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(1)

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA PROVA SCRITTA DEL 20 SETTEMBRE 2005

1) Calcolare l’area della superficie S definita da − → r (u, v) = √

2u − → i − v − → j + [

23

u

3/2

− v] − →

k , 0 ≤ u ≤ 2 − v, 0 ≤ v ≤ 2.

2) Calcolare l’integrale triplo Z Z Z

T

(xyz

2

) dxdydz dove T = {(x, y, z) ∈ R

3

: 0 ≤ x ≤ 1 ; x

2

≤ y ≤ 1 ; −1 ≤ z ≤ 1}.

3) Si consideri la successione {f

n

}

n>0

con

f

n

(x) = log x 1 + (log x)

2n

in ]0, +∞[ e se ne studi la convergenza puntuale. Si studi anche la convergenza uniforme in ]e, +∞[.

4) Sia k ∈ Z. Si consideri la serie di funzioni

X

∞ n=1

x

kn

n2

n

;

si determini l’insieme di convergenza I

k

nei casi, rispettivamente, k ∈ Z

+

, k = 0 e k ∈ Z

−

. In ciascuno dei casi precedenti si calcoli la somma della serie in I

k

.

5) Calcolare la soluzione y(t) del seguente problema di Cauchy:

½ y

00

−

1t

y

0

= −4t

2

sin t

2

, y( √

π) = 3, y

0

( √

π) = −2 √ π.

6) Sia α ∈ R. Si consideri il seguente problema di Cauchy

½ y

0

= t(arctan y

2

− 1) y(0) = α.

1. Studiare esistenza ed unicit`a locali e globali R.

2. La soluzione u `e pari o dispari?

3. Determinare per quali valori di α esistono soluzioni u costanti.

4. Studiare il segno di u

0

.

5. Calcolare, al variare di α, lim

t→−∞

u(t) e lim

t→+∞

u(t).

Tempo a disposizione: 2 ore.

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