VERIFICA DI MATEMATICA – 2^F Liceo Sportivo – 22 gennaio 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro le 10:45
NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1
Da un mazzo di 40 carte, ne viene estratta una. Calcola la probabilità dei seguenti eventi:A) La carta è cuori E) La carta è un asso rosso
B) La carta non è una figura F) La carta è una donna oppure è un re
C) La carta non è un asso G) La carta non è una figura oppure non è un asso D) La carta è nera H) La carta è il venti di picche
2
Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
∣ 3 x−5∣+∣x−2∣−2∣x+1∣=7 x+18
3
Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
∣ 3 x+2 2 x−3 ∣ < 2 3 4 Considerare la disequazione
(2 k−x )(3 k−x )≥0
e determinare i valori del parametro k per i quali la disequazione ha anche soluzioni il cui valore assoluto sia minore di 1.
5
Le entità delle buste paga di una piccola azienda, nel mese di marzo 2018 saranno le seguenti:1561 – 1552 – 1503 – 1534 – 1560 – 1560 – 1527 – 1540 – 1525 – 1578 – 1569 – 1556 1500 – 1504 – 986 – 1572 – 1583 – 1601 – 1405 – 1607– 1468 – 1670 – 959 – 1500 1359 – 1705 – 972 – 1335 – 1768 – 1724 – 1367 – 1813 – 1255 – 1941 – 1156 - 1210 Rappresenta mediante una tabella le frequenze assolute e relative, considerando classi di frequenza di ampiezza 100 €. Successivamente determina moda, mediana e media aritmetica.
VALUTAZIONE
Argomenti: compendio di tutti gli argomenti affrontati da settembre ad oggi.
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.
È consentito l'uso della calcolatrice pura, non è consentito l'uso del telefono mobile.
Non sono consentite collaborazioni tra compagni.
Non sono consentiti scambi di materiali tra compagno, ognuno può utilizzare esclusivamente il proprio materiale, dall'inizio alla fine della prova.
Non è consentito uscire dall'aula durante la prima ora.
Il docente risponderà soltanto a domande sulla comprensione delle richieste e non confermerà o correggerà in alcun modo le risposte.
(recupero)
1
Da un mazzo di 40 carte, ne viene estratta una. Calcola la probabilità dei seguenti eventi:A) La carta è cuori E) La carta è un asso rosso
B) La carta non è una figura F) La carta è una donna oppure è un re
C) La carta non è un asso G) La carta non è una figura oppure non è un asso D) La carta è nera H) La carta è il venti di picche
A In un mazzo da 40 carte ci sono 10 carte di cuori, dunque p= 10 40 = 1
4 B In un mazzo da 40 carte ci sono 28 carte non figure, dunque p= 28
40 = 7 10 C In un mazzo da 40 carte ci sono 36 carte non assi, dunque p= 36
40 = 9 10 D In un mazzo da 40 carte ci sono 20 carte nere, dunque p= 20
40 = 1 2 E In un mazzo da 40 carte ci sono 2 carte assi rossi, dunque p= 2
40 = 1 20 F In un mazzo da 40 carte ci sono 4 donne e 4 re, dunque p= 4+4
40 = 8 40 = 1
5
G In un mazzo da 40 carte ci sono 28 carte non figure e 36 carte non assi, ma dobbiamo fare attenzione al fatto che tra le non figure ci sono anche i 4 assi, mentre tra i non assi ci sono anche tutte le figure. Questo significa che i casi favorevoli sono tanti quanto i casi possibili, dunque
p=1 .
Se questo ragionamento non vi convince utilizziamo il teorema della probabilità totale: l'evento A è pescare la carta non figura e l'evento B è pescare la carta non asso. Ragionando come al solito sappiamo che p (A)= 7
10 ; p( B)= 9
10 . La probabilità dell'evento intersezione, ovvero di pescare una carta che non sia asso e nemmeno una figura, cioè una carta da 2 a 7 è p (A∩B)= 24
40 = 3 5 . Applicando il teorema della probabilità totale:
p (A∪B)=P (A)+ p(B)− p( A∩B)= 7 10 + 9
10 − 3 5 =1
H In un mazzo da 40 carte non esiste il venti di picche, dunque p=0 .
2
Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
∣ 3 x−5∣+∣x−2∣−2∣x+1∣=7 x+18
∣ 3 x−5∣+∣x−2∣−2∣x+1∣=7 x+18
In questa equazioni osserviamo tre valori assoluti i cui argomenti si annullano rispettivamente per
x= 5
3 ; x=2 ; x=−1
Questi tre valori ci fanno distinguere quattro casi che andiamo a studiare uno per uno.
Caso x<−1 . Gli argomenti sono tutti negativi.
L'equazione diventa
−3 x +5−x +2−2(−x−1)=7 x+18
ovvero
−3 x +5−x +2+2 x+2=7 x+18
ovvero −9 x=9 ovvero x=−1 .
Formalmente non dovremmo accettarlo in quanto si tratta proprio dell'estremo escluso. Siamo però certo che ce lo ritroveremo anche al caso successivo, anche perché se lo verifichiamo direttamente nell'equazione rendiamo vera l'uguglianza. (In effetti potrebbe anche diventare una buona abitudine verificare direttamente gli estremi della suddivisione in casi.)
Caso
−1≤x< 5
3
. Il terzo argomento è positivo, gli altri sono ancora negativi.L'equazione diventa
−3 x +5−x +2−2( x+1)=7 x+18
ovvero −3 x+5−x+2−2 x−2=7 x+18 ovvero −13 x=13 ovvero x=−1 .
In questo caso possiamo accettarla anche formalmente.
Caso
5
3 ≤ x<2
. Il primo e il terzo argomento sono positivi, il secondo è negativo.L'equazione diventa
3 x−5−x+2−2 x−2=7 x+18
ovvero−7 x=23
ovverox=− 23
7
che però non possiamo accettare perché non rientra nell'intervallo che stiamo considerando in questo caso.Caso x≥2 . Gli argomenti sono tutti positivi.
L'equazione diventa
3 x−5+ x−2−2 x−2=7 x+18
ovvero−5 x=27
ovverox=− 27
5
che però non possiamo accettare perché non rientra nell'intervallo che stiamo considerando in questo caso.Concludendo, abbiamo una sola soluzione x=−1
3
Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:
∣
3 x+22 x−3∣
<23Condizioni di esistenza: il denominatore deve essere diverso da zero
3 x+2≠0
e quindix≠− 2 3
.Passiamo ora alla risoluzione. Visto che il valore assoluto è l'intero primo membro della disequazione, possiamo impostare il lavoro in questo modo:
− 2
3 < 2 x−3 3 x+2 < 2
3
che poi è un modo sintetico di impostare un sistema di due disequazioni.
Risolviamo prima la disequazione
2 x−3 3 x +2 < 2
3
.Porto tutto a primo membro in modo da avere un'unica frazione algebrica
2 x−3 3 x +2 − 2
3 < 0
ovvero6 x−9−6 x−4
3(3 x+2) <0
ovvero−13
3(3 x+2) <0
. Tale disuguaglianza è verificata quando il denominatore è positivo , ovvero perx>− 2
3
.Risolviamo adesso l'altra disequazione:
2 x−3 3 x +2 >− 2
3
.Come prima, portiamo tutto a primo membro e consideriamo un'unica frazione algebrica.
Dunque
2 x−3 3 x +2 + 2
3 > 0
ovvero6 x−9+6 x+4
3(3 x+2) >0
ovvero12 x−5
3(3 x+2) >0
. Aiutiamoci con una tabella.x<− 2
3 x=− 2
3 − 2
3 < x< 5
12 x= 5
12 x> 5
12
12 x−5 - - - 0 +
3 x+2 - 0 + + +
12 x−5 3(3 x+2)
+ Non esiste - 0 +
Dunque le soluzioni di questa seconda disequazione sono
x<− 2
3 ∨ x> 5 12
.Intersecandole con le soluzioni della prima disequazione dobbiamo togliere le
x<− 2 3
.Conclusione: le soluzioni richieste sono le
x> 5
12
4
Considerare la disequazione(2 k−x )(3 k−x )≥0
e determinare i valori del parametro k per i quali la disequazione ha anche soluzioni il cui valore assoluto sia minore di 1.
Partiamo risolvendo la disequazione rispetto a x, ovvero facendo finta che k sia noto.
Si osservi che
2 k−x>0
perx<2 k
e analogamente 3 k −x >0 per x<3 k .
Dunque il segno del prodotto dei due binomi cambia a seconda che i valori di x si trovino in un intervallo con estremi 2k e 3k, oppure si trovino altrove.
Il problema è che, non conoscendo k, non sappiamo neanche se sia positivo o negativo, o magari anche 0. Non sappiamo quindi se l'estremo inferiore di questo intervallo sia 2k o 3k. Dobbiamo quindi esaminare vari casi.
Cominciamo da quello più facile:
k =0
.La disequazione diventa
−x
2≥0
che ha un'unica soluzione:x=0
.Per quanto riguarda le richieste a cui dobbiamo rispondere, possiamo considerare
k =0
fra i valori richiesti visto che la soluzionex=0
ha ovviamente il valore assoluto minore di 1.Supponiamo adesso che sia
k >0
. Questo ci permette di fissare le idee su2 k <3 k
e di dire che la disequazione è verificata perx≤2 k ∨x≥3 k
.Se la cosa ci è ancora oscura possiamo aiutarci con una tabella:
x<2 k x=2 k 2 k <x<3 k x=3 k
x>3 k2 k−x + 0 - - -
3 k −x + + + 0 -
(2 k−x )(3 k−x ) + 0 - 0 +
Per il caso
k <0
dobbiamo semplicemente invertire gli estremi dell'intervallo: la disequazione risulta allora verificata per x≤3 k∨x≥2 k .Per poter soddisfare la richiesta, cioè che le soluzioni possano essere anche tali che
∣x∣<1
bisognerà fare in modo che l'estremo inferiore dell'intervallo sia minore di 1, cioè nel casok >0
che sia2 k <1
ovverok < 1
2
mentre nel caso
k <0
che l'estremo superiore dell'intervallo sia maggiore di -1 , ovvero sia3 k >−1
ovverok >− 1 3
.Conclusione: i valori di k richiesti sono quelli dell'intervallo
− 1
3 < x< 1
2
.5
Le entità delle buste paga di una piccola azienda, nel mese di marzo 2018 saranno le seguenti:1561 – 1552 – 1503 – 1534 – 1560 – 1560 – 1527 – 1540 – 1525 – 1578 – 1569 – 1556 1500 – 1504 – 986 – 1572 – 1583 – 1601 – 1405 – 1607– 1468 – 1670 – 959 – 1500 1359 – 1705 – 972 – 1335 – 1768 – 1724 – 1367 – 1813 – 1255 – 1941 – 1156 - 1210
Rappresenta mediante una tabella le frequenze assolute e relative, considerando classi di frequenza di ampiezza 100 €. Successivamente determina moda, mediana e media aritmetica.
