Simmetrie assiali
Definizione - Si chiama simmetria assiale ogni isometria che trasforma un punto P nel punto P' simmetrico di P rispetto ad una retta prefissata, detta asse di simmetria.
P Q
Q' P'
Ne segue che l'asse di simmetria è il luogo di punti uniti, inoltre punti corrispondenti sono equidistanti dall'asse.
Simmetria rispetto alla retta s di equazione x = k.
Sia s una retta parallela all'asse y e P'(x',y') il simmetrico di P(x,y) rispetto alla retta s
Osservando il grafico si ha
y :
y = y' P P0 P'
O x x = k
y'= y
essendo P0 il punto medio di PP' si ha
0 0
' 2 ' x x
x dove x k
y y
= +
=
=
e quindi
x k x
y' y A
'= − det
=
2 = −
1
Se k = 0 si ha la simmetria rispetto all'asse y di equazioni
x x
y' y A
'= − det
=
= −1
Simmetria rispetto alla retta r di equazione y = h
Dal grafico si ha y
P y = h P0 P'
O x = x' x
dovey h
x x
y y y
=
=
= +
0 0
'
2 '
e quindi x x
y' h y A
'= det
= −
= −
2 1
Se h = 0 si ha la simmetria rispetto all'asse x che ha equazioni :
y y
x' x A
'= − det
=
= −1
Simmetria rispetto alla bisettrice y = x
Si dice simmetria assiale di asse la retta y = x l'isometria di equazione x y
y' x A
'= det
=
= −1
come è facile osservare dal grafico.
y
y P y = x
y' P'
O x x' x
Simmetria rispetto alla bisettrice y= −x
Si dice simmetria assiale di asse la retta y = −x l'isometria di equazione
x y
y' x A
'= − det
= −
= −1
y P y P0
P' y'
-x' -x x y = - x
Simmetria rispetto alla retta r : y = m x + q y
P y = m x + q M
P'
O x
osserviamo che due punti P(x, y) e P'(x',y') sono simmetrici rispetto alla retta r se si verificano le seguenti condizioni :
• il punto M21(x+x' ;) 12
(
y+y')
∈r• P e P' appartengono alla retta perpendicolare ad r.
Queste condizioni si traducono nelle equazioni :
( )
1 2
1 2 1
y y m x x q
y y
x x m
+ = ⋅ + +
−
− = −
' ( ' )
' '
Risolvendo il sistema rispetto a x', y', si ottengono le equazioni della simmetria rispetto alla retta r.
x m
m x m
m y mq
'= − m
+ +
+ −
+ 1
1
2 1
2 1
2
2 2 2
2 2
2
2 1
2 1
1 1
' 2
m y q
m x m m y m
+ + +
− −
= +
Come caso particolare si possono, da questa, ricavare le simmetrie rispetto alle bisettrici degli assi.
Simmetria centrale o equinversione
Si dice simmetria centrale di centro C la trasformazione di R2 in se stesso che porta C in C e che ad ogni punto P∈R2 diverso da C, associa il punto P'∈R2 tale che C sia il punto medio del segmento PP'.
Se C x( 0,y0) P x y( , ) P x y( ' , ' ) si ha
y
P'(y',x')
C x( 0,y0) P(x,y)
O x
ϕ:
' ' x x
x y y
y + = + =
2 2
0
0
da cui si ottiene
x x x
y' y y A
'= − det
= −
2 =
2 0 1
0
che rappresenta una simmetria centrale di centro C che è l'unico punto unito della trasformazione.
Osservazione
Affinché si abbia una simmetria centrale i vettori AB e A' B'devono essere paralleli.
Se x0 = y0 = 0 si ottiene la simmetria rispetto all'origine.
Per verificare se due curve : Γ:y= f x( ) e Γ' :y= f x1( ) possiedono un centro di simmetria C x( 0,y0) si pone nella equazione y= f x1( ) al posto di x 2x0-x ed al posto di y 2y0-y e si uguaglia la funzione ottenuta alla f (x) data.
Successivamente , mediante il principio di identità dei polinomi si ricavano i valori di h e k che soddisfano il sistema.
Omografie
Consideriamo il completamento proiettivo P dello spazio affine E con l’aggiunta dei punti impropri delle rette di E .
Si dice omografia di P ogni trasformazione biiettiva che trasforma rette proiettive in rette proiettive. La sua equazione è:
+ +
=
+ +
=
+ +
=
3 33 2 32 1 31 ' 3
3 23 2 22 1 21 ' 2
3 13 2 12 1 11 ' 1
x a x a x a x
x a x a x a x
x a x a x a x
ρ ρ ρ
ρ≠0 detA≠0
Affinché si abbia un punto unito si dovrà sostituire x1' con x1 ecc.
Il sistema omogeneo associato deve ammettere soluzioni non nulle, per cui risulta necessario e sufficiente che si annulli il determinante dei coefficienti del sistema
0
33 32
31
23 22
21
13 12
11
=
−
−
−
ρ ρ
ρ
a a
a
a a
a
a a
a
che dicesi equazione caratteristica dell’omografia e ammette tre radici (x1,x2,x3) in generale distinte delle quali nessuna risulta nulla altrimenti sarebbe nullo il determinante
aij che è escluso aij ≠0 Prodotto di affinità Siano
ϕ: X b x b y r Y b x b y s
= + +
= + +
11 12
21 22
(1) e
ψ : ' '
x a x a y p y a x a y q
= + +
= + +
11 12
21 22
(2)
due affinità del piano in sé, si ha la
Definizione - Si dice prodotto operatorio o semplicemente prodotto di ψ e ϕ e si scrive ϕ ψD
l'affinità δ che si ottiene applicando prima ψ e poi ϕ
δ: ( ) ( )
( ) ( )
X b a x a y p b a x a y q r Y b a x a y p b a x a y q s
= + + + + + +
= + + + + + +
11 11 12 12 21 22
21 11 12 22 21 22
δ: ( ) ( )
( ) ( )
X b a b a x b a b a y b p b r Y b a b a x b a b a y b p b q s
= + + + + + +
= + + + + + +
11 11 12 21 11 12 12 22 11 12
21 11 22 21 21 12 22 22 21 22
posto
b p b11 + 12 + =r e b p b q21 + 22 + =s f avremo
δ: ( ) ( )
( ) ( )
X b a b a x b a b a y e Y b a b a x b a b a y f
= + + + +
= + + + +
11 11 12 21 11 12 12 22
21 11 22 21 21 12 22 22
Si può provare facilmente che
a) il prodotto di due affinità è un'affinità, per cui l'insieme A delle affinità è chiuso rispetto all'operazione D
b) l'operazione D è associativa ϕ ψ δD( D )=(ϕ ψ δD )D
c) ∀ ∈ϕ A ∃ un'affinità I ∈A tale che IDϕ ϕ= DI =ϕ
d)∀ ∈ϕ A, ∃!ϕ −1∈A:ϕ ϕD −1=ϕ −1Dϕ =I Poiché
ϕ Dψ ψ ϕ≠ D
Il prodotto di affinità non è commutativo.
Pertanto la struttura ( , )A D è un gruppo non commutativo.
Le affinità formano un gruppo rispetto al prodotto di trasformazioni avente come sottogruppo il ,gruppo delle similitudini e quindi il gruppo delle isometrie.
Si ha quindi il grafo
Affinità (geometria affine) Similitudini
(geometria simile gruppo non abeliano) Isometrie (geometria euclidea) Rotomotetie (gruppo abeliano) Traslazioni Rotazioni Omotetie
(abeliano) (abeliano) (abeliano)
CAMBIAMENTO DI RIFERIMENTO
Rototraslazione
Per determinare le coordinate del punto P(x, y) rispetto ad un nuovo sistema di riferimento O x y' ' ' rototraslato rispetto ad O x y, faremo uso delle formule :
'cos 'sen ' ( ) cos ( ) sen
e, viceversa
'sen 'cos ' ( ) sen ( ) cos
x x y a x x a y b
y x y b y x a y b
α α α α
α α α α
= − + = − + −
= + + = − − + −
che si ottengono dalla composizione dei casi precedenti.
y
Y P
X N M O'
α
O H K x
