Sul contatto di superficie algebriche lunge curve.

Sul contatto di superficie algebriche lunge curve.

Memoria di DIONISIO GALLARATI (a Genova).

Sunto. - S i s t u d i a n o alcune questioni generali relative al contatto d'ordine assegnato di due ipersuperfiei~ algebriche F e G dello spazio 8r lunge u n a variet~ ~ (r -- 2)-dimensionale, ottenendo I r a l'altro n n a sempUce condizione necessaria e sufficiente affinchd ~, contata q volts, esaurisca l'intersezione di F e ~. I n seeondo luogo si considera il case di due superficie algebriche i m m e r s e i n u n a V3 algebrica ed a v e n t i u n contatto semplice lunge u n a eu~'va p r i v a di p u n t i m u l t i p l i ; ed i n particolare, qualora V3 s i a lo spazio ordinario, si p r o v a che certe condizioni segnatate da B. SEGRE come condizioni necessarie affinchd u n a d a t a superficie $' possa essere tangents a d u n ' a l t r a superficie lunge un' assegnata c u r v a ~ (non singolare), sono anche sufficienti se l'ordine di F ~ inferiors a 5. I n f i n e si dd~ l'effettiva costru~ione dells superficie circoscritte ad u n a superficie F d'ordine m ~- 2, 3, 4, e si m o s t r a come i metodi i m p i e g a t i possano essere u t i l i z ~ a t i anche q u a n d o si abbandoni l'ipotesi m ~ 5.

INTRODUZIONE

1. I n u n a c l a s s i c a M e m o r i a s u l l e V 8 a l g e b r i c h e , B. SEGm~ (~) h a n o t a t e i n c i d e n t a l m e n t e s h e d u e s u p e r f i c i e a l g e b r i e h e i m m e r s e i n u n a V 8 e d a v e n t i u n c o n t a t t o s e m p l i e e l u n g e u n a e u r v a p o s s e g g o n o g e n e r a l m e n t e s u q u e s t a q u a l c h e p u n t o d o p p i o e d h a a p p r o f o n d i t o a l c u u e d e l l e q u e s t i o n i s h e a e i b si e o l l e g a n o (~). L . GOD]~AUx (3) h a s t u d i a t o e l e m e n t a r m e n t e s i f f a t t e : q u e s t i o n i

(t) B. SEGRE, N u o v i contributi a l l a geometria sulle variet~ algebriche, • Morn. Ace.

d ' I t a l i a ,, 5, (193Q, pp. 479.576.

(~) Belativamente al contatto di due superficie o di due ipersuperfici5, cfr. anche:

B. SEGRE, On limits of algebraic varieties, i n p a r t i c u l a r o f their intersections a n d t a n g e n t i a l forms, • Prec. London Math. Soc.,, (2), 47, (1942), pp. 351-403, e J. G. SE~PLE, Contact con.

ditions for surfaces, • Prec. R. Irish Acad. ~, vol. X L I I I , Section A, n. 5, (1936), pp. 49-71.

(3) L. GODEAUX, S u r le contact de surfaces cubiques, ,, Bull. de la Soci~t~ royale de Sciences de I~i~ge ~, 20 gennaio 1944, pp. 1.10 ; S u r le contact de surfaces le long de courbes, id., 17 febbraio 1944, pp. 46-58; Construction d ' u n e surface comonique de nsuvidme ordre,

• Bull. de l'Acad~mie royale de Belgique ~ 2 maggie 1944, pp. 202.212 ; Construction d ' u n e surface eanonique de huiti~me ordre, ~ Bull. des Sciences Math6matiques ,, 2 a serie~ t. L X V I I I , luglio.agosto 1944, pp. 1-13 ; R e m a r q u e s u r le contact des surfaces, ¢ BulL de l'2tcadgmie royale des Belgiques ,, 7 ottobre 1944, pp. 391.396; S u r la construction de surfaces canonique de l'espace ordinaire, id. 1 ° agosto 1945, pp. 288-300; S u r les surfaces circoscrites d~ u n e surface cubique, ,, Bull. de la Soci6t~ royale de Sciences de Liege ~ 19 giugno 19~7, pp. 110.119;

R e m a r q u e s s u r les surfaces inscrites d u n s une surface cubique, • Bull. de ]a Soci~t~ royale de Sciences de Liege ~, 3 marzo 1950, pp. 150-157; S u r les surfaces algdbriques d'ordre n d e n t les adjointes d'ordre n -- 4 poss~dent u n e p a t t i e fixe, ~ Rend. di Mat. e delle sue Appli- cazioni ,, serie V, vol. X, fuse. 1-2, Roma, (1951), pp. 1.12

~ n n o l i di Matematict6 29

226 D. GALI~ARATI: ~Ul contatto d~ sltperficic aigcbrlche lungo curve

in alcuni east speeiali in cut le due superficie sono nello spazio ordinario, investigando p u r e in taluno di essi la possibilit~ di contatti d'ordine superiore.

B. SEGRE ha quindi ripreso lo studio g e n e r a l e dei contatti lungo curve tra due superficie algebriche di u n a V:~ algebrica, stabilendo delle condizioni necessarie affinch~ due superfieie F e G di V3, e n t r a m b e prive di c u r v e multiple, si tocchino lungo una c u r v a ~ priva di singolarit~; tali c0ndizioni assumono u n aspetto p a r t i c o l a r m e n t e semplice q u a l o r a V 3 sia lo spazio ordi- nario e permettono fra l ' a l t r o di stabilire quali siano i cast che a priori possano p r e s e n t a r e due superfieie F,n e G,, dello spazio ordinario, di ordini rispettivi m e d n tra loro t a n g e n t i lungo u n a c u r v a : tutto cib trovasi in a l e u n i a p p u n t i manoscritti che g e n t i l m e n t e B. SEGRE ha messo a mia dispo- sizione (4).

II prof. B. SEGRE mi ha proposto di approfondire la questione di deei.

d e r e se tutti i c a s i ' a priori possibili si possano e f f e t t i v a m e n t e v e r i f i c a r e ; ed questo il problema di cut sopratutto mi occupo qui, giovandomi a n c h e di a l e u n e osservazioni s u p p l e m e n t a r i e o n t e n u t e net suddetti appunti.

Gi~ per m - - 4 (ed n qualunque) non tutti i casi risultano possibili ; e cib a differenza di quanto aeeade nel caso in cut m ~ 3 (ed n qualunque) r e l a t i v a m e n t e al quale poeo e'~ da a g g i u n g e r e dopo i risultati di B. SEGRE e di L. GOD,AUX.

Qualora m ~ 4 , si h a tuttavia ehe se u n a superficie F , , a p p a r t e n e n t e allo spazio ordinario e dotata soltanto di nodi contiene u n a c u r v a ~ d'or- dine ~ m n , priva di singolaritk, soddisfacente alle condizioni indicate da 1 B. S~.(~RE, tale e u r v a i~ certo e u r v a di contatto di Fm con u n a superficie d ' o r d i n e n, siech~ le condizioni necessarie indicate da B. Segre risultano anche sufficienti qualora u n a delle due superficie abbia ordine ~ 5.

I1 p r i m o dei tre capitoli in cut ho diviso il p r e s e n t e lavoro, ~ dedieato allo studio di a l c u n e questioni generali r e l a t i v e ai contatti d ' o r d i n e q - - 1 di due i p e r s u p e r f i c i e algebriche F e G, appartenenti ad uno spazio lineare ad r dimensioni S,., lungo u n a varietk ~, di dimensione r - 2, che contata q volte e s a u r i s c a 1' intersezione di F e G.

T r a r altro do u n a semplice eondizione necessaria e sufficiente affinch~

due ipersuperficie 17' e G presentino un contatto d' ordine q - 1 !ungo u n a varietk ~ nel modo sopra preeisato; tale e o n d i z i o n e appare p a r t i c o l a r m e n t e u t i l e ' i n tutta la rieerca~ e consente di ottenere in modo rapido vari risultati ehe mi sembrano non privi di interesse.

I capitoli suecessivi sono volti ad approfondire il caso dei contatti ordi- nari lungo curve di due superfieie algebriche a p p a r t e n e n t i allo spazio ordi- nario (q---2, r - - - 3 ) , l~el eapitolo 2 °, attraverso lo studio del sistema lineare

(4) In tali appunti B. SEGRE accenna pure a eontatti del second' ordine.

D. GALLAaA'rI: S u l c o n t a t t o d i s u p e r ] i c i e a l g e b r i c h e l u n g o c u r v e 2 2 7

d e l l e s u p e r f i e i e G d ' o r d i n e n e h e ~ l u n g e u n a d a t a e u r v a ~ - t o e c a n o s e m p l i c e m e n t e u n ' a s s e g n a t a s u p e r f i c i e F d ' o r d i n e n~ a p p a r t e n e n t e a l l ' o r d i - nario spazio S~, s t a b i l i s c o la s u f f i c i e n z a d e l l e c o n d i z i o n i s e g n a l a t e d a B. SE- G-RE, a l m e n o p e r m ~ 5, sotto l ' i p o t e s i che e s i s t a e f f e t t i v a m e n t e u n a super- ficie F e s u essa u n a c u r v a ~ p e r le q u a l i tali c o n d i z i o n i s i a n o s o d d i s f a t t e . L ' e s a m e di q u e s t ' i p o t e s i o e c u p a il capitolo 3 °, n e l q u a l e , con p r o c e d i m e n t i e l e m e n t a r i , d e t e r m i n e tu~te le s u p e r f i c i e G d ' o r d i n e n q u a l u n q u e c i r c o s c r i t t e a d u n a s u p e r f i e i e F d ' o r d i n e m - - 2 , 3, 4, s c r i v e n d o s e n z ' a l t r o le e q u a z i o n i d~ t a l i superf~cie, a d eccezione di d u e casi p a r t i c o l a r i (per m = 4} che n o n s o n o r i u s c i t o a d a p p r o f o n d i r e . P e r m - ~ 2 7 3 r i t r o v o f a t t i gi~t noti, c h e t u t t a - v i a ~ o p p o r t u n e r i c h i a m a r e e p r e s e n t a r e in f o r m a piit u t i l e p e r il seguito.

I1 p r o c e d i m e n t o i m p i e g a t o pub essere utilizzato a n c h e p e r m ~ 5 ; a t i t o l o d' esempio, a c e e n n o r a p i d a m e n t e ai casi i n cui m - - 5 , 6.

Mi p r o p o n g o di t o r n a r e s u l l ' a r g o m e n t o i n u n l a v o r o successive, eve a p p r o f o n d i r b a n c h e lo studio dei c o n t a t t i di o r d i n e s u p e r i o r e .

A g g i u n g o a n c o r a che il p r o b l e m a d e l l a d e t e r m i n a z i o n e di t u t t e le super- ficie dello spazio o r d i n a r i o e i r c o s c r i t t e ad u n a data, pub g e t t a r l u c e s u q u e l l o Inert a n e o r a c o m p i u t a m e n t e risolto (~)), d e l l a d e t e r m i n a z i o n e del m a s s i m o n u m e r o dei n o d i d e l l e s u p e r f i c i e a l g e b r i c h e di d a t e o r d i n e m .

Nel n. 6 e s p o n g o a l c u n i dei r i s u l t a t i c o n t e n u t i n e g l i a p p u n t i di B. SEGRE, u s a n d o le n o t a z i o n i e la n o m e n c l a t u r a i n t r o d o t t e d a B. SEGP~E n e l l a M e m o r i a c i t a t a in {~), c h e n e l s e g u i t o verr~t i n d i c a t a con B. S.

C A P I T O L 0 I.

2. 0 s s e r v i a m o a n z i t a t t o t h e il p r o b l e m a d e l l a d e t e r m i n a z i o n e di t u t t e le f o r m e di u n o spazio l i n e a r e S,. di d a t e o r d i n e ~i ~ ~r~, che a b b i a n o u n con- t a t t o d' o r d i n e q - 1 con u n a d a t a f o r m a i r r i d u v i b i l e F m , d ' o r d i n e m , l u n g e u n a d a t a v a r i e t ~ ~ di d i m e n s i o n e r - - 2 ed o r d i n e 1 - r a n , ~ risolto n o n a p p e n a si sia d e t e r m i n a t a u n a di s i f f a t t e forme.

I n f a t t i se ~v0, ~ , , . . . , ~r sono c o o r d i n a t e p r o i e t t i v e o m o g e n e e di p u n t o in S,. ed F~n --" 0 (6) ~ l ' e q u a z i o n e di F , n , e se G,, e G* sono d u e i p e r s u p e r f i c i e

{~} Cfr. F. SEV•RI, S u l massirao n u m e r o di nodi di u n a superficie di dato ordin~ d e l l o

spazio ordinario e di u n a f o r m a di u n iperspazio, • Annali di Matematica ,, 4, (25), (1946}, pp. 1-4t ; B Szaa~, S u l m a s s i m o n u m e r o di nodi delle superficie d i dato o~'dinB~ • Boll. U.M.I. ,~

3, 2, (19~7), pp. 201.212; S u l m a s s i m o n u m e r o di nodi dells superfici6 algebriche, • ~tti Ace.

Ligure di Scienze e Lettere ,, ~ol. X, fast. 1 °, Genova (1952), p. 15; E. G. TOG LIATTI, S u l l e

superficie algebriche col m a s s i m o n u m e r o di p u n t i doppi (Conferenza tenuta a Torino il 16 marzo 1950), ~ Rendiconti Sere. Mat. di Torino ,, t. IX, (1950), pp. 47-59.

(~) Indicher5 con lo stesso simbolo At. una forma algebrica di grado h nelle variabili, x o , , x i , ..., ~r e l'ipersuperficie di S r di equazione A h = 0 .

228 D. GALLARATI" S u l c o ~ t a t t o di superyicie algebriche htngo curve

dello stesso ordine u che abbiano un contatto d'ordine q - - 1 con F,~ lungo ~ , l ' i p e r s u p e f f i c i e del fascio da esse d e t e r m i n a t o t h e p a s s a p e r un generico punto di Fm contiene F,a come parte, e quindi esiste una forma A,_m d'or- dine J r - - m tale c h e :

G,, ~ A . _ ~ F . , + G,,* ;

segue da cib t h e le i p e r s u p e r f i e i e di S,, di ordine n ~ m t h e lungo ~ ab- biano un eontatto d' ordine q - 1 con F . , , se n o n oontengono tugge F . , come p a r l e , costituis~ono u n s i s t e m a l i n e a r e di d i m e n s i o n e

_ . ( n - - m r + r )

Se n - - q v e ~ ~ la c o m p l e t a intersezione di tPm con una forma H~, il p r o b l e m a 6 s e n z ' a l t r o risolto, potendosi a s s u m e r e in tal caso G* ---H~q; ed anzi q u a l o r a F , , sia priva di p u n t i multipli e sia r ~ 4, poich~ ogni variet~

ad r - - 2 d i m e n s i o n i a p p a r t e n e n t e ad /~m ~ la c o m p l e t a intersezione di F m eon u n ' a l t r a forma di St. (7), il p r o b l e m a non a m m e t t e altre soluzioni. I1 fatto c o n t i n u a a sussistere anche p e r r - - 3 ed m ~ 4 , q u a l o r a F,n sia la superficie generale d e l l ' o r d i n e m ; ~ ben noto invero ehe u n a tale superficie contiene solo le curve intersezioni complete della s u p e r f i c i e stessa con le altre s u p e r f i c i e delle spazio (s).

II caso in eui ~ sia la c o m p l e t a intersezione di F,,, con u n a forma H~

rientra come caso partieolare in quello in cui esistano due forme Hx e Bqr-.n la prima delle quali passi p e r ~ e seghi u l t e r i o r m e n t e F , , in u n a variet~

di dimensione r - - 2 ed ordine -1 m(Xq ~ n), m e n t r e ]a seconda abbia un con- q

tatto d ' o r d i n e q - - 1 con Fm lungo ~.

Se esistono due forme H z e Bq~_,, nelle condizioni ora specificate, e se la forma G,, p r e s e n t a un eontatto d ' o r d i n e q - - 1 con Fm lungo ~ le due i p e r s u p e r f i c i e

H ~ = O, G . . Bq~_. = 0

segano su F,,, la stessa varietY, e quindi esiste una forma Aqx_,. tale t h e

(1) Aq~,--raFm -~" Bqx-.nG~, ~- I-I q •

(~) 1% SSVERI, Una proprietd~ delle forme algebriche prive di punti multipli, ¢ Rendie.

Ave. Naz. dei Lineei ,, (5), (1906), pp. 691.696.

(8) M. NOETHER, Zur ~rundlegung der Theorie der algebraischen Raumcurven, Berliner Abhandlungen, (1882); G. FANO, Sulle varietd algebriehe che sono intersezioni complete di pi~ forme, • Atti dell'Ace, di Torino% (i808.1809); S. LEFSCH]~TZ, On rcertain numerical i•variants of algebraic varieties ~vith application to Abe|ia~ varieties, ~ Trans Am. Math.

See. % (1921) ; per una dimostrazione algebrieo-geometrica di tale teorema, cfr. A. FRANCHETTA, Sulle curve appartenenti ad una superficie generale d'ordine m ~ 4 dell'Sg, • Rendic. Ace.

Naz. dei IAncei % (8), 3, (19~:7}, pp. 71.78.

D. GALLARATI: S u l c o n t a t t o di super]icie algebriche lunge curve 229

V i c e v e r s a , se le f o r m e F m e G . s o n o tali e h e e s i s t a n o t r e f o r m e Aqx_,,,, Bq~_n, H ~ , di g r a d i u g u a l i ai r i s p e t t i v i indici, p e r c u i v a l g a la (1), e se di p i h si s u p p o n e e h e l a v a r i e t Y :

F,~ ~ Gn ~ Aqz-m - - Bq~_, - - 0

a b b i a d i m e n s i o n e ~ r - - 3 , r i s u l t a i m m e d i a t a m e n t e t h e le i p e r s u p e r f i e i e G , , - - 0 , e B q ~ _ ~ - - 0 p r e s e n t a n o u n c o n t a t t o d' o r d i n e q - 1 c o n F,~ l u n g e v a r i e t ~ e d ~ a p p a r t e n e n t i e n t r a m b e a l l a i p e r s u p e r f i c i e H z , ed u n c o n t a t t o d ' o r d i n e q - - 1 c o n A q x - , , l u n g e v a r i e t a ~ e d ~ a n e h ' e s s e a p p a r t e n e n t i a d H x . I n f a t t i so P ~, a d e s e m p i o , u n a s o l u z i o n e g e n e r i c a d e l s i s t e m a Fro--" G,, ~ 0 e se q' ~ l a m o l t e p l i c i t i ~ di t a l e s o l u ~ i o n e p e r il s i s t e m a s t e s s o (9), le f o r m e Aqz_,n e B~x_~, p e r le i p o t e s i f a t t e , n o n si a n n u l l a n o s i m u l t a n e a m e n t e in P , e q u i n d i P ~ s o l u z i o n e di m o l t e p l i c i t ~ q' p e r u n o a l m e n o d e i d u e s i s t e m i F m ~-- Bqz-,iGn " - O, Gn "-- Aqx_,~F,n --" O, o s s i a p e r u n o a l m e n o d u e s i s t e m i F ~ ~ H ~ : O, G , - - Hxq - - O, o n d e q' ---- q.

E b b e n e , ~ f a c i l e v e d e r e c h e q u e s t o ~ il c a s e pifi g e n e r a l e p o s s i b i l e ; si h a cio~ t h e : c o n d i z i o n e n e c e s s a r i a e s u f f i c i e n t e a f f i n c h ~ d u e i p e r s u p e r f i c i e algebriche di S,., F e G, e n t r a m b e i r r i d u c i b i l i , abbiano u n contatto d ' o r d i n e q - t l u n g e u n a v a r i e t d ~ di d i m e n s i o n e r - 2, t h e c o n t a t a q volte e s a u r i s c a la lore i n t e r s e z i o n e , ~ t h e e s i s t a n o tre f o r m e , H , A , B , tali t h e s u s s i s t a l ' i d e n t i t ~

(1) A F -t- B G -~ H q

e t a l i che la v a r i e t d F ~ G ~ A --- B --- 0 abbia a l piie la d i m e n s i o n e r - - 3.

I n f a t t i ~ n o t e t h e se F e G s o n o d u e i p e r s u p e r f i c i e a l g e b r i c h e di S,.

a v e n t i u n c o n t a t t o d ' o r d i n e q - - 1 l u n g e u n a v a r i e t ~ ~ c h e c o n t a t a q v o l t e n e e s a u r i s e a l ' i n t e r s e z i o n e (e c o m u n q u e s p e z z a t a ) , e se u n a f o r m a K p r e s e n t a l u n g e ~ u n c o n t a t t o d ' o r d i n e q - - 1 c o n F e c o n G, e s i s t o n o d u e f o r m e A e B t a l i t h e s u s s i s t a l ' i d e n t i t ~

K ~ A F ~ - B G ;

i n p a r t i c o l a r e , se H i~ u n a i p e r s u p e r f i c i e di o r d i n e s u f f i e i e n t e m e n t e e l e v a t e p a s s a n t e ( s e m p l i c e m e n t e ) p e r ~ , si p u b a s s u m e r e K == H q, e q u i n d i e s i s t e u n ' i d e n t i t ~ d e l l a f o r m a (1): ed ~ f a c i l e r i e o n o s c e r e e h e ~ p o s s i b i l e s c e g l i e r e H i n m o d e c h e l a v a r i e t k _F_-- G - - A - - B - - 0 a b b i a d i m e n s i o n e ~ r - - 3 (~0).

(~) ~. S~EV~.aI~ II concerto generale di molteplicit~ delle soluzioni pei sistemi eli equazioni algebriche e la teoria dell'eliminazione, ~ Annali di Matematiea ,, serie IV, vol. 26, (1947}, pp. 221.270.

(10) Si pub precisare anzi che eib avviene senz'altro qualora ~ ed ~ non abbiano a comune una parte ( r - 2)-dimensionale. A talc scope eonsideriamo in S,. un generico Se (ehe possiamo supporre abbia equazioai x ~ - - - x 4 ~ . . . ~ c r ~ 0 ) : esso sega F e ~ in due curve f e g (di equazioni f~--F(xo, x~, x~, 0,..., 0}~---0~ g-~ G(xo~ x~, x~, 0,..., 0)-~0) prive di parti comuni, le quali presentano un contatto d'ordine q -- 1 nei punti del gruppo 7 sezione di ~ con l'S.~, ed H in una curva h (di equazione h ~ - H ( x o , x~, x~, 0,...~ 0 } : 0 } segante /' fuori di 7 nel gruppo ~ (non avente aleun punto a comune con 7) dei punti eve

2 3 0 D . GALLARATI: S l t l c o n t a t t o di supcr]icie algebriche lungo curve

Si h a come soroUario t h e : se ~ ~ u n a varlet4 di dimensione r - 2 she contata q volte dia la sompleta in~ersezione di due ipersuperfisie F e G, u n a forma qualunque H passante genericamente per ~ sega ulteriormente F e G lungo due varietdt ~ ed ~ le quali contate q volte danno le complete inter.

sezioni di F e ~ con due forme, she a loro volta presentano u n contatto d' or.

dine q - 1 i n ogni p u n t o della]loro intersezione (~).

3. Dimostriamo ora c h e : se Fro, d'ordine m, possiede su ~ u n a vwrietd doppia a di dimensione r - 3 ed ordine s ~ O, le ipersuperfisie G,,, d' ordine n > m, she lungo ~ hanno u n sontatto d'ordine q ~ 1 ~ 1 con F , , , posseggono su ~ u n a varietd doppia ~, di dimensione r - 3 ed ordine

(2) t ~ I m n ( n - - m ) -t- s,

q

she -- al variare di G,, ~ descxive su ~ u n sistema lineare.

Se Hx ~ u n a forma d ' o r d i n e ). s u f f i c i e n t e m e n t e elevato passante per ~ , per quanto visto al p r e c e d e n t e n. 2, esistono due forme Aq~--m e Bq~-n di gradi uguali ai rispettivi indici, p e r cui si abbia i d e n t i c a m e n t e

d i f f e r e n z i a n d o s i o t t i e n e :

A~q_,,,dF,,, -4- t f , ~ d A z q - ~ + Bzq-~dG,, -t- GndBzq-,~ ~ q H q - ~ d H z ,

s e g a 1'$2. P o s t o a n c o r a a -~- A ( ~ o , x t , x 2 , O, ..., 0), b ~ B ( ~ o, x i , x~', O, .... 0 b r i s u l t a p e r l a (1) -

(1') h~ --- a f -l- be.

D e n o t i a m o con ~ il g e n e r e di f , con u t , u~, ..., nu gli i n t e g r a l i a b e l i a n i di p r i m a specie a t t a e e a t i a d f scelti in modo che le c o n d i z i o n i di a l l i n e a m e n t o di m p u n t i P i , P2..., Pm

d i f s i a n o ,n

~1~ uj(P~)-.~O (mod. ~0t,..., ~ ) ( j --~ l, ... , ~), con Uy('f) ed Uj(s) le s o m m e d e i v a l o r i assunti dall' i n t e g r a l e u j r i s p e t t i v a m e n t e n e i p u n t i dei g r u p p i T e d ~. R i s u l t a , a m e n o di m u l t i p l i dei p e r i o d i

q~S(V) --- O, Uy('C)+ Uj(~)---O ( j = l , . . . , ~.),

e q u i n d i q U j ( e ) ~ 0 ( j = 1, ..., ~); sicchb esiste u n a c u r v a be (di e q u a z i o n e b 0 = 0 ) t h e h a o r d i n e q X - n e n o n c o n t i e n e f come parte, le cui i n t e r s e z i o n i con f sono t u t t e assorbite d a i p u n t i de] g r u p p o s ciascuno contato q v o l t e . TJe due c u r v e hq = 0, beg ~ 0 s e g a n o f nello stesso g r u p p o di p u n t i e q u i u d i esiste n e l fascio da esse d e t e r m i n a t o u n a c u r v a eonte- n e n t e f eome~parte,~ossia un p o ] i n o m i o ~ o o, di g r a d e q~ - - m, tale ~che sia hq --~:aef-l- beg ; r i s u l t a | d u n q u e ( a e - a ) f . ~ ( b e - b)g ~ O, od anche (poiehb f e g non h a n n o a l c u n a compo- n e n t e c o m u n e ) : a ~ a e - l - r g, b ~ b e 4 - s f (con r e d s o p p o r t u n e f o r m e ternarie). T~e q u a t t r o c u r v e 1", g, a, b sono allora l~rive di p u n t i c o m u n i perch~ in t a l l condizioni sono ~eerto f~ f/, fro, be ~ (ed a n z i a n c h e f , g, be). M a eib~significa c h e la v a r i e t h F - ~ G = A = ~ - ~ 0 h a d i m e n s i o n e ~ r - 3.

(it) P e r q - ~ l si ha c h e : se F b u n a f o r m a di Sr e ~ b u n a Vr-2 completa i n t e r s e z i o n e di F con un' a l t r a f o r m a dello spazio, o g n i f o r m a p a s s a n t e pet" ~ s e g a u l t e r i o r m e n t e F in u n a v a r i e t ~ ~ ) c h e b a n c o r a la completa i n t e r s e z i o n e di F con u n ' a l t r a f o r m a dello spazio.

D. (~ALLARATI: S u l contatto di superflcle algebriche lunge curve 231 e sulla variet& ~ , nei p u n t i della q u a l e risulta F , . --- (~,, - - H x - - O , si ha

A~q_.,dF~ -t- Bxq-~dG. ~ O,

eib significa t h e aggiungendo alla variettt a (di d i m e n s i o n e r - - 3 ed ordine 1 - m n ( ~ q - m ) ) intersezione di ~ con 1' i p e r s u p e r f i c i e Axq-,,,, la variettL a dei q

punti doppi ehe F.~ possiede su C (nei p u n t i della quale risulta d F m - - 0 ) , si ha la stessa variettt ehe risulta aggiungendo alla varietk ~ (di dimensione r - 3 ed ordine - m n ( ) , q - 1 n)) intersezione d i ~ con B x q - . , la varietit ~ dei

q

p u n t i doppi ehe G,, possiede su ~ (nei punti delia q u a l e risulta d ( ~ , - - - 0 } ; e p p e r t a n t o se s ~ 0, t ~ 0 sono gli ordini d i a e -c deve a v e r s i :

1 1

- mn(),q - - m) -I- s ~ - mnO, q -- n) -I- t,

q q

ossia

s - - t = 1 m n { m - n ) ,

g e cio~ la (2~.

Che le variettt ": deserivano su ~ un sistema lineare, segue subito osser- vando c h e s e G. e G* hanno e n t r a m b e un contatto d' ordine ~ / - 1 con Fm lunge ~, esiste u n a forma A._,,~ p e r cui

Gn ~ G*. -4- FmA,,-m ; e di qui, d i f f e r e n z i a n d o :

dGn ~- dG,* + F ~ d A . _ ~ ~ - A n _ ~ d F ~ ; sulla variel~ ~ si ha d u n q u e :

d Gn ~-- d G* + A n _ ~ d F ~ , e quindi

~ v , - - ~x~- q - A . _ , , , ~--vx, Ck - - 0, 1, .... r), e eib prova q u a n t o si ~ affermato. A1 sistema lineare descritto su ~ dalle variettt ~ appartengono, in partieolare, le variet~t % spezzate in a e nelle varieti~ ), intersezioni di ~ con tutte le forme d' ordine n - m di S t , A,_,,,.

4. Aggiungiamo poehe parole r e l a t i v a m e n t e alle singolarit~ che F,n e G,, posson0 avere su ~.

Se un p u n t o P di ~ ~ h - p l o p e r F , , e k-plo p e r G,,, deve essere n e e e s s a r i a m e n t e h k ~ q, se no ~ a v r e b b e in quel p u n i c una singolaritSt. Se fosse invero hk ~ q, un generieo piano ~ s e g h e r e b b e F,a e G,, in due c u r v e aventi ivi molteplicitit di intersezione ~ q e quindi P a s s o r b i r e b b e pifi d ' u n a delle m n intersezioni di @ con ~, onde s a r e b b e p u n t o m u l t i p l e d i ~. Ed

q

232 D . GALLARATI: S~tl contralto di ,~.pcrfie.ie ~dgebriche bn~go c m ' v e

anzi, u n piano n passante p e r P e generico deve segare Fm e G., in due c u r v e aventi in LO la molteplicit~t di intersezione q.

Notiamo che se q = 2 , o p p u r e q - - - 3 , un punto di ~ t h e sia multiplo p e r Pm (o per G,.) i~ n e c e s s a r i a m e n t e punto semplice di G. (o, rispettiva- mente, di F,,), e p r e c i s a m e n t e :

a) se q - - 2 i p u n t i multipli che ad esempio F , , possiede su ~ sono n e c e s s a r i a m e n t e doppi ;

b) se q---3 i punti multipli che F,. possiede su ~ sono tripli oppure doppi biiperplanari, con uno degli iperpiani t a n g e n t i ad /7,,, coincidente con l ' i p e r p i a n o t a n g e n t e a G . .

Cib premesso, supponiamo che due i p e r s u p e r f i c i e /~'m e G., (con m ~ n) dello spazio S,. abbiano contatto semplice oppure del s e c o n d ' o r d i n e (q--" 2, o p p u r e ~ / - - 3 ) lungo u n a variet~ C di dimensione r - - 2 ed ordine

1 1

~ m n o p p u r e ~ m n priva di singolarit~; sono allora possibili due casi:

a) tf,~ non possiede su ~ u n a variet& doppia ~ di dimensione r - 3, m e n t r e G. possiede su ~ u n a varieti~ doppia • di dimensione r - - 3 ed ordine l m n ( n - - m ) (e quindi n u l l a se m ~ n ) . Tale caso si p r e s e n t a ad esempio q

se ~ ~ la completa intersezione di / 7 ' con u n a forma H~ (ed n - - q v ) e si ha G. ~ H ~ - F m A . _ , , . Ed anzi i~ questo l'unico caso possibile qualora F , , sia affatto priva di singolariti~.

b) Fm possiede su ~ u n a variet~ doppia ~ di dimensione r - 3 ed ordine s; G, possiede allora u n a varietk doppia -~ di dimensione r - - 3 ed ordine t --- 1 m n ( n - m) -I- s. Ma aliora, se si vuole t h e ~ sia priva di singo-

q

lariti~, occorre t h e a e z siano prive di punti a c o m u n e : e cib esige t h e sia r ~ 5 .

D u n q u e il caso di due ipersuperficie F,~ e G, dello spazio S,. che in ogni punto ad esse c o m u n e abbiano un c o n t a t t o del primo o del secondo ordine, e d aventi entrambe cx) "-a p u n t i doppi sulla variet~ di contatto sup- posta priva di singolaritk, non pub certo presentarsi se r ~ 5; ed anzi, se r ~ 5, la varietk di contatto possiede almeno u n a V,_ 6 di punti singolari (~2).

.(12) I n u n a l ~ o t a i n t o r s o di s t a m p a s u g l i * A t t i d e l l ' A e c a d e m i a L i g u r e di S c i e n z e e L e t t e r e ~ (dal t i t o l o : Sulle ipersuperficie cubiche circoscritte ad u n a quadrica), h o a p p r o f o n - dlto lo s t u d i o d e i c o n t a t t i o r d i n a r i t r a d u e f o r m e F e G~ di o r d i n i m = 2 e d n = 3 r i s p e t t i . v a m e n t e , a p l a a r t e n e n t i allo s p a z i o S t , d e t e r m i n a n d o t u t t i i t i p i p r o i e t t i v a m e n t e d i s t i n t i d i f o r m e c u b i c h e di S r c i r c o s c r i t t e a d u n a q u a d r i c a ( a v e n t i ciob con e s s a u n c o n t a t t o s e m p l i e e l u n g o u n a Vat_2) con l a sola i p o t e s i c h e F e G s i a n o e n t r a m b e i r r i d u c i b i l i ( q u a l u n q u e s i a n o le s i n g o l a r i t K e h ' e s s e p o s s e g g a n o s u Vat_2 o f u o r i di Var-~, e c o m u n q u e l a Varr-2 sia sin.

g o l a r e o spezzata) ; e d il r i s u l t a t o b t h e l a V 3 r - . di e o n t a t t o p u b e s s e r e p r i v a di s i n g o l a r i t ~ s o l a m e n t e se ~ r ~ 4 ~ m e n t r e se r : ~ 5 b n e e e s s a r i a m e n t e u n e o n o ; e d a n z i p e r r : : ~ 5 d u e f o r m e / ~ e G a t r a loro t a n g e n t i l u n g o u n a V a r - ~ sono n e e e s s a r i a m e n t e i coni t h e d a u n o s p a z i o S r - ? - i p r o i e t t a n o d u e i p e r s u p e r f i e i e d e l s e c o n d o e d e l t e r z o o r d i n e r i s p e t t i v u m e n t e ,

D. GALLAI~,~TI: ~ul c'ontatto di supcrficic algebriche lu,~go curve 233 5. ]~ facile provare t h e : se tP,,, e G,, sono due ipersuperfi¢ie di o r d i n i m ed n (m ~ n), aventi u n contatto d'ordine q - 1 lunge u n a variet& ~ di dimen.

sione r ~ 2 ed ordine - 1 m n e d aventi s u ~ due v a r i e t ~ doppie ~ e x (r ~ 3)- q

dimensionali, esistono ipersuperfioie d' ordine opportune a ' ~ n aventi u n con.

tatto d'ordine q - - 1 con G,, lunge u n a variet~ ~ ' d'ordine 1 n n ' p a s s a n t e p e r q

Cib si dimostra scrivendo e f f e t t i v a m e n t e le equazioni di ipersuperficie d'ordine n' la cui iatersezione con Q, ~ eostituita da u n a varietk C', passante per x, contata'~/ volte.

Siano A~q__,n, B~q-n, t t z ire forme tall che

(3) Axq--mE~ -4- B~q-nGn --- H~ ,

e consideriamo in S,. le ipersuperfieie (I)n, d' ordine

n ~ - - q ( X + ~ ) - - m

dove t~ ~ u n intero arbitrario, di equazione:

q-1 {q~ ~,q-j-lr_rirq-j a~i q O,

o" ~j} ~"~ ~ , ÷ ~ - ~ , ~ -I-- A q x - ~ M e

ore K,~,_n, Lz+e-~, M~ sono arbitrarie forme il eui grado ~ indicato dal rispettivo indite.

Poieh~ risulta

F , ~ , , , - - G~F,~K,,_, + Zj q F Y - J L q-i _{0 m ~q-9--m} H ~ M ~ _~ ^-- H~M~ + Aq~_,~M~Fm, ossia, tenure eonto della (3):

-~m ffP n, -~ Gn( Kn,-,.~Fm - - M q Bq~-n) -4- ( Hxl~l t~ -l- -FmL).+~-ra) q, e poich~ il sistema

F ~ dg~, G,.-~ K,,,_,F,~ q

se M~ ~ scelta genericamente, possiede al pih o~ '~-~ soluzioni, le forme @,,, hanno an eonta~to d ' o r d i n e q - - 1 con G,, lungo tutta la variet~ ~ ' e h ' e s s e hanno a c o m u n e con G , .

a p p a r t e n e n t i a d u n Sp (con 9 ~_~4), e t r a l o r e t a n g e n t i l u n g e u n a VSp_~, a d eceezione, p e r r ~ 5, d i u n solo case, q u e l l o i n c u i G~ s i a l a va4 r i c o p o r t a d a l l o c o r d e d i u n a s u p e r f i c i e di ~rERONESE ~, e d 1~'.2 sia u n S~-eono il cui v e r t i e e a b u n p i a n o t a n g e n t e di ~, cho si toc- c h i n o l u n g e il c o n e t h e p r o i e t t a z d a l p u n t o di c o n t a t t o con ~.

S a r e b b e i n t e r e s s a n t e a p p r o f o n d i r e il case i n cui m e d n s i a n o q u a l u n q u e ; m a m e n t r e il c a s e m~-~2, n ~ 3 si p r e s e n t a r e l a t i v a m e n t e s e m p l i c e i n v i r t f i d e l l a c i r c o s t a n z a c h e le c o r d e d e l l a v a r i e t ~ d o p p i a di G~ a p p a r t e n g o n o a G3, r i t e n g o c h e il c a s e g e n e r a l e d o v r e b b e p r e s e n t a r e d i f f i c o l t k n o n l i e v i .

Annctli di M a t o m a t i o a 30

234 D. (~ALLAR&'rI: S'ttl co~etatto di superficie algebrichc ltmgo cm'cv

Hotiamo c h e l e (I)., passano semplicemente per "c: infatti questa ~ luogo di punti almeno doppi per G,,K,~,_,,-'-O ed almeno ( q - - 1 ) - p l i per ciascuna delle ipersuperficie

F q - i - l r:riL q-Y .zJt ~. ).+l~.-ra.LuV. ~art __ O,

mentre, data la genericit~ di M~ ~ luogo di punti soltanto semplioi per A q x _ ~ M ~ - - O ; ~ chiaro t h e oib ~ vero anche per q - - 2 , pureh~ anche la forma L~+~--m sia scelta genericamente.

I n modo perfettamente analogo si vede t h e hanno u n contatto d ' o r d i n e q ~ 1 con G. lungo una variet~t ~" passante semplicemenle per z, le iper.

superficie lit,,,, di ordine

n " - - q l ~ + m con F intero arbitrario, di equazione:

W,,, ~ G , R , , , _ , + Ej Aqx--~ Hx V~+~+,,-qx W~ + F,,~ W~ - - O, o j

ore R,,,-n, Vx+~+,--ux, W~ denotano forme arbi~rarie di grado uguale al rispettivo indite. Risulta infatfi, tenuto conto della (3):

Aqz-mWn,, ~ Gn(AqT,-~n.Rn,,-n - - W~Bqx-n) .+ (Aq~-~n Vx+~.+m-q~, "+" Hx W~,) q.

C A P I T O L O II.

6. Passiamo ora a studiare pifi dettagliatamente il caso q---2, r - - - 3 . Sia ]]3 una varieth algebrica a tre dimensioni senza p u n t i doppi, X una superficie canonica (impura) di V3, F e G due superficie algebriche di V~

t h e si tocchino semplicemente lungo u n a curva ~ irriducibile e priva di punti multipli e si seghino ulteriormente lungo u n a curva ~) (eventualmente nulla). Supponiamo t h e F e G abbiano al pifi un numero finRo di punti doppi ordinari di cui s ~ 0 , t ~ 0 giacciano su ~, siano f punti P~ e Qj, costituenti su ~ i gruppi a e ~.

Risulta :

(F~) = 2 ~ + ~ + z P~

onde, segando con ~ :

(su F ) (su e),

( ~ F ) ~ 2 ( ~ % + (eft)) ÷ ~;

ma (B. S. form. 23):

(~')~ ~ ~ e - (e, r ÷ x ) , (~")o ~ Xe - - {~, a + X},

D. GALLARATI: Si~l contatto di superficie algebriche lungo curve 235 e q u i n d i s u ~ :

(4)

~5)

e p p e r c i b :

(~)

_= ( ~ , 2 / r + G + 2 X ) - - 2 x e - - ( ~ ,

@)

- - ~ -= (C, F - - G).

So, in p a r t i c o l a r e , ~ non e s i s t e le (4), (5) d i v e n g o n o :

---- (~, 2G + F + 2X) - - 2 x ~ , e n u m e r a t i v a m e n t e , d e n o t a n d o con p il genl~re di ~ :

1 1 1

p - - - 1 q--~[~, 2 F + G + 2 X ] - - ~ s - - 1 - t - ~ [ ~ , 2 0 + F + 2 X ] . - ~ t .

Se V:~ ~ uno spazio S 3 ed m , u sono gli ordini r i s p e t t i v a m e n t e di F e G, poieh~ [~, X ] - - - 2ran si h a :

(7)

i m n ( 2 m + n - - 8) - - I s.

(8) p --- 1 +

A b b i a m o cost delle eondizioni n e c e s s a r i e p e r il c o n t a t t o s e m p l i c e di F e G l u n g o ~ (che c o n t a t a d u e v o l t e ne e s a u r i s c a l' i n t e r s e z i o n e ) ; d a e s s e si d e d u c e che d e v o n o inoltre e s s e r e v e r i f i c a t e le c o n d i z i o n i :

~9) ran -~ 0 (rood 2) ; (10) m n ( 2 m + n) - - 2s ~ 0 (mod 8) (~3).

7. Se G e G* sono d u e s u p e r f i c i e di V 3 t a n g e n t i ad F l u n g o u n a mede- s i m a c u r v a ~ e ~. "c, ~* sono i g r u p p i dei p u n t i d o p p i che F, G, G* h a n n o su ~ , r i s u l t a su ~ :

e q u i n d i

- - ~* ~

{~,

e p e r t a n t o , se G v a r i a in u n sistema lineare, il gruppo • des~rive s u ~ u n a serie lineare.

(13) D a ci6 si d e d u c o n o d e l l e c o n d i z i o n i n e c e s s a r i e p e r il c o n t a t t o s e m p l l c e d i d u e i p e r s u p e r f i e i e F , . e G~ d e l l o s p a z i o S r l u n g o u n a v a r i e t l t ~ d i d i m e n s i o n e r - 2 e d o r d i n e

1 r a n : i n tal caso d e v o n o a n e o r a e s s e r e v e r i f i e a t e le (7)~ (8), (9), (10) o r e s e t, d e n o t i n o g l i

o r d i n i d e l l e v a r i e t i t a e z di d l m e n s i o n e r - 3 che s o n o d o p p i e p e r F m e p e r G~ r i s p e t t i v a . m e n t e ed a p p a r t e n g o n o a e , e p s i a il g e n e r e d e l l e s e z i o n i s p a z i a l i di ~.

236 D. GAI,LAI~TI: ~$tl contatto di super]icie algebriche hinge curve Se V ~ - S 3 , sin ~, il sistema lineare di dimensione ~:--- / / n - m ~ - 3 |

1 \ 3 /

di tutte le G,, t h e lunge u n a data curva C d ' o r d i n e .~mn e genere

1 !

p : l + ~ m n ( 2 m - ~ - n - - 8 ) - - 4 s toccano s e m p l i c e m e n t e una /7',, avente s nodi su @ (supposto che esistano delle G,, iin simili condizioni, non conte.

nenti F,n come parle), e g~ la serie [ineare descritta su ~ dal gruppo • dei punti doppi che le G,, di ~ posseggono su C.

So Z ' C Z ~ il sistema lineare ~ - i delle s a p e r f i c i e d'ordine n aventi come linen doppia, se Gn ~, una generica superficie di ~v e G~ ), G~ ),..., ~,,~(h~

sono h superfieie di E' l i n e a r m e n t e indipendenti, le superficie di ~ : ),G,~ -t- ),~G~ ) + )~.2G~ } + ... 4- )~G~ ) --- 0

hanno tutte il medesimo g r u p p o z di punti doppi su C ; e sono c~ a. Vice- versa, se esistono ~ a superficie di E aventi su ~ il medesimo gruppo • di nodi e costituenti il sistema ~*, le ~ h - , superficie di Z* che in un punto preso g e n e r i c a m e n t e su ~ toccano un piano distinto dal piano ivi tangente ad Fro, hanno ~ come linen d o p p i a ; d u n q u e : la dimensione delta serie lineare gPt descritta da • s u C ~ esaltamente

eve h denota il m a s s i m o n u m e r o di superfieie d'ordine n, linearmenle i n d i p e n . denti, ehe p a s s a n o doppiamente p e r ~ .

Si pub dimostrare che s e n ~ 4 m - - 8 la deficienza della gPt ~ almeno s - 1.

Siano infatti G~ ) e G~ ) due superficie d ' o r d i n e u aventi ~ come c u r v a d o p p i a ; al fascio da esse individuato a p p a r t i e n e una superficie contenente F , , come parte, e quindi

(11) G~)--- G~ ) -I- 0,,_,,,/;'~

eve 0,_m 6 una superficie di ordine n - - m p a s s a n t e p e r (~; viceversa se G~ ) ha ~ come linen doppia e 0,_,n passa per C, la superficie G~ ) fornita dalla (11) passa d o p p i a m e n t e per C ; ed anzi la (11), una volta fissata G~ ), fornisce tulle le superficie d~ordine J~ aventi ~ come linen doppia. Sono quindi possibili due casi:

a} esiste una G~ ) passante d o p p i a m e n t e per ~ e non contenente F , . come p a r l e ; allora h ~ k + 1, dove k denota il massimo n u m e r o delle super- ficie d ' o r d i n e u - - m l i n e a r m e n t e indipendenti passanti per C ;

b) non esiste una G(~ ) s i f f a t t a ; allora h - - k .

L a serie lineare segata su C dalle superficie d ' o r d i n e n - ,m ha ordine t - - s e dimensione k o == ~ -- k - - 1 ; se n > 4 m - - 8 essa ~ certo non speciale

"( poich~ t -- s - - ~ m n ( n - - m) > ~ 1 l m n ( 2 m + n ~ 8 ) > 2 £ o - - 2 ) - _ , e p e r t a n t o : k o - ~ - - k - - l ~ t - - s - - p ,

D. GALI~,~R~T~: Sul contatto di super]icie algebriche lu~go curve 237

il s e e o n d o m e m b r o e s s e n d o la d i m e n s i o n e d e l l a s e r i e e o m p l e t a e u i g~0_~ a p p a r - t i e n e . Si o t t i e n e d a eib

k ~ - - t + s - t - p - - 1 ,

e p e r t a n t o n e l p r i m o e a s e r i s u l t a h ~ 8 - t - ~ - s - ~ - p e q u i n d i

~ - - h ~ t - - s - - p , e nel s e e o n d o c a s e h ~ ~ - t - ~ - s - b - p - 1 e q u i n d i

y - - ~ - - h ~ t - - s - - p + l.

D ' a l t r a p a r t e a n e h e la s e r i e g~ ~ n o n s p e e i a l e e q u i n d i la d i m e n s i o n e d e l i a s e r i e e o m p l e t a e u i essa a p p a r t i e n e ~ t - - p ; s e g u e a l l o r a c h e l a deft- e i e n z a d e l i a g~ i~ a l m e n o . u - 1 (ed anzi, "nel p r i m o e a s e ~ a l m e n o .,~).

8. S i a F m u n a s u p e r f i c i e d ' o r d i n e m di S~ p a s s a n t e s e m p l i c e m e n t e p e r u n a e u r v a ~ di o r d i n e h e g e n e r e ~, ed a v e n t e s n o d i su ~ ; r e l a t i v a m e n t e ad e s s a s t a b i l i a m o il s e g u e n t e lemma:

Se E ~ il sistema lineare delle superficie K di ordine k passanti semplice.

d~ente per ~, il numero delle condizioni (lineari) da imporre ad u n a K di E affinoh~ tooohi semplicemente Fm lunge ~ ~ al pii~

~--- h(m -}- k -- 4) - - 2(T: - - 1) - s + 1.

P e r d i m o s t r a r l o , c o n s i d e r i a m o in u n a V 3 a l g e b r i e a su eui si f a e e i a n o le s t e s s e i p o t e s i del n. 6 d u e s u p e r f i c i e F e K i r r i d u e i b i l i a v e n t i a c o m u n e u n a c u r v a ~ i r r i d u e i b i l e e p r i v a di p u n t i m u l t i p l i , e s e g a n t i s i u l t e r i o r m e n t e l u n g e u n a e u r v a ~{; s u p p o n i a m o d a p p r i m a e h e F e K n o n a b b i a n o p u n t i m u l t i p l i s u ~.

I p u n t i di ~ in e u i F e K si t o e e a n o sono o v v i a m e n t e i p u n t i del g r u p p o ( ~ ) . D ' a l t r a p a r t e (B. S. f o r m . 27) s u s s i s t e l ' e q u i v a l e n z a

_ - - F + K + X ) - -

e q u i n d i F e K si toccano in

(12) z - - [$, F + K + X ] - - 2(• - - 1)

p u n t i di ~. Se poi F e K p o s s e g g o n o r i s p e t t i v a m e n t e . , ~ 0 e v ~ 0 p u n t i d o p p i o r d i n a r i su $, in l u o g o d e l l a (12) si h a :

(13) z --" [~, F + K + X ] - - 2(u - - 1) - - (s -~- v).

In p a r t i c o l a r e , q u a n d o V 3 ~ S~ r i s u l t a :

(14) z := h(m + k - 4} - - 2(= - - 1) - - (s -~ v) (~'),

(t,) La (14) si pub dimostrare elementarmente come' segue : la prima polare F' rispetto ad F di un punto 0 generico dello spazio, sega ~ in h(m-- 1) punti di cui s formano il gruppo ~ dei punti doppi di ~' su ~ ed a ~--h(m- 1) - s costituiscono il gruppo u dei punti

238 D. G ~ r , L ~ T t : SUl c o n t a t t o di super~icie algebriche lungo carve

e e o n d i z i o n e a f f i n c h b F e K si t o c c h i n o in i n f i n i t i p u n t i di ~, e q u i n d i p o i c h ~ ~ ~ i r r i d u c i b i l e e s e m p l i c e p e r e n t r a m b e le s u p e r f i c i e , c o n d i z i o n e affinch/~ si t o c c h i n o l u n g o ~ /~ c h e esse si t o c c h i n o in

+ 1 " - h ( m + k - - 4) - - 2(7r - - 1) - - (s + v) + 1

p u n t i di $. F i s s a t i s u ~ @ p u n t i g e n e r i c i le condi~,ioni d a i m p o r r e ad u n a s u p e r f i c i e gik p a s s a n t e p e r ~ p e r e h b in t a l i p u n f i t o c c h i F m ( a n e h ' e s s a pas- s a n t e p e r ~) sono a l pii~ ~, t u t t e l i n e a r i , e con eib il l e m m a ~ p r o v a t o .

N o f i a m 5 t h e se la c u r v a ~ , r e s i d u a interse~,ione di F e K , s i s u p p o n e p r i v a di s i n g o l a r i t ~ si ha, i n s i e m e a l i a (13):

z -~ [ ~ , F + K + X ] - - 2(g - - 1) - - (s + v), o r e g d e u o t a il g e n e r e di

g =

0 5 ) g =

~ , e q u i n d i

l [ ~ - - g , F + K + X ] + %

1 ( i n k - - 2 h ) ( m + n - - ~) + u .

9. Cib p r e m e s s o , c o n s i d e r i a m o in S 8 u n a s u p e r f i c i e / 7 , , d ' o r d i n e m , a v e n t e s o l t a n t o nodi, e su di essa u n a c u r v a i r r i d u c i b i l e ~ di o r d i n e ~ m n 1 e g e n e r e

1 s

p - - 1 + ~ m n ( 2 m + n - - 8) 4 ;

s u p p o n i a m o i n o l t r e t h e ~ sia p r i v a di singolarit/~ e t h e p a s s i p e r s ~ 0 n o d i di Fro.

d i ~ o r e il p i a n o t a n g e n t e a d F p a s s a p e r 0 ; a n a l o g a m e n t e , l a p r i m a p o l a r e K ~ di 0 r i s p e t t o a K s e g a ~ i n h ( k - 1 ) p u n t i eli cui b = h ( k - 1 ) - v c o s t i t u i s c o n o il g r u p p o ~ dei p u n t i di ~ o r e il p i a n o t a n g e n t e a K p a s s a p e r 0. Q u a n d o 0 d e s e r i v e u n a r e i t a ~', ~¢ e d e s c r i v o n o s u ~ d u e s e r i e ! i n e a r i ga I e gb I i r a loro p r o i e t t i v e , e d i c e n d o o m o l o g h i d u e p u n t i d i ~ q u a n d o a p p a r t e n g o n o a d u e g r u p p i o m o l o g h i di t a l l serie, si o t t i e n e s u ~ u n a eorri- s p o n d e n z a a l g e b r i c a d i i n d i e i (a, b) ]a eui v a l e n z a ~ m a n i f e s t a m e n t e ze~'o. I p u n t i u n i t i i n t a l e c o r r i s p o n d e n z a s o n o a l l o r a a + b, e se P ~ u n o di essi i p i a n i t a n g e n t i i n xP a d • e K s e g a n o s u r lo s t e s s o p u n t o O, e d o v e n d o e n t r a m b i c o n t e n e r e l a t a n g e n t e i n P a d ~, se q u e s t a n o n ~ i n e i d e n t e a d r coincidono. P o i c h b il t a n g o di ~ ~ 2(h + 7: - - 1) si h a :

z ~ a + b - 2 ( h - I - - ~ l ) - - - h ( m - - 1 ) - - s + h ( k - - 1 ) - - v - - 2 ( h ~ ' - - : ~ - - l ) ~--- h(m + k - - 4 ) - - 2 ( ~ - - 1 ) - - (s+v).

I n p a r t i e o l a r e , se F e K n o n si t o c c a n o i n a l e u n p u n t o d i ~ (e ciob se z --- 0), il g e n e r e di

h. 1

~z~---1-~-~._ (m + k - - 4 ) - ~/~s+ v) (formula ben nota nel easo che ~ sia la completa inter- sezione di F con K). Una selnplice conseguenza di tale fatto ~ ehe se per una eurva passano due superfieie F e K, i cui ordini siano uno pari ed uno dispari, ehe siano entrambe prive di punti doppi su ~ e ehe non si toeehino in aleun punto di ~, l'ordine di ~ b neces- sariamente pa~'i.

I3. GAL~ARA'rI: Sul v o n t a t t o di s u p c r f i c i e a l g v b r i c h e l u n g e c u r v e 239 Se m ~ n , e ~ non ~ la completa intersezione di /~',,~ con u n ' a l t r a superficie dollo spazio, t e superficie diverse da It'., che passano per ~ h a n n o

(-;)( o)

ordine non inferiore a v + 1, eve v - - E p a r t e intera di ~ ; se giv~ ~ la serie lineare segata su ~ dalle superficie //,~+~ d ' o r d i n e v + l (con l ~ 1), risulta

1

l+3--n.),.\ i ( v + l , ( v + l - - m + 4 ) + / \ ( m 3 1 - - )

R t = • 3 / - - \ 3 -- ~ t - - l ' - 2 - - a t ,

dove et denota il massimo n u m e r o di H~_~ l i n e a r m e n t e indipendenti passanti per ~ e non contenenti F,,, come parte. Se i~ ~ 1' indice di specialittL delia g~l si ha allora

1 1

Rt ~ ~ m n ( v + l) - - 1 - - ~ m n ( 2 m + n - - 8) + 71+ i ~ , s

e eio~ :

(16) % ~ ( m - - 1 ) 1 s .

3 + ~ m ~ ( p t - - m + 4 ) + 1 - - 7~ - - * t ,

eve, per brevit'~, si ~ posto

~ z - - v + / - - ~ n 1 (e quindi 0 ~ l - - 1 < Pt ~ 1).

Se risulta ~ t ~ 1, le H~+t passanti per ~ e non c o n t e n e n t i Fm come parte costituiscono un sistema lineare Zt o°~-z, segante su F r o , fuori di ~, u n sistema, lineare ~,~*, a n c h ' e s s o di dimensione z t - - 1 , di curve ~ il cui ordine h t ed il cui g e n e r e r: t sono:

(17) hz = m{v + l) - - 2 m n - - rapt 1

(18)

1 ¹

m(v 4 - 1 - - n ) { m + v + l - - 4) + 8 m n ( 2 m + n - - 8) + l - - - - -

7 g t - - - "

1 s

- - ~mPz(Pz + m - - 4 ) + 1 - - ~ ,

8

4 - -

e poich~ ~ ~ priva di singolariti~, le curve 6 passano per gli S nodi che F . , possiede su ~.

P e r peter coneludere che ~ b la c u r v a di eontatto di Fm con u n a G . , o c c o r r e e b a s t a vedere se u n a delle curve 6 di Ez* ~ e u r v a di contatto di F , . con u n a superfieie B2o~, di ordine 2•t.

240 D. GALLARATI" ~'t~l contatto di supcrficlc algcbrichc lungo cur c(~

Consideriamo allora il sistema algebrico ~! delle superficie B2p~ che non eontengono come parte Fm e che passano per una almeno delle ~ : esso si compone di ¢x~-1 sistemi lineari, ciascuno dei quali ~ la totalith delle B~e~

che non contengono come parte F,n, e che passano per u n a data delle ~ ; ed ogni superficie di Zt pub al pitt a p p a r t e n e r e a due di tali sistemi lineari, onde se ~ 0 1 _ 1 ~ la dimensione di uno di essi, e Xt ~ quella di Z~ risulta

X~ ~ ¢~ -4- ~t ° ) - 2 ; R~°l

d ' a l t r a parte se g~vto ) ~ la serie lineare segata su u n a delle ~ da tutte le superficie d' or(line 2~t dello spazio, risulta

N~ °) "-- 2rap 2 Rt°)-- m p t ( 2 p t - m -t- 4 ) - t - ( m 3 1 ) _ e~o,

e quindi

denota l' indiee di specialit~t della g:~)).

o r e

Le eondizioni da imporre ad u n a superficie di uno dei sistemi lineari di cui Z t si compone per toccare Fm lungo la relativa e u r v a ~, per il lemma, sono al pitt

@t --- m ~ ( 2 p t --I- m - - 4) - - 2(~:t - - 1) -- s + 1 - - mp~ - - ~ + l , S

e p e r t a n t o qualche superficie di Z~ i~ tangente ad F,. lungo u n a delle curve qualora risulti

(19) Xt = ~ "}- ~ol __ 2 ~ @t-

Notiamo ehe se l ~ m - 3 si ha Pt ~ m - - 4 e quindi

1 s 1 s s

1 mn(v -t- l) - - ~ m n ( 2 m 4- n - - 8) -t- ~ " - - ~ m n ( p t - - m - t - 4 ) - i - ~ ~ ~ 0

2v, -2p+2=fi

8 8 8

N ~ o l - 2u, -I- 2 - - 2mp~ - - mpt(p~ -t- m - - 4) -I- ~ - - mp,(~ - - m ÷ 4) + ~ > ~ ~_ O,

onde ,~----i~ °) - - O , sicch~ se 1 ~ m - 3 la (19) ~ certo verificata se (20) 2 ( m - - 11 _ mp~{m - - 4) ~ 1.

3

\ /

D. GALLARATI: ~ # l co~tatto di superficic algebriche b~,ngo curve 241

l~ subito visto t h e tale condizione ~ s e m p r e s o d d i s f a t l a p e r m < 4 (nel q u a l caso si h a s e m p r e l ~ m - - 3 ) ; ma, corn'6 f a c i l e v e r i f i c a r e , n o n v a l e pifi p e r m ~ 5. Si pub d u n q n e e o n c l u d e r e con il s e g u e n t e

T E O R E ~ A . - S e F," ~ u n a superficie d ' o r d i n e m ~ 4 apl~artenente allo spazio o r d i n a r i o e d o t a t a s o l a m e n t e di nodi, e se ~ ~ u n a c u r v a d ' o r d i n e ~ m n 1 (con n ~ m ) tracciata s u Fro, p r i v a di s i n g o l a r i t d , p a s s a n t e p e r s ~ 0 n o d i di F , , ed avente genera p ~--- 1 + ~ m n ( 2 m + n - - 1 8) - - i s, esiste u n s i s t e m a li-

n e a r e di d i m e n s i o n e ( n - - m 3 + 3) d i superficie d ' o r d i n e n a v e n t i con F , . u n contatto semplice l u n g o ~ .

I n p a r i i c o l a r e s e m = 4 ed F , , ~ u n a /7' 4 di KUM~ER a m o d u l i g e n e r a l i , poich~ o g n i c u r v a a l g e b r i e a ~ di t a l e /~4 h a o r d i n e p a r i 2at e g e n e r e _ s (ore s ~ 0 ~ il n u m e r o dei n o d i di F~ g i a c e n t i su ~), si P - " 1 + 2 n ~

r i t r o v a il n o t o T e o r e m a di G. H U ~ E ~ secondo cui ogni c u r v a a l g e b r i c a a p p a r t e n e n t e ad u n a / ~ di KV~i~ER ~ la c u r v a di c o n t a t t o di F~ con u n ' a l - t r a s u p e r f i c i e t h e n o n saga pifi u l t e r i o r m e n t e F 4 (~).

10. E f a c i l e p r o v a r e t h e se s u u n a F , , esiste u n a c u r v a ~ di o r d i n e

1 1 s

m n e genere p - - 1 + ~ m n ( 2 m + n - - 8) - - ~ p r i v a d i s i n g o l a r i t 4 e p a s s a n t e p e r s n o d i di F , , , l u n g o la quale tf,~ s i a toccata d a u n a G, con n > 2m - - 8 (,6),

d i curve a n a l o g h e a l l a ~ n e esiste tutto u n s i s t e m a lineare la cui d i m e n s i o n e ( ° _ 1)

n o n m i n o r e di p - - ~ m n ( m - 4 ) + .q- - - 1 .

S i a i n v e r o 6 la r e s i d u a i n t e r s e z i o n e di /7',. con u n a s u p e r f i c i e Hv+z pas- s a n t a p e r ~ ; se n > 2 m - - 8, l a a R~ s e g a t a s u 6 d a l l e s u p e r f i c i e d ' o r d i n e v + l dello spazio, b certo n o n s p e c i a l e poich6 r i s u l t a

1 8 8

N{ ~ - - 27:z -t- 2 -= 2 m p , ( n - - 2 m + 8} + ~ > ~ ~ O,

e se ~l* ~ ii n u m e r o d e l l e H~+l l i n e a r m e n t e i n d i p e n d e n t i p a s s a n t i p e r ~ e n o n c o n t e n e n t i F , , c o m e p a r l e , r i s u l t a con f a c i l e c a l c o l o :

1 (o_1)

¢~ ~ p - - 2 m n ( m - - 4) + 3 ;

(15) G-r, HUMBERT, Thdorie gdndrale des surfaces hyperelliptiques, ,, Journ. Math. pures et appliqudes ~, 4, (1883), pp. 29-170. e pp. 361.475.

(is) S i noti chese n ~ m la c o n d i z i o n e n > 2 m - - 8 b certo soddisfatta se ~ m < 8.

Annali di Matematica 31

242 D. GALLARATI: ~ttl e'onJailo di .~,pcrfieie algeb~'iehe h m g o ('u rye

e cib, poieh~ le ~ * - t H~÷~ passanti per ~ segano su Fm altrettante curve che sono nelle m e d e s i m e condizioni di ~ (e tra le quali c'~ la C stessa), prova quanto si i~ affermato.

Se poi si tien conto che lungo c i a s c u n a delle curve ~, F , , ~ toccata da tutte le G,, di u n ' s i s t e m a lineare di dimensione ( n -- m -b- 3) 3 . e che due divei~se

\

dknno luogo a due sistemi lineari t h e non possono avere a l e u n a superficie in comuue, si conclude t h e se esiste u n a c u r v a ~ nelle condizioni suddette, F m ~ l' i n v i l u p p o di u n s i s t e m a algebrico di G,, la cui d i m e n s i o n e ~ a l m e n o

( ) ( ) ,

p - - 21mn(m - - 4) + m--3 1 + n - - m 3 4 - 3 _ l = P . - - 2 m n ~ + 3 - - 2 , o i a s c u n a delle q u a l i tocca F , , lungo u n a c u r v a che h a lo stesso ordine e lo stesso genere della C e ohe p a s s a p e r gli s n o d i the F , , possiede s u ~.

C A P I T O L 0 III,

11. Le superficie dello spazio ordinario circoseritte ad u n a F 2 oppure ad u n a F3, sono state studiate completa'mente da L. GODEAUX; conviene tuttavia a g g i u n g e r e alcune osservazioni.

P e r m = 2 le (71, (81, tl0), porgono

t - - s = n ( n - - 2)

(21) p = ~ (n - 2) ~ 4

s --- n ~ (rood4).

Distinguiamo due easi, a seconda della parit'h d i n :

a) ~ , = 2 v . R i s a l t a s = 0 (mod4), e quindi s = 0 , p---- (v - - 1 ) : . E ben noto ehe u n a c u r v a d'ordine 2v a p p a r t e n e n t e ad u n a F~ non specializzata ed avente il genere p ~---(v- 1) ~ ~ la completa intersezione di F~ con u n a super- ficie d ' o r d i n e v.

b) , , - - 2 v + 1 . Risulta s ~ - I (mod4), e quindi s - - I e p---v(v--1).

Poich~ (cfr. n. 9) ~l ~ 1, la curva C appartiene a qualche superfieie d'ordine v 4- 1 segante a n c o r a / ~ secondo u n a generatrice. Sia H~+l u n a di tall super- ficie ed ~ la g e n e r a t r i c e di F 2 che appartiene ad H~+l; se G~+~ b u n a superficie t a n g e n t e ad F 2 lungo ~, B~ il piano t a n g e n t e ad F~ [ungo la retta ~, T~ u n altro piano passante p e r ~, ed St il piano t a n g e n t e ad F~ lungo la r e t t a r e s i d u a intersezione di /P~ con TL, esiste u n a forma A~ per eui

(22) G ~ + I B , =---- F~A,~ + H ~ l .

D ' a l t r a parte si pub supporre F~ ~ T ~ - - B ~ S , ed inoltre (poich6 H~+, passa per ~) esistono due forme ¢~ e ~,~ d ' o r d i n e v tall t h e

H~+i = ~ B ~ + ~ T , ;

D. GALLARATI: Sttl con.tatto di ,~upe.r]ieie al!tebriche lunge curve 243 la (22) diviene p e r t a n t o :

e cib implica l ' e s i s t e n z a d ' u n a M2~-i tale ehe A,~ ~ M.~_,B~ - - ~ , e quindi

G~÷t =-- M2~-~F2 -+- ~ B~ + + ~ S,.

P e r ~r~----3 le (7), (8), (9), (10), forniseono : n -~ 2v

I s ~ - 0 (rood4) (e quindi s----0, 4)

(23)

! P - - 2 3 v ( v - - 1 ) - - 4 s + 1.

Se s----0, ~ ~ n e e e s s a r i a m e n t e intersezione completa di F 3 con u n a H~:

invero ~ ha ordine 3v e genere p --- 1 + ~ v(v - - 1) e la serie segata su di essa 3 dalle H~ ~ n o n speciale (perch~ 3v ~ > 3v(v -- 1) ~ 2p - - 2). Detto allora ~0 il massimo n u m e r o di forme H~, l i n e a r m e n t e indipendenti, passanti per ~ e non eontenenti F~ come parte, r i s u l t a :

3 - - - - ~° - - 1 ~ 3v ~ - ~ v ( v - 1 ) - - 1 onde % ~ 1.

Sia era s - - 4 : @, d ' o r d i n e 3v e genere 3 ~ ) v ( v - ^{1 ) , ~} la r e s i d u a interso.

zione di F~ con una H~+l passante per una c u b i c a s g h e m b a ~ di F s ; infatti le H ~ . t segano su @ una serie non speciale e se ~ ~ il n u m e r o delle H~+~

passanti per @ e non contenenti F~ come parte, si ha ~ ~ 3. Inoltre, poieh~

deve passare s e m p l i e e m e n t e per i quattro nodi di F3, la e u b i c a ~ p a s s a per tali punti, e si vede faeilmente che tra gli ~ t o n i quadrici t h e conten- gone ~ ce n'~ uno ed uno solo tangente ad F s lunge ~.

Si pub s u p p o r r e ehe ~ sia luogo del punto (1, t 3, t ~, t) e ehe l'equazione

~t ~-~-~t ~ + Y P + ~ t + I - - - O

fornisca i quattro valori di t corrispondenti ai quattro nodi di F~ (essendo a, l~, % ~ n u m e r i complessi a r b i t r a r i ) ; ed inoltre ehe il cone quadrieo tan- genre a(i F~ lunge ~ abbia l ' e q u a z i o n e :

B 2 ~ x t ~ ¢ 3 - - x . z - - O . 2

244 D. GALLARATI: S u l co~ttatto di s u p e r f i c i e a l g e b f l c h e l u n g o cu.rve Si vede allora senza difficolt~t che l ' e q u a z i o n e di F s risulta

F 3 - - L i B ~ -I- f~3 - - 0 o r e si b posto:

8 O. o

U n a g e n e r i c a superficie d ' o r d i n e v 4- 1 passante per ~ pub scriversi R~_.. F~ + ~ - l B ~ + ~ _ ~ o , - - O,

o r e to~ ~_ x~ ~ a~0a: ~ ed R~_~, ~ _ ~ , q/,~_~ sono a r b i t r a r i e forme di g r a d o u g u a l e al rispettivo indice, e ~ risulta quindi ulteriore intersezione di F 3 con u n a

superfieie

H~+l ~ %-lB~ -4- d/~_lt% - - 0, passante per ~.

Sia ora G~ u n a superfieie tangente ad Fa lungo ~ : esiste una forma A,~-i p e r cui

G,~B, - - F 3 A , ~ _ I + H ~ _ , , ossia

Z 2

(24) G,~B, = F 3 A , ~ _ t + B ~ ( % _ , B ~ + 2%_,4/~_~o..) + ~,~_,to,.

D ' a l t r a parte sussiste l ' i d e n t i t ~ di i m m e d i a t a v e r i f i e a : Z3B' s ~-- lz3L, ^"-I- a:~)B~ + o"~

e quindi la (24) ridueesi a l l a :

2 2 2 2

e cib implica l'esistenza d ' u n a forma M2~-3 tale ehe

A ~ _ , ~- M ~ - s B ~ 2

Risulta allora :

2 2 $

G,~ ~ M,~_tF., + "¢~_,B~ + 2~0~_,~p~_,to, - - ( x s L , + a:op]~_,.

12, Oeeupiamoei ora di superfieie eireoseritte ad u u a superfieie del q u a r t ' o r d i n e F ~ , a p p a r t e n e n t e allo spazio ordinario.

P e r m - - 4 le (7), (8), (10) porgono :

t - - 2 n ( n - - 4) + s

i 1 n~ 1

(25) ] p = 1 + ~ - - ~ s

[ s - - 2 n ~ (rood 4),