RZRVVA rr · VRZRV −== −= rr

ESERCIZIO E1: Il circuito opera in regime sinusoidale e gli amplificatori operazionali sono da considerarsi ideali. Si desidera determinare: a) il legame analiticocostitutivo V_O=ƒƒƒƒ(V_IN) fra il fasore della tensione v_O(t) e il fasore della tensione di ingresso v_IN(t); b) l’espressione analitica dell’impedenza di ingresso Z_IN; c) la natura e l’espressione analitica dell’impedenza di ingresso Z_IN in funzione di tutti i possibili casi esprimenti la natura dell’impedenza Z_X.

(Nota Bene: come modulo del fasore si assuma il valore di picco o ampiezza della sinusoide).

Il circuito di figura 1, valido nel dominio del tempo, ammette la equivalente rete riportata nella figura 1a valida nel dominio dei fasori. In questa figura vengono altresì evidenziate le correnti e le tensioni di interesse.

Per ispezione diretta si deduce che gli amplificatori OP1 e OP2

sono posti in reazione negativa per effetto della resistenza R₁; quindi, per il noto Principio di Traslazione del Potenziale sono da considerarsi valide le seguenti relazioni, fra i fasori delle tensioni ai morsetti INVERTENTE e NON INVERTENTE dei citati amplificatori operazionali:

V

IN

V V V

V r r r r r

=

=

=

=

^{+ − +}

− 1 2 2

1

Dato che il morsetto invertente dell’operazionale OP2 non può assorbire o erogare corrente, si deduce che l’impedenza Z_X e la resistenza R sono collegate in serie; quindi, l’utile ricorso alla legge del partitore resistivo di tensione consente di definire il legame V_O1=ƒƒƒ(Vƒ _IN) fra i fasori delle tensioni rispettivamente di uscita e d’ingresso dell’operazionale OP₁; si ottiene, infatti, la relazionare di seguito riportata:

·

_O1

X

IN

V

Z R

V r R r

= +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_O ^X

_V

_IN

R

Z

V r R r

1

·

= +

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al morsetto non invertente dell’amplificatore OP2 consente di determinare, attraverso la definizione dell’espressione analitica della corrente IA

col principio dei potenziali di nodo, il legame fra i fasori delle tre tensioni di interesse VIN, V_O1 e VO; si ottiene, infatti, quanto segue:

1

1

R V I

_A

V

^{O IN}

r r r −

=

e

R

1

V I

_A

V

^{IN O}

r

r r −

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

1 1

1

R V V R

V

V

O IN IN O

r r r

r

= −

−

Svolgendo i necessari passaggi algebrici con le relative semplificazioni e utilizzando il legame fra i fasori delle tensioni V_O1 e V_IN, in precedenza determinato, si ottiene:

O IN IN

O

V V V

V r r r r

−

=

1

−

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

^X

V

_IN

V

_IN

V

_IN

V

_O

R Z

R r r r r

−

= + −

·

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_{O IN} ^X

V

_IN

R

Z V R

V r r r

·

2 +

−

=

IN X

O

V

R Z R

V r R r

2 − − ·

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

IN

X

O

V

R Z

V r R r

− ·

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

R Z R V

A V

^X

IN O V

= −

= r r R

R

−

−

−

− + + + +

−

− −

− + + + +

R1

R₁

I

IN

V_O

Z

X

V

IN

(figura – 1a)

I

IN

I

A

OP₁

OP2

I

A

I

A

V_O1

V

IN

V

IN

V

IN

R

R

−

− −

− + + + +

−

−

−

− + + +

Z_IN

+

R₁

R₁

i_IN(t)

v_O(t) v_IN(t)

(figura – 1)

Z

X

Il guadagno di tensione o amplificazione complessiva è espresso dalla relazione:

R A

_V

= 1 − Z

^X

Per quanto riguarda la richiesta di determinare l’espressione analitica dell’impedenza di ingresso Z_IN, è immediato constatare che l’applicazione del Principio dei Potenziali di Nodo e il contestuale ricorso al legame analitico V_O=ƒƒƒƒ(V_IN) dianzi definito, consentono di relazionare nella forma:

IN IN

O IN O

IN

IN

V

R Z R R R V R V R V R

V

I V r r r r r r

r 1 · ·

 

 



 −

−

=

−

− =

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_IN ^{IN IN}

V

_IN

R Z R V R

I V r r r

r

+

2

−

=

In ossequio alla definizione costitutiva di impedenza di ingresso ZIN sentita dal generatore ideale di corrente I_IN, si conclude con la validazione delle scritture di seguito riportate:

IN X

IN

V

R I r Z r

=

2

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

IN X IN IN

IN

IN

Z V

R V I

Z V r

r r

r

·

·

²

=

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

X IN

Z Z R

2

=

La natura dell’impedenza d’ingresso Z_IN dipende dalla costituzione dell’impedenza Z_X; infatti si osserva che:

se:

Z

_X

= R

_X allora: _E

X X

IN

R

R R Z

Z = R = =

2 2

con:

X

E

R

R R

2

=

se:

Z

_X

= j ω L

_X allora:

X E X

X

IN

j C

R j L L

j R Z

Z R

ω ω ω

1

· 1

2 2

2

=

 

 



= 

=

=

con: ₂

R C

_E

= L

^X

se:

X

X

j C

Z ω

= 1

allora: _{X E}

X X

IN

j C R j L

C j

R Z

Z R ω ω

ω

=

=

 



 

= 

=

²

2 2

1

^con:

^L

^E

^{R C}

^X

=

2

Si controlla la correttezza delle posizioni fatte verificando la congruità delle relative unità di misura.

(Henry) Volt

Coulomb

Ohm

²

s s H

V s C A

R

L

_E

=

_X

= = · =

⁻

= · =

·

· ]

]·[

[ ]

[

²

Ω

²

Ω

²

Ω

¹

Ω

V F s A A

V s s

s H

R

C

_E

= L

^X

= = = =

₋

= = = Farad =

Volt Coulomb

·

·

· ]

[ ] ] [

[

_{2 2 2 1}

Ω Ω

Ω Ω

se:

Z

_X

= R

_X

+ j ω L

_X , allora:

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

) ( )

( )

(

) (

X X

X X

X

X X

X

X X

X X

X

IN

R L

R j L

L R

R R L

R

L j R R L

j R

R Z

Z R

ω ω ω

ω ω

ω − +

= + +

= −

= +

=

E E

IN

R jX

Z = +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_{2 2}

2

) (

_X

X

X

E

R L

R R R

ω

= +

e _{2 2}

2

) (

_X

X X

E

R L

R X L

ω ω

− +

=

se:

X X

X

R j C

Z ω

+ 1

=

, allora: _{2 2}

2 2

2

) 1

(

] ) 1

( [

1

_{X X}

X X

X X

X

IN

R C

C j R

R C

j R

R Z

Z R

ω ω

ω ₊

= −

= +

=

2 2

2 2 2

2 2 2

2

) 1

) ( 1

( )

1 (

] ) (

[

X X

X X

X

X X

X

X X

IN

R C

C j R

C R

R R C

R

C j R

Z R

ω ω ω

ω ω

+ +

= + +

= +

E E

IN

R jX

Z = +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_{2 2}

2

) 1

(

_X

X

X

E

R C

R R R

ω

= +

_{e 2 2}

2

) 1

(

_X

X

X

E

R C

C X R

ω ω

= +

ESERCIZIO E2:L’interruttoreSèinA da lungotempoquandoall’istanteto=0sec. siporta in B e ivi resta per ogni t≥≥≥≥0. Si desidera determinare: a) l’espressione analitica delle due correnti i_C(t) e i₂(t), della tensione vC(t) indi, tracciare i relativi grafici correlati per t>-500µµµµs; b) l’istante t* in cui viene verifica la condizione iC(t*)=i2(t*); c) l’energia accumulata nel condensatore C agli istanti t=0sec. e t→→→→∞∞∞∞. Sono assegnati: IS=2A; ES=8V; R1=3Ω; RΩΩΩ 2=1ΩΩ; RΩΩ 3=2ΩΩΩΩ; rm=4ΩΩΩΩ;

R4=100ΩΩΩΩ;C=500µµµµF.

Si desidera determinare, dapprima in forma analitica e successivamente in forma grafica la caratteristica forma d’onda della tensione e corrente di un condensatore durante la fase del transitorio attinente alle variazioni strutturali della rete di figura 2 in relazione alla “commutazione” dalla posizione A alla posizione B dello STATO dell’interruttore S.

La relazione costitutiva caratteristica per definire l’evoluzione temporale della tensione vC(t) ai morsetti di un condensatore, tensione che si ricorda essere una funzione temporalmente continua, atteso che si tratta di una variabile di stato, è espressa dalla seguente scrittura:

)τ

)]

(

( ) ( [ ) ( )

(

_{C C C O} ^{t tO}

C

t v v v t e

v = ∞ − ∞ − ⋅

^{− −}

e nel caso in cui l’istante t_O di inizio transitorio corrisponda con l’istante t_O=0s si ottiene:

τ t C

C C

C

t v v v e

v ( ) = ( ∞ ) − [ ( ∞ ) − ( 0 )] ⋅

⁻

Pertanto, il transitorio è completamente determinato allorché sono conosciuti i tre parametri il cui significato fisico di interesse è di seguito esplicitato:

v_C(∞∞∞∞): è la tensione ai morsetti del condensatore al termine del transitorio ottenuta considerando il condensatore stesso modellato dal bipolo circuito aperto;

vC(tO): è il valore della tensione ai morsetti del condensatore all’inizio del transitorio e definisce la cosiddetta condizione iniziale o tensione di precarica;

R_TH: definisce la Resistenza Equivalente di Thevenin “sentita” dal condensatore nell’evoluzione caratteristica del transitorio;

ττττ = CRTH: definisce la costante di tempo caratteristica della dinamica del transitorio relativo alla rete elettrica alla quale è collegato il condensatore C.

Resta da precisare che tanto la corrente i_C(t) del condensatore C, quanto la corrente i₁(t) circolante nella resistenza R₁ NON sono variabili di stato, cioè all’istante di commutazione dell’interruttore S manifesteranno una discontinuità di seconda specie, caratterizzata dalle relazioni iC(t_O⁻⁻⁻⁻) ≠≠≠≠ iC(t_O⁺)

e i₁(t_O⁻⁻⁻⁻) ≠≠≠≠ i1(t_O⁺).

a₁) Sia t=0⁻⁻⁻⁻sec. L’interruttore S è nella posizione A da lungo tempo, di certo da un tempo maggiore del tempo di assestamento TA; quindi il condensatore C si trova a regime e, pertanto, è modellabile dal bipolo equivalente circuito aperto, come riportato in figura 2a. Per ispezione diretta si evince che:

A

i

_C

( 0

⁻

) = 0

e

i

₁

( 0

⁻

) = I

_S

= 2 A

S C

C

C

v v E

v ( 0

⁻

) = ( 0

⁺

) = ( 0

⁻

) = − r

m

i

1

(t)

iC(t)

C I

S

i1(t) vC(t)

R

1

R

2

+ + + +

− − −

− R

3

i

2

(t) R

4

S

A B

− − −

− + + + + ^E

^S

(figura – 2)

r

m

i

1

(

0⁻⁻⁻⁻

)

iC(0⁻⁻⁻⁻)

I

S

i1(0⁻⁻⁻⁻) v_C(0⁻⁻⁻⁻)

R

1

R

2

+ + + +

−

− −

− R

3

i

2

(

0⁻⁻⁻⁻

) R

4

S

A B

−

− −

− + + + + ^E

^S

(figura 2a – rete valida a t = 0⁻⁻⁻⁻)

α α α α

+

+

+

+

i

3

(

0⁻⁻⁻⁻

)

Per quanto attiene la determinazione del valore i₂(0⁻⁻⁻⁻) della corrente i₂(t) si consideri l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αααα e poi, l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia della quale in figura 2a è riportato il verso di percorrenza; si ottengono così le scritture di seguito riportate:

) 0 ( ) 0 ( ) 0

(

_{3 2}

1 − − −

=

+ i i

i

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

i

₃

( 0

⁻

) = i

₂

( 0

⁻

) − i

₁

( 0

⁻

)

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

i

₃

( 0

⁻

) = i

₂

( 0

⁻

) − I

_S

)

0 ( )

0 ( )

0

(

_{33 2 2}

1 − − −

+

= R i R i i

r

_m

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

r

_m

I

_S

= R

₃

·[ i

₂

( 0

⁻

) − I

_S

] + R

₂

i

₂

( 0

⁻

)

Svolgendo i necessari passaggi algebrici e le relative semplificazioni si ottiene:

) 0 ( )

0

(

_{2 2}

2 3

3 − −

+

=

+ R I R i R i I

r

_{m S S}

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

( r

_m

+ R

₃

)· I

_S

= ( R

₂

+ R

₃

)· i

₂

( 0

⁻

)

Pertanto, resta definita la relazione conclusiva cercata mediante la scrittura:

S

m

I

R R

R

i r ·

) (

) ) (

0 (

3 2 2 3

+

= +

−

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

I A

R R

R

i r

^m _S

· 2 4

3 2 6 ) · 2 1 (

) 2 4

· ( ) (

) ) (

0 (

3 2

2 3

= =

+

= + +

= +

−

Sia 0<t<∞∞∞∞.L’interruttoreScommuta,all’istantet=0s,dallaposizioneAalla posizione B ed ivi permane per una durata infinita. Il transitorio caratterizzante l’evoluzione temporale di tutte le grandezze elettriche d’interesse si può studiare con riferimento alla rete riportata in figura 2b che

valida per t→→→→∞∞ evidenzia la nuova ∞∞ condizione di regime conseguita dal condensatore che, pertanto, è ancora modellato dal bipolo circuito aperto.

È proprio questa caratteristica che, come si evince per ispezionediretta, consente di affermare come, ai fini della determinazione delle correnti di interesse i₂(∞∞∞∞), i₃(∞∞) e ∞∞ i₁(∞∞∞∞), NON esista alcuna differenza strutturale fra le due reti valide agli istanti t=0 e→→→→∞∞∞∞,rispettivamente. Infattiledue, leggi di Kirchhoff applicate al nodo ααα

α e alla maglia di destra consentono di confermare la validità delle relazioni seguenti:

A

i

_C

( ∞ ) = 0

;

i

₁

( ∞ ) = I

_S

= 2 A

; e in particolare:

) 0 ( )

(

₂

2 −

=

∞ i

i

⇒

^m

I

_S

R R

R

i r ·

) (

) ) (

(

3 2 2 3

+

= +

∞

⇒

i

₂

( ∞ ) = 4 A

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia centrale consente di relazionare nella seguente forma:

S m

S m

S

C

I

R R

R r R R

R I R

R R r

I R i

R i

R

v ·

) (

)

· ·(

) (

) ) (

( )

( )

(

3 2

3 1 2

3 2 2 3 1

2 2 1

1





 





+ + +

+ = + +

=

∞ +

∞

=

∞

Il legame analitico esprimente la tensione v_C(∞∞∞∞) in funzione della sorgente indipendente di corrente I_S è definito, pertanto, dalla seguente relazione:

S m

C

I

R R

R r R R R

v R ·

) (

)

·(

) ) ·(

(

3 2

3 2

3 2 1

+

+ +

= +

∞

⇒

_C ^m

I

_S

R R

R R r R R

v R ·

) (

) ) ·(

(

3 2

3 1 2

3 1

+

+ +

= +

∞

La sostituzione dei valori forniti dalla traccia consente di calcolare il valore della tensione v_C(∞∞∞∞); si ottiene, infatti:

V

v

_C

10

3 2 30 3 ·

9 2 6

) · 2 1 (

) 2 3 4

·(

1 2

· ) 3

( + = =

+ = + +

= +

∞

La determinazione dell’evoluzione temporale del transitorio richiede la conoscenza della costante

r

m

i

1

(

∞∞∞∞

)

iC(∞∞∞∞)

I

S

i1(∞∞∞∞) vC(∞∞∞∞)

R

1

R

2

+ + + +

− − −

− R

3

i

2

(

∞∞∞∞

) R

4

S

A B

−

− −

− + + + + E

S

(figura 2b – rete valida per t→→→→∞∞∞∞)

α α α α

+ +

+ +

i

3

(

∞∞∞∞

)

di tempo ττττ=CR_TH caratteristica della dinamica del fenomeno stesso; pertanto, deve approntarsi il calcolo della Resistenza Equivalente di Thevenin R_TH ‘sentita’ dal condensatore C. La rete che si deve analizzare è riportata nella figura 2c in cui si sono spenti tutti i generatori indipendenti esterni – modellati dal bipolo circuito aperto se di corrente e dal bipolo cortocircuito se di tensione – e dopo aver inserito il generatore sonda V_TX in sostituzione del condensatore C.

Il lato costituito dalla serie del generatore ES e dalla resistenza R4, non essendo collegato alla rete a seguito della commutazione del tasto S dalla posizione A alla posizione B, non riveste alcuna influenza sul calcolo di R_TH; quindi, è stato ignorato e non riportato nella figura 2c.

Per ispezione diretta si evince che I_TX=I₁. Inoltre, l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αααα e della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di destra consentono di confermare le relazioni già ricavate in precedenza, precisamente si ottiene:

2 3

1

I I

I + =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

I

₃

= I

₂

− I

_TX

2 2 3 3

1

R I R I

I

r

_m

= +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

r

_m

I

_X

= R

₃

·( I

₂

− I

_TX

) + R

₂

I

₂

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

( r

_m

+ R

₃

)· I

_TX

= ( R

₃

+ R

₂

)· I

₂

Si conclude confermando la validità della scrittura seguente:

TX

m

I

R R

R

I r ·

) (

) (

2 3 2 3

+

= +

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di sinistra consente di relazionare come di seguito riportato:

2 2 1

2 2 1

1

I R I R I R I

R

V

_TX

= + =

_TX

+

TX m

TX

TX

I

R R

R R r

I R

V ·

) (

) (

2 3 2 3

1

+

+ +

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

_TX ^m

I

_TX

R R

R r R R

V ·

) (

)

·(

2 3

3

1 2





 





+ + +

=

Ricordando la relazione costitutiva che definisce la Resistenza Equivalente di Thevenin si ottiene:

) (

)

·(

· 1 ) ·

(

)

·(

2 3

3 1 2

2 3

3 1 2

0

R R

R r R R

I I R

R

R r R R

I

R V

^m

TX TX m

A TX I TX TH

S

+

+ +

 =



 





+ + +

=

=

=

, ovvero anche:

) (

)

·(

)

·(

2 3

3 2

2 3 1

R R

R r R R

R

R

_TH

R

^m

+

+ +

= +

⇒

5 Ω

3 6 9 )

1 2 (

) 2 4

·(

1 ) 1 2

·(

3 + =

+ = + +

= + R

TH

La costante di tempo ττττ resta, pertanto, così determinata:

ms CR

_TH

· 5 2 · 10 2

5 10

·

2

³ ₃

=

=

=

=

⁻

−

τ

L’andamento temporale richiesto per le due grandezze d’interesse tensione v_C(t) ∀∀∀∀t≥≥≥≥0 e corrente i_C(t) ∀∀∀t∀ >0 è, quindi, definito dalle seguenti relazioni:

] [ 18

10 )]·

8 ( 10 [ 10 )]

0 ( ) ( [ ) ( )

( t v v v e e

^2·103

e

^500·

V

v

_C

=

_C

∞ −

_C

∞ −

_C

⋅

^−tτ

= − − −

^{−t −}

= −

^{− t}

] [

· 6 , 3 5 ·

· 18 5

) 8 ( 10 )

0 ( ) ( )

) (

( e e

^{2·10 3}

e

^500·

e

^500·

A

R v v

dt t C dv t

i

^{t t t t}

TH C C

C C

−

−

−

−

− − = =

=

− ⋅

= ∞

=

^{τ −}

Per determinare l’andamento temporale della corrente i₂(t) è necessario analizzare la rete valida per ogni 0<t<∞∞ così come mostrato in figura 2d. È utile ricordare che la corrente i∞∞ 2(t) NON È una VARIABILE di STATO. L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αααα e la legge

r

m

I

1

ITX

VTX

R

1

R

2

+ + + +

−

− −

− R

3

I

2

S B

(figura 2c – rete per il calcolo di RTH)

α α α α

+ + + + I

3

+ + + +

−

I

1

+

+

+

+

di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di destra consentono di confermare le relazioni già ricavateinprecedenza,cioèsiottiene:

) ( ) ( )

(

_{3 2}

1

t i t i t

i + =

) ( ) ( )

(

₂

3

t i t i t

i = −

_i

) ( )

( )

(

_{33 2 2}

1

t R i t R i t

i

r

_m

= +

) ( )]

( ) ( [ )

(

_{3 2 1 2 2}

1

t R i t i t R i t

i

r

_m

= − +

Con i dovuti passaggi algebrici, si ha:

) ( )·

( ) ( )·

( r

_m

+ R

₃

i

₁

t = R

₃

+ R

₂

i

₂

t

Pertanto, si conclude con la conferma della validità della scrittura seguente:

) ( ) · (

) ) (

(

₁

2 3

2 3

i t

R R

R t r

i

^m

+

= +

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo βββ consente di relazionare come segue: β

) ( )

1

( t i t i

I

_S

= =

_C

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

i

₁

( t ) = I

_S

− i

_C

( t )

Si conclude, pertanto, con la relazione di interesse di seguito riportata:

)]

( ) ·[

(

) ) (

(

2 3

2 3

I i t

R R

R t r

i

^m _S

−

_C

+

= + ∀ ∀ ∀ ∀ t > 0

⇒

· [ ]

5 4 36 ) 5 ·

2 18 1 ·(

2 2 ) 4

(

^{500· 500·}

2

t e e A

i −

^{− t}

= −

^{− t}

+

= +

Poiché la corrente i2(t) dipende dalla corrente iC(t), resta verificata la discontinuità della funzione temporale corrente i2(t); infatti, consegue immediatamente, quanto espresso dal seguente passaggio al limite:

A e

t i

i

^t

t t

2 , 5 3

16 5

36 20 5 4 36 5 ·

4 36 lim ) ( lim )

0

(

^500·

2 0

2 0

− = − = −

=

−

 =



 



 −

=

=

⁻

→

→ +

+ +

I grafici esprimenti gli andamenti temporali delle grandezze di interesse richieste dalla traccia sono mostrati nella sottostante figura 2e.

r

m

i

1

(t)

iC(t)

C I

S

i₁(t) vC(t)

R

1

R

2

+ + + +

−

−

−

− R

3

i

2

(t) R

4

S

A B

−

−

−

− + + + + E

S

(figura – 2d)

α α α β α

β β β

+

Il calcolo dell’istante di tempo t* in cui si verifica la condizione i_C(t*)=i₂(t*), istante che di certo esiste atteso che i valori di iC(0⁺) e di i₂(0⁺) sono di segno opposto e con il valori di regime positivo per la corrente i₂(t), è definito dalla procedura di seguito esplicitata nella sequenza delle connesse operazioni di semplificazioni algebriche.

*) (

*)

2

( t i t

i =

_C

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

^500·*

·

^500·*

5

· 18 5

4 − 36 e

^{− t}

= e

^{− t}

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

^500·*

·

^500·*

5

· 36 5

4 = 18 e

^{− t}

+ e

^{− t}

*

·

·

500

5

4 = 54 e

^{− t}

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

20 = 54 · e

^−500·t*

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

^500·*

54

20

_t

e

⁻

=

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

10 27 20

*

54

·

500^t

= =

e

Pertanto, si ottiene la relazione conclusiva

) 7 , 2 ln(

*

·

500 t =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

500 ) 7 , 2

* = ln(

t

⇒

t 1 , 9865 ms

500 99325 ,

* = 0 =

Per quantoconcerne la richiestadelcalcolodell’energia accumulatanel condensatoreCagliistanti t=0sec. e t→→→→∞∞∞∞ si procede ricorrendo alle seguenti relazioni:

mJ v

C

W

_c

· 10 12 , 8

5 ) 64 8

·(

10 5 ·

· 2 2 )] 1 0 (

·[

2 · ) 1 0

( =

²

=

⁻³

−

²

=

⁻³

=

mJ v

C

W

_c

· 10 20

5 ) 100 10

·(

10 5 ·

· 2 2 )] 1 (

·[

2 · ) 1

( ∞ = ∞

²

=

^{−3 2}

=

⁻³

=

OSSERVAZIONE 1: si ritiene utile verificare l’esattezza del calcolo della corrente i₂(0⁺) ricorrendo a una sua diversa espressione analitica. A tale riguardo si consideri la rete valida a t=0⁺ riportata in figura 2f,in cui ilcondensatoreC,solo pertale istante, viene modellato dal generatore di tensione

vC(0⁺⁺⁺⁺)=vc(0⁻⁻⁻⁻)=vc(0)=−−8V −−

Il circuito bene si presta a essere esaminato con il Principio dei Potenziali di Nodo; pertanto, le correnti di interesse sono definite come segue:

1 1

) 0 ( ) 0 ) (

0

( R

v

i v

^C

+

+

−

=

^α ;

2 2

) 0 ) (

0

( R

i v

+

+

=

^α

3 3 1

) 0 ( ) 0 ( ) ·

0

( R

v i

i r

^m

+ +

+

−

=

^α , ovvero:

3 1

1 3 3

) 0 ( )

0 ( )

0

· ( )

0

( R

v R

v R

v R

i r

^{m C}

+ +

+

 −



 



 −

=

^{α α}

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αααα consente di ottenere un’espressione del potenziale v_αααα(0⁺) in funzione della tensione v_C(0) del condensatore C e, quindi, di determinare

r

m

i

1

(

⁰⁺

)

iC(0⁺)

I

S

i1(0⁺) vC(0⁺)

R

1

R

2

+ + + +

− −

− − R

3

i

2

(

0⁺

) S

B

+ + + +

− − −

− v

αααα

(0

⁺

)

(figura 2f – rete valida per t = 0⁺⁺⁺⁺)

α α α

α i

3

(

0⁺

)

la richiesta relazione analitica della corrente i2(0⁺). Si ottiene quanto di seguito esplicitato.

) 0 ( ) 0 ( ) 0

(

_{3 2}

1 + + +

=

+ i i

i

⇒

2 3

1 1

3 1

) 0 ( )

0 ( )

0 ( )

0

· ( )

0 ( ) 0 (

R v R

v R

v R

v R r R

v

v

_C ⁺ _{m C} ^{+ + +}

=

 −



 



 −

−

_α

+

_{α α α}

2 3

1 3 1

3 1

1

) 0 ( )

0 ( )

0

· ( )

0

· ( )

0 ( )

0 (

R v R

v R

v R r R

v R r R

v R

v

_C ⁺ _{m C m} ^{+ + +}

=

−

− +

−

^{α α α α}

Svolgendoidovuti passaggi ele relative semplificazioni algebriche si ottienela seguente successione di scritture di interesse:

3 1

3 1

2 1

3 1

) 0 ( )

0

· ( )

0 ( )

0 ( )

0

· ( )

0 (

R v R

v R r R

v R

v R

v R r R

v

_{C m C} ^{+ +} _m ^{+ +}

+ +

+

=

+

^{α α α α}

) 0 ( 1 · 1

) 1 0 (

·

3 3 1 1 2 3

1

3 +

 



 

 + + +

+ =

v

α

R R R

r R v R

R R

r

R

_m

C m

) 0 (

· )

0 (

·

3 2 1

2 1 2 3

2 3 1 3

1

3 +

 



 

 + + +

+ =

v

α

R R R

R R R r R R R v R

R R

r

R

_m

C m

2 2

1 2 3

2 3 1 3

) 0 )· ( (

) 0 ( )·

( R

R v R R r R R R R v

r

R

_{m C m}

+

+ +

+

=

+

^α ; da cui si ricava:

) 0 ( ) · (

) (

) 0 (

2 1 2 3

2 3 1

3 2

C m

m

v

R R R r R R R R

r R R

v

+ +

+

= +

+

α ; nonché essendo:

2 2

) 0 ) (

0

( R

i v

+

+

=

^α

segue la seguente relazione analitica finale atta a definire la corrente i₂(0⁺):

) 0 ( ) ·

·(

)

·(

) ) (

0 (

3 2

2 3 1

2 3 C

m

m

v

R r R R R R

r i R

+ +

+

= +

+

A

i 3 , 2

5 16 5

8

· 2 15

8

· 6 6 ) 3

· 3 (

8

· ) 6

8 ) ·(

2 4

·(

1 ) 1 2

·(

3

) 4 2 ) (

0

2

( = − = − = − = −

− +

= + −

+ +

= +

+

(figura – 2g)

Sostituendo i valori forniti dalla traccia e il valore calcolato relativo a vC(0) =−−8−− V, si ottiene

OSSERVAZIONE 2.

Si ritiene parimenti utile mostrare con la figura 2g il grafico in cui vengono riportati gli andamenti temporali delle correnti i_C(t) e i₂(t) ∀∀∀∀t>0, al fine di verificare l’esistenza e il valore dell’istante t*

nel quale è soddisfatta la condizione iC(t)=i₂(t).