝑞𝑐𝑎𝑒 e si può riscrivere l’equazione differenziale come:

𝑑

²

𝜃

)

2)

Momento torcente nullo all’estremo libero: 𝜃^′(𝐿) = 0 → 𝐴 = 𝐵𝑡𝑎𝑛(𝜆𝐿)

Si ottiene così l’equazione dell’angolo di torsione elastico in funzione della coordinata longitudinale 𝑦 ∈ [0, 𝐿]:

𝜃(𝑦) = (

𝛼

_𝑟

+ 𝛼

̅̅̅̅)_𝑟 (tan⁽𝜆𝐿⁾sin⁽𝜆𝑦⁾+ cos⁽𝜆𝑦⁾− 1⁾

Avendo la variazione locale di incidenza punto per punto l’ungo l’apertura alare è possibile calcolare la distribuzione di portanza lineare:

𝐿^′(𝑦) =1

2𝜌𝑉²𝑐𝑎(𝛼_𝑟+ (

𝛼

_𝑟

+ 𝛼

̅̅̅) (tan(𝜆𝐿) sin(𝜆𝑦) + cos(𝜆𝑦) − 1)) _𝑟

Risulta interessante studiare il caso in cui 𝜃(𝑦) → ∞ ovvero quando si ha instabilità statica: questa condizione viene detta divergenza. Osservando l’equazione dell’angolo di torsione elastico si nota che 𝜃(𝑦) tende a infinito se tan(𝜆𝐿) → ∞ ovvero quando 𝜆𝐿 =^𝜋₂ . Ricordando la definizione 𝜆²=^{𝑞𝑐𝑎𝑒}

𝐺𝐽_𝑡 è possibile ricavare la pressione dinamica di divergenza: 𝑞𝐷 =^𝐺𝐽^𝑡

𝑐𝑎𝑒(^𝜋

2𝐿)

Da cui, ricordando la definizione di pressione dinamica, si ricava la velocità di divergenza: 𝑉_𝐷= √^2𝑞_𝜌^𝑑 .

(30)

3) Flow velocity = 40 m/s

(31)

56 Pt. 7.2: Effect of the shear center position

Si ripete adesso lo stesso studio fatto in precedenza ma cambiando la posizione del centro di taglio. La nuova analisi vede la posizione del centro di taglio al 30% della corda invece che al 50%: ^𝑥⁰

𝑐 = 0.3 1) Flow velocity = 10 m/s

(32)

Si nota subito come la deformazione torsionale dell’ala risulta notevolmente inferiore e, di conseguenza, lo scostamento della portanza aeroelastica da quella che considera l’ala infinitamente rigida è molto inferiore al caso precedente.

(33)

60

2) ^𝑥_𝑐⁰²= 0.3

Flow velocity [m/s] Theta tip [°]

10 0.0076

20 0.0306

40 0.1255

60 0.2952

80 0.5603

(34)

Pt. 7. 5: Effect of aspect ratio on divergence speed

Resta da evidenziare la relazione che sussiste tra la lunghezza del modello trave che simula la semi-apertura alare e la velocità di divergenza. Analizzando l’equazione della velocità di divergenza scritta in precedenza come: 𝑉_𝐷_𝑖= √

2^𝐺𝐽𝑡

𝑐𝑎𝑒(^𝜋

2𝐿𝑖) 𝜌

Si nota subito che 𝑉

_𝐷_𝑖

∝

¹

√𝐿𝑖

. Si fissa allora il centro di taglio

^𝑥_𝑐⁰

= 0.5 e si procede al calcolo.

Aspect Ratio 𝑉

_𝐷

[m/s]

5 263.5328

6.66 197.6496

8.33 158.1197

10 131.7664

11.66 112.9426

13.33 98.8248

15 87.8443

16.66 79.0599

18.33 71.8726

20 65.8832

(35)

65 2 (preliminary): Torsional angle at tip

Mantenendo la stessa mesh strutturale, si passa ora ad un’analisi aeroelastica statica andando a considerare le forze aerodinamiche e quindi la loro interazione con la struttura.

Per fare questo è fondamentale introdurre la mesh aerodinamica seguendo una teoria aerodinamica: nel nostro caso si usa il metodo ai pannelli VLM (Vortex Lattice Method). Si discretizza quindi l’ala in un numero Np di pannelli sui quali verranno calcolate le forze aerodinamiche applicate nel punto di carico degli stessi, al quarto anteriore. Per calcolare le forze aerodinamiche è necessario calcolare l’intensità dei vortici a staffa dei pannelli 𝛤𝑖 e imporre la condizione di tangenza del flusso sul punto di controllo al quarto posteriore di ogni pannello così da collegare l’aerodinamica alla deformata della struttura. Risulta però fondamentale far comunicare le due mesh, aerodinamica e strutturale, e si fa attraverso una matrice appositamente strutturata definita da funzioni nelle quali entrano in gioco le coordinate dei punti delle due mesh.

Si suppone che non ci siano carichi concentrati ma che ci sia solamente il carico aerodinamico calcolato con il VLM.

Considerando la densità del flusso pari a quella dell’aria secca in condizioni standard 𝜌 = 1.225_𝑚^𝑘𝑔₃ e la sua velocità 𝑉_∞= 10𝑚/𝑠 , un angolo di attacco 𝛼 = 3° e una mesh aerodinamica costituita da 2 pannelli lungo x e 10 lungo y della trave (20 pannelli totali) si valuta la rotazione 𝜃 dell’ala (modellizzata da una trave) al tip 𝑦 = 𝐿. Per fare questo si userà l’analisi via SOL144 (aeroelastic static analysis) usando vari modelli trave, andando di volta in volta ad aumentare i gradi di libertà del modello e quindi aumentando l’accuratezza della soluzione per casi più complessi di una semplice forza applicata nel centro di taglio della sezione.

Modello trave # gradi di libertà

EBBT (EULE) 3

TBT (FSDT) 5

N=1 9

N=2 18

N=3 30

N=4 45

La rotazione della sezione viene facilmente calcolata andando a dividere la differenza dei due spostamenti uz

per il valore della corda che li separa, nel nostro caso 𝑏 = 0.2𝑚 . Si riportano di seguito i valori ottenuti dalle analisi:

metodo posizione y w_z(x=0) w_z(x=b) theta (GRADI)

eule 2 0.005679828 0.005679828 0

fsdt 2 0.005679935 0.005679935 0

N=1 2 0.005680303 0.00567992 0.000109721

N=2 2 0.005460361 0.005423858 0.010457339

N=3 2 0.005614316 0.005577658 0.010501743

N=4 2 0.005622759 0.00558588 0.010565055

Si nota subito come i primi due modelli trave del primo ordine (Eulero Beroulli e Timoshenko) non riescono a cogliere la rotazione a torsione della sezione; questo è assolutamente normale poiché nelle loro ipotesi la sezione non ammette torsione. All’aumentare dell’ordine del modello si nota come la rotazione diventa ben

(36)

All’aumentare del numero di pannelli la soluzione aumenta di precisione. Per le prossime analisi sceglieremo l’ultima mesh aerodinamica usata, 5x40.

8 a – 2: Structural mesh effect

In questa sezione si analizza l’influenza della mesh strutturale sulla soluzione, tenendo fissa la mesh aerodinamica costituita da 5 pannelli lungo x e 40 lungo y. In questo caso la velocità del flusso sarà sempre 𝑉_∞= 20 𝑚/𝑠. Si mantiene sempre lo stesso tipo di elemento Beam B4, e varierà solamente quanto è fitta la discretizzazione.

Si studierà il problema aeroelastico con SOL144 (aeroelastic static analysis) con solamente carichi aerodinamici.

Di seguito si riportano i valori ottenuti di scostamenti e rotazione al tip al variare del numero di elementi della mesh strutturale.

elementi mesh

strutturale u_z(0) u_z(b) theta (°)

5 0.021656567 0.021511594 0.041531698

10 0.021772489 0.021627345 0.041580686

20 0.02182774 0.021682439 0.041625663

30 0.02184628 0.021700915 0.041643998

40 0.021855629 0.021710229 0.041654024

L’influenza della mesh strutturale è inferiore rispetto a quella aerodinamica; i risultati variano di molto poco;

20 elementi B4 danno un risultato più piccolo di 2.84 ∗ 10⁻⁵ rispetto ai 40 elementi; si tratta di un errore relativo di 0.068%. Risulta quindi ragionevole utilizzare 20 elementi B4 per le future analisi.

8 a – 3: Flow velocity effect

In questa sezione si vuole valutare l’influenza della velocità a monte dell’ala sugli spostamenti e quindi anche sulla rotazione del profilo. Si mantiene la mesh aerodinamica scelta nel punto 1.1 e la mesh strutturale scelta nel punto 1.2.

velocità del flusso u_z(0) u_z(b) theta (°)

10 0.00540645 0.005370424 0.010320689

30 0.049886504 0.049554993 0.094970819

50 0.145873379 0.144909329 0.276177842

70 0.310041635 0.308009604 0.582113971

(37)

69

al tip della stessa. Per contrastare questo effetto causato dal fatto che il centro di taglio è spesso dietro il fuoco e l’ala non è infinitamente rigida ci sono varie soluzioni.

L’utilizzo della freccia positiva per ridurre, annullare o rendere negativa la rotazione della sezione è altamente impiegato nei velivoli che hanno velocità sostenute per non avere problemi di divergenza. Un'altra soluzione è quella dell’utilizzo di materiali compositi ortotropi.

8 a – 5: Fiber orientation effect

In questa sezione si andrà a studiare un altro metodo per contrastare l’accoppiamento aerodinamico:

l’utilizzo di materiali ortotropi. Questi materiali sono spesso materiali compositi e in base alla loro costituzione possono avere una risposta molto particolare alle deformazioni. La matrice di accoppiamento flesso torsionale B di questi materiali infatti permette loro di deformarsi in maniera “opposta” rispetto ad un materiale isotropo (come una lega metallica ad esempio).

Quando questi materiali subiscono una flessione, a causa della loro struttura microscopica inducono una deformazione a torsione ed è possibile strutturare questi materiali in maniera tale da rendere questa deformazione “indotta” opposta all’effetto aerodinamico.

Si terrà fissa la velocità del flusso a monte 𝑉∞= 20 𝑚/𝑠 e la sua densità 𝜌 = 1.225 𝑘𝑔/𝑚³ e si andranno a valutare gli effetti dell’orientamento delle fibre in un materiale composito mono strato conoscendo le caratteristiche meccaniche delle fibre e della matrice. Orientando le fibre del materiale a diversi angoli 𝜑 si modificherà la risposta aeroelastica.

Il materiale ortotropo considerato ha le seguenti caratteristiche nelle sue direzioni longitudinali (L) e tangenziali(T e Z):

- 𝐸𝐿 = 20 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑇 = 10𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑍 = 10 𝐺𝑃𝑎 - 𝜈_𝐿𝑇 = 𝜈_𝐿𝑍= 𝜈_𝑇𝑍= 0.25

- 𝐺_𝑇𝐿 = 𝐺_𝑇𝑍= 𝐺_𝐿𝑍 = 5 𝐺𝑃𝑎

(38)

8 b: Divergence analysis

Per l’analisi di divergenza con SOL 103 (Aeroelastic static divergence analysis) si utilizza la stessa mesh aerodinamica e le stesse condizioni precedenti. Si considera la trave in Figura 1 di un materiale ortotropo uguale a quello descritto nella sezione 1.5.

8 b - 1: Beam model

Ponendo nullo l’angolo di freccia Λ e l’orientamento delle fibre del materiale si valuta la velocità di divergenza per i vari modelli trattati nel presente report. Si riporta l’autovalore reale positivo più basso poiché essendo una velocità di divergenza si considerano solo valori reali positivi, e si prende il più basso perché è la condizione che si verificherà fisicamente per ovvi motivi.

Modello trave Velocità di Divergenza [m/s]

EBBT (EULE) Non-physical velocities

TBT (FSDT) Non-physical velocities

N=1 1090.48

N=2 84.73

N=3 84.42

N=4 84.17

Si nota che già con N=2 si ha una buona approssimazione della velocità di divergenza la quale si stabilizza intorno a 84 𝑚/𝑠 . Per i modelli trave EBBT e TBT ovviamente la velocità di divergenza non esiste perché non si hanno quei gradi di libertà che permettono di modellizzare l’accoppiamento aerodinamico flesso- torsionale, ed il modello N=1, come anche si è visto all’inizio di questo capitolo (preliminary analysis 2) l’angolo di torsione che questo modello riporta è decisamente sottostimato a causa di insufficienti gradi di libertà per una migliore approssimazione.

Riprendendo l’equazione della velocità di divergenza ricavata nel report 7 si comparano i risultati con il caso bidimensionale del capitolo precedente.

𝑉

_𝐷_2𝐷

= √ 2 𝐺𝐽

_𝑡

𝑐𝑎𝑒 (

𝜋 2𝐿)

𝜌 = 78.27 𝑚/𝑠

Dove 𝑒 =^𝑥⁰

𝑐 −^𝑥^𝑎𝑐

𝑐 mentre 𝑎 = 2𝜋 è il coefficiente angolare di portanza ideale (distribuzione ellittica di portanza, ala ad allungamento infinito senza effetti reali).

Nel caso bidimensionale, come da previsioni, il caso è più critico infatti la velocità di divergenza è più bassa:

questo perché l’effetto dell’accoppiamento aerodinamico è sovrastimato dato che non si considerano gli effetti di bordo, ovvero non si considera che l’ala è ad allungamento finito, e pari a 10 nel nostro caso, e quindi si ha un crollo di portanza all’estremità a causa dei vortici al tip dell’ala.

(39)

73 CHAPTER 9: Flutter of finite wings via FEM and Doublet Lattice Method

Figura 8: sezione trasversale della trave di riferimento

9 a: FREE VIBRATION ANALYSIS

Si consideri la sezione in figura 1 con le seguenti caratteristiche:

- ℎ = 0.005𝑚 , 𝑏 = 0.2𝑚 , 𝐿 = 2𝑚

- materiale isotropo 𝐸 = 70𝐺𝑃𝑎 , 𝜈 = 0.3 , 𝜌 = 2700 𝐾𝑔/𝑚³

Si usa una Mesh strutturale composta da 20 elementi trave B4 al fine di valutare le prime se frequenze naturali del sistema e i corrispettivi modi vibrazionali. Si confrontano quindi due modelli strutturali molto diversi: quello di Eulero Bernoulli e N=4.

Per avere un’idea su che errore commette il modello FEM di Eulero-Bernoulli rispetto alla trattazione analitica (si veda capitolo 6) vengono riportati i risultati ottenuti dalla risoluzione su Matlab delle equazioni dinamiche della trave.

Frequenze naturali

Modo vibrazionale EULERO N=4 EULERO (trattazione analitica)

1 1.0281 1.037 1.0281

2 6.4432 6.496 6.4433

3 18.0414 18.202 18.0415

4 35.353 20.227 35.3538

5 41.046 35.720 41.1259

6 58.439 40.908 58.4431

Si osserva che il modello di Eulero Bernoulli implementato con 20 elementi finiti B4 da praticamente gli stessi risultati della soluzione analitica, per tutti i modi vibrazionali attorno ad x, avendo sempre un errore ben inferiore all’ 1%. I modelli di Eulero danno risultati molto simili al modello di espansione di Taylor N=4 solamente per i primi tre modi vibrazionali. I modelli di Eulero Bernoulli infatti non ammettono torsione della sezione, quindi il modo 4 torsionale verrà “saltato” ; i risultati delle analisi modali dei due modelli da questo punto in poi sono completamente diversi.

(40)

Modo 4 – flessionale (x)

Modo 5 – flessionale (z)

(41)

77

Modo 4 – torsionale (y)

Modo 6 – flessionale (z)

(42)

Osservare che il modo 5 è un modo flessionale sull’altro asse, ovvero z.

(43)

81 9 b – 2:

In questa sezione si va a studiare l’effetto dell’ordine del modello strutturale utilizzato. La mesh aerodinamica viene tenuta in formato 6 × 20.

Modello Velocità di Flutter [m/s] Frequenza di Flutter [m/s]

Eulero Not found Not found

Timoshenko Not found Not found

N=1 Not found Not found

N=2 58.1058 12.3589

N=3 58.0062 12.2459

N=4 57.9594 12.2075

In base ai risultati della tabella non si notano grandi differenze numeriche tra i modelli di ordine superiore a N=2 compreso.

I modelli di Eulero e Timoshenko, come previsto, non danno risultati di flutter in quanto non ammettono la rotazione della sezione non avendo quel grado di libertà, di conseguenza non può nascere il flutter e non si verificherà mai neanche la velocità di divergenza (come confermato nel capitolo 8).

Il modello N=1, invece, ammette la rotazione della sezione ma come verificato nel capitolo 8 è due ordini di grandezza inferiore rispetto ai risultati che danno N=3 e N=4; infatti la velocità di divergenza era

elevatissima (1090.5 m/s) e siccome sono state cercate soluzioni in un intervallo 0 ≤ 𝑉 ≤ 200 𝑚/𝑠 evidentemente la velocità di flutter di N=1 è superiore a 200 m/s.

Il fenomeno del flutter si verifica ovviamente quando anche solamente un solo modo va in instabilità, ovvero quando un solo autovalore ha smorzamento nullo. Questa condizione si può valutare anche sui grafici di smorzamento e frequenza al variare della velocità. Il motivo per cui la stabilità è verificata solo se tutti gli autovalori risultano essere negativi è riconducibile al classico studio di stabilità di sistemi meccanici complessi: qualora i primi N modi sono stabili, e il modo N+1 risulta essere instabile, tale modo sarà l’unico a verificarsi.

In figura 2 si riportano gli autovalori del problema aeroelastico al variare della velocità per il modello N=4.

Corso Luigi Einaudi, 55/B - Torino NUMERO: 2427A ANNO: 2019 A P P U N T I. STUDENTE: Beltrame Fabio. MATERIA: Relazioni Aeroelasticita - Prof.