MarcelloColozzo Notedicinematicarelativistica SCIENTIA –http://www.scientiajournal.org

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SCIENTIA – http://www.scientiajournal.org

International Review of Scientific Synthesis – ISSN 2282-2119 Monografia 001 – doi:10.12969/Scientia.Mon001 - December 31th, 2014

Note di cinematica relativistica

Marcello Colozzo

Istituto Scientia – http://www.istitutoscientia.it – via Ortola 65, 54100 Massa, Italy

Sommario

Studiamo un moto unidimensionale nel paradigma della cinematica relativistica, contemplando la possibilit`a di un moto superluminale.

Keywords: cinematica relativistica; moti superluminali

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1 Introduzione

Nel 1947 il grande logico Kurt Gödel (1) pubblicò un saggio (Teoria della relatività e filosofia idealistica) in cui metteva in discussione l’oggettività del trascorrere del tempo. Il “punto di partenza” del saggio era la relatività della simultaneità degli eventi in Relatività Speciale (o Relatività Ristretta).

Figura 1: Kurt G¨odel con Albert Einstein.

Leggiamo:

Lo stesso punto di partenza della teoria della relatività ristretta consiste nella sco- perta di una nuova e stupefacente proprietà del tempo, cioè la relatività della simulta- neità, da cui deriva in buona parte quella della successione [...]. L’affermazione che gli eventi A e B sono simultanei [...] perde il suo significato oggettivo, dal momento in cui un altro osservatore, in modo altrettanto legittimo, può affermare che A e B non sono simultanei.

Tirando le conseguenze da questo strano stato di cose, si `e portati a conlusioni di grandissima portata sulla natura del tempo. In breve, sembra che si ottenga una prova inequivocabile a favore delle idee di quei filosofi che, come Parmenide, Kant, e gli idealisti moderni, negano l’obiettivit`a del cambiamento e considerano il cambiamento

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come un’illusione o un’apparenza dovuta al nostro modo particolare di percepire le cose [...].

Il ragionamento si svolge come segue. Il cambiamento diventa possibile solo attraverso lo scorrere oggettivo del tmepo [...]. L’esistenza di un oggettivo scorrere del tempo significa, però, che la realtà consiste di una infinità di strati di “adesso” che vengono successivamente in esistenza. Ma, se la simultaneità è qualcosa di relativo nel senso appena chiarito, in un modo oggettivamente determinato, ogni osservatore ha il suo insieme di “adesso”, e nessuno di questi diversi sistemi di strati può pretendere il privilegio di rappresentare lo scorrere oggettivo del tempo.

Ciò premesso, chiediamoci: cosa significa “relatività della simultaneità degli eventi?”. L’illustrazione di fig. 2 ci aiuterà a capire. Come riportato nella didascalia, l’invarianza della velocità della luce (ed è proprio questo il nocciolo della faccenda, se possiamo utilizzare un linguaggio suggestivo ma efficace) assegna un carattere relativo alla simultaneità: due eventi simultanei per un osservatore, non sono tali per un altro osservatore in moto rispetto al primo.

Figura 2: Illustrazione tratta da http://www.larapedia.com.

Consideriamo ora il seguente esperimento concettuale:

Problema 1 In un poligono di tiro un tiratore T ha a disposizione tre fucili:

1. fucile convenzionale che spara proiettili a velocit`a costante;

2. fucile a raggio laser;

3. fucile a fascio di neutrini superluminali.

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Il tiratore si trova su una pedana mobile M che può muoversi su un binario disposto nella direzione di sparo (fig. 3). Supponendo che M si muova a velocità costante V nella direzione del bersaglio B, studiare il moto del proiettile sia dal sistema di riferimento in cui T è in quiete, sia dal sistema di riferimento di un osservatore a terra.

Figura 3: Il tiratore si trova su una pedana che si muove a velocit`a V (costante) verso il bersaglio.

2 Cinematica newtoniana

Denotiamo con O un osservatore a terra. Trattandosi di un moto unidimensionale, fissiamo un asse x orientato nella direzione di sparo. Pi`u specificatamente, abbiamo un riferimento cartesiano R (Ox) con l’origine O nel punto in cui viene sparato il proiettile. Denotiamo con Ω l’orologio di O, ovvero un qualunque sistema maccani- co/elettrico/elettronico/atomico in grado di generare un processo periodico. Quindi K = R ∪ Ω `e un sistema di riferimento inerziale.

Poniamo lo zero della scala dei tempi generata da Ω nell’istante in cui viene sparato il proiettile. In altri termini, se denotiamo con t il tempo misurato da Ω, segue che il proiettile è sparato a t = 0. Ciò è illustrato in fig. 4.

Figura 4: Nel sistema di riferimento dell’osservatore fermo, il proiettile viene sparato all’istante t = 0 e compie un moto rettilineo ed uniforme con velocit`a v.

Pertanto, l’equazione oraria del moto del proiettile nel sistema di riferimento inerziale K `e:

x(t) = vt, ∀t ∈ [0, t1] , (1)

dove v = |v| . Il diagramma orario del moto, cio`e il diagramma cartesiano della funzione (1), `e il segmento di estremi O (0, 0) e P (x1, t1) appartente alla retta per l’origine e di

(5)

coefficiente angolare v. Dalla (1) segue immediatamente:

t1 = x1

v (2)

come riportato in fig. 5.

t₁

t x₁

x

x=vt

Figura 5: Diagramma orario del moto del proiettile nel sistema di riferimento K.

Il risultato elementare (2) ci sta dicendo che O vede il proiettile colpire il bersaglio quando Ω segna l’istante t1 = ^x_v¹. Passiamo ora all’osservatore mobile, cio`e il tiratore T sulla pedana mobile M . T `e munito di un orologio Ω^′ sincronizzato con Ω, onde se t^′

è il tempo misurato da Ω^′, si ha t^′ = t, ∀t ∈ R. Inoltre, a T conviene assumere come riferimento cartesiano R^′(O^′x^′), dove x^′ è un asse parallelo e concorde all’asse x con O^′ ≡ T . Abbiamo, dunque, il sistema di riferimento inerziale K^′ = R^′∪ Ω^′ in cui T è in quiete. All’istante t^′ = t > 0 l’origine O^′ ha ascissa (in R) pari a V t; conseguentemente se A è un punto di ascissa x in R, lo stesso punto ha ascissa x^′ = x − V t in R^′, come illustrato in fig. 6.

Figura 6: x^′ = x − V t

(6)

Abbiamo, quindi:

G :





 t^′ = t

x^′ = x − V t (3)

Le (3) compongono le trasformazioni di Galilei che ci permettono di passare dal sistema inerziale K al sistema inerziale K^′. Da esse possiamo determinare la velocit`a del proiettile rispetto a K^′:

v^′ = dx^′ dt^′ =

t^′=t

dx^′ dt = d

dt(x − V t) , cio`e¹:

v^′ = v − V (4)

L’equazione oraria del moto del proiettile in K^′ `e:

x^′ = (v − V ) t (5)

Riportiamo in fig. 7 il diagramma orario del moto del proiettile rispetto al sistema inerziale K^′.

t₁

t x'₁

x'

x'=Hv-V Lt

Figura 7: Diagramma orario del moto del proiettile nel sistema di riferimento K^′.

Rispetto al tiratore T , l’ascissa del punto d’impatto del proiettile `e x^′1 = (v − V ) t1 =

t1=^x1

v

v− V v x1,

1A rigore avremmo dovuto denotare con v la velocità del proiettile nel sistema di riferimento in cui il tiratore è in quiete (cioè K^′), ottenendo poi v^′= v+V la velocità del proiettile rispetto all’osservatore a terra. Ma in tal modo ci sarebbe stata una contraddizione tra simboli, giacchè indichiamo con le lettere accentate le grandezze relative all’osservatore mobile.

(7)

cio`e:

x^′1 =

1 − V

v

x1 (6)

Riprendiamo le trasformazioni (3). Tali equazioni realizzano una legge di trasformazione (t, x) → (t^′, x^′). Pi`u precisamente, assegnato in un piano un sistema di coordinate cartesiane (t, x), le (3) ci fanno passare dalle coordinate (t, x) alle coordinate (t^′, x^′). Per rendere omogenee (dal punto di vista dimensionale) le varie grandezze, moltiplichiamo t per una costante c avente le dimensioni di una velocit`a:

η^def= ct, per cui abbiamo (η, x) → (η^′, x^′):







η^′ = η

x^′ = x −^V_cη (7)

Invertiamo, poi, gli assi coordinati come illustrato in fig. 8, continuando ad indicare² con (η, x) le coordinate correnti nel piano cartesiano Oxη. Abbiamo, in tal modo, introdotto la nozione di spaziotempo newtoniano:

R² = {(η, x) | −∞ < η < +∞, −∞ < x < +∞} (8) Muniamo l’insieme di punti (8) di una struttura di spazio euclideo, introducendo la metrica:

ds² = dη²+ dx² (9)

Il generico punto (η, x) `e denominato evento, mentre il luogo geometrico dei punti η= ^c_v x, cio`e il diagramma orario del moto nelle coordinate (η, x), si chiama linea di universodel proiettile.

Per un assegnato η0 ∈ R, la retta r0 : η = η0 `e un luogo di simultaneit`a, ovvero l’insieme degli eventi che si verificano all’istante t0 = ^η_c⁰, come illustrato in fig. 9.

Un’analoga definizione vale per lo spaziotempo relativo al sistema inerziale K^′, nel senso che un qualunque luogo di simultaneità è una retta parallela all’asse x, cioè r0^′ : η^′ = η0^′.

L’equazione dell’asse η^′ `e x^′ = 0. Dalle (7) si trae x^′ = x −^V_cη= 0, cio`e:

x= V cη

Quest’ultima `e l’equazione dell’asse η^′ nel riferimento (Oxη), come riportato in fig. 10.

2Consuetudine decisamenta errata, ma utilizzata in cinematica relativistica.

(8)

x₁

x Η1=ct1

Η

Η=

c v x

Figura 8: Linea di universo newtoniana del proiettile nel sistema inerziale K.

x Η

Η0

Figura 9: Gli ∞¹eventi (η0, x) si verificano nell’istante t0 = ^η_c⁰.

(9)

x Η

Η'

Figura 10: L’asse η^′ tracciato nel piano (Oxη).

Quindi, in (Oxη) l’asse η^′ è una retta per l’origine di coefficiente angolare _V^c. Per- tanto, al crescere indefinito di V , l’asse η^′ ruota attorno a O nel verso orario, e per V → +∞ è η^′ ≡ x. Applichiamo lo stesso procedimento all’asse x^′. Quest’ultimo è la retta di equazione t^′ = 0. Ma dalla prima delle (7) si ottiene:

η= 0,

che `e l’equazione dell’asse x^′ nel riferimento (Oxη). Ne consegue che x^′ ≡ x. Possiamo allora completare la figura precedente, ridisegnando la fig. 11.

A questo punto, siamo in grado di interpretare geometricamente le (7) attraverso la fig. 12.

Una conseguenza interessante dell’interpretazione geometrica o, ciò che è lo stesso, delle (7) è che i luoghi di simultaneità per K, sono luoghi di simultaneità per K^′ e viceversa. In altri termini, le (7) conservano la simultaneità degli eventi, per cui in cinematica newtoniana la simultaneità degli eventi è un concetto assoluto: due eventi che per un osservatore inerziale sono simultanei, risultano essere simultanei per ogni altro osservatore inerziale (in moto rispetto al primo).

(10)

xºx' Η

Η'

Figura 11: Gli assi coordinati x^′, η^′ tracciati nel piano (Oxη). L’asse “temporale” η^′ `e inclinato rispetto a η, mentre x e x^′ sono coincidenti.

x'ºx Η1

Η

Η'

x'₁ V x₁

cΗ1

V

cΗ1 Η'1=Η1

P

Figura 12: Un generico evento P ha coordinate x1 e η1 in (Oxη). Per passare alle nuove coordinate basta tracciare la retta parallela a η^′ e passante per P , ottenendo x^′₁ = x1− ^V_cη.

(11)

3 Cinematica relativistica

Nella sezione precedente abbiamo scritto:

η= ct e

η^′ = ct^′

Per quanto visto, c è una costante con le dimensioni di una velocità. È chiaro che non può trattarsi di una velocità fisica, poichè in tal caso cambierebbe passando al sistema inerziale K^′, in quanto soggetta alla legge di composizione (4), per cui:

c^′ = c − V (10)

Dalla (10) segue η^′ = c^′t^′, e ciò inficia il formalismo della sezione precedente. Possiamo allora tentare di definire c asserendo che tale costante universale si identifica con la massima velocità con cui si propagano le interazioni tra particelle. Ma in meccanica newtoniana le interazioni hanno un carattere non-locale (azione a distanza), per cui è c= +∞. Si noti che tale risultato assicura l’invarianza di c rispetto alle trasformazioni galileiane, poichè:

c^′ = lim

c→+∞(c − V ) = +∞,

cioè c^′ = c = +∞, ∀K^′. Tale conclusione è autoconsistente, poichè se in un assegnato sistema di riferimento inerziale K esiste un campo non-locale, tale campo esiste in ogni altro sistema di riferimento inerziale K^′ e ciò garantisce l’invarianza delle leggi della meccanica rispetto alle trasformazioni galileiane. Nonostante questa ovvia deduzione, in meccanica relativistica la velocità massima di propagazione delle interazioni è c <

+∞, precisamente si identifica con la velocit`a della luce nel vuoto. Ci aspettiamo, dunque, una legge di trasformazione diversa dalle (7) in modo da produrre una legge di composizione delle velocit`a tali che c sia la stessa in ogni sistema di riferimento inerziale. Per determinare questa nuova legge di trasformazione, passiamo per un attimo al punto 2. Qui il nostro tiratore dispone di un fucile al laser. Il ragionamento che segue si riferisce, comunque, a un raggio di luce e non necessariamente a un laser.

In fig. 13tracciamo il diagramma spaziotemporale. Abbiamo, quindi, i due eventi:

• Il raggio luminoso viene sparato nel punto x = 0 all’istante t = 0. L’evento `e il punto (0, 0) dello spaziotempo 2-dimensionale.

(12)

• Il raggio luminoso colpisce il bersaglio nel punto x1 all’istante t1 >0. L’evento `e P1(η1, x1), dove η1 = ct1.

x₁

x Η1=ct1

Η

P₁

Η=x

Figura 13: Linea di universo di un raggio luminoso che viene “sparato” in x = 0 all’istante t = 0 e colpisce il bersaglio posto in x1 nell’istante t1.

E chiaro che x` 1 = ct1, giacchè ora la costante c è la velocità della luce³. Perciò:

x²₁− c²t²₁ = 0 (11)

Ripetendo lo stesso procedimento nel sistema di riferimento inerziale K^′, si trova:

x^′21 − c²t^′21 = 0 (12)

Da ci`o segue che comunque prendiamo una coppia di eventi (η1 = ct1, x1) , (x2 = ct2, x2) associati alla propagazione di un segnale luminoso dal punto A (x1) al punto B (x2), risulta:

• (x2− x1)²− c²(t2− t1)² = 0

• (x^′2− x^′1)²− c²(t^′2− t^′1)² = 0, ∀K^′ inerziale

In altri termini, l’invarianza di c rispetto a una trasformazione di coordinate K → K^′, implica la conservazione del valore nullo della grandezza (x2− x1)²− c²(t2− t1)². Ci`o suggerisce la seguente definizione:

3A rigore `e la velocit`a della luce nel vuoto. Trascuriamo, quindi, ogni forma di interazione con la materia.

(13)

Definizione 2 Dati gli eventi P1(η1, x1) e P2(η2, x2), la grandezza:

s = q

(η2− η1)²− (x2− x1)², si chiama intervallo spaziotemporale tra P1 e P2.

Tale locuzione non deve trarre in inganno, nel senso che non si riferisce a un intervallo temporale, n`e a una distanza tra due punti. Incidentalmente, dalla (11) si ha s² = 0, dove s `e l’intervallo spaziotemporale tra gli eventi (0, 0) e (ct1, x1) associati alla propagazione di un raggio luminoso. In altri termini, abbiamo un intervallo nullo per tale coppia di eventi separati nel tempo e spazialmente distanti. Inoltre, dalla (12) discende:

∃K | s = 0 =⇒ s^′ = 0, ∀K^′ (13)

La definizione precedente introduce una metrica pseudoeuclidea:

ds² = dη²− dx²,

e, quindi, una struttura di spazio pseudoeuclideo all’insieme di punti (8). Ricapitolan- do:

ds² =







dη²+ dx², spaziotempo newtoniano

dη²− dx², spaziotempo relativistico (14) Nel caso newtoniano, l’intervallo spaziotemporale s `e la distanza tra gli eventi assegnati P1 e P2. Quindi, s = 0 se e solo se P1 ≡ P2. Per quanto precede, nel caso relativistico si ha s = 0 ; P1 ≡ P2. Pi`u precisamente, s = 0 se e solo se P1 e P2 sono gli eventi associati alla propagazione di un raggio di luce. Per una coppia di eventi infinitamente vicini:

ds² = dη²− dx² = c²dt²− dx²

Nel caso relativistico, poi, vale la propriet`a (13), cio`e se l’intervallo spaziotemporale

è nullo in K, è nullo anche in ogni altro sistema di riferimento inerziale K^′. È facile convincersi che tale risultato è valido anche nel caso newtoniano, ed esprimendo ciò in termini differenziali:

ds² = 0 =⇒ ds^′2 = 0 Pi`u in generale ci aspettiamo:

ds^′2 = ds²

(14)

Cio`e s² `e un invariante rispetto alle trasformazioni galileiane nel caso newtoniano e rispetto a (ignote) trasformazioni di coordinate (η, x) → (η^′, x^′) nel caso relativistico. Per determinare le trasformazioni nel caso relativistico, consideriamo la coppia di eventi⁴ (0, 0) e (ct, x). Deve essere:

c²t²− x² = c²t^′2− x^′2

E facile verificare che tale relazione `e verificata dalla trasformazione:`







x^′ = x cosh ψ + ct sinh ψ

ct^′ = x sinh ψ + ct cosh ψ (15)

Per x^′ = 0 si ottiene x = −ct tanh ψ, cio`e:

tanh ψ = −V c, giacch`e ^x_t = V . Segue:

sinh ψ = tanh ψ

p1 − tanh²ψ = −

V c

q 1 − ^V_c2²

cosh ψ = 1

p1 − tan²ψ = 1 q

1 − ^V_c²² Sostituendo nelle (15):

L :







x^′ = ^q^{x−V t}

1−^{V 2}

c2

t^′ = ^t−

V c2x q

1−^{V 2}

c2

(16)

Le (16) sono le trasformazioni di Lorentz, le uniche trasformazioni che lasciano invariato l’intervallo spaziotemporale s² = (ct)²− x² e quindi la velocità c. Il prezzo da pagare è il seguente: la distruzione della conservazione della simultaneità degli eventi, come illustrato in fig. 14.

***

Siamo ora in grado di studiare il caso 1 nel formalismo della cinematica relativistica.

Il corrispondente diagramma spaziotemporale `e tracciato in fig. 15.

La linea di universo del proiettile ha equazione ct = _v^cx (retta di colore viola).

E meno inclinata di ct =` _V^cx, in quanto assumiamo v > V . In ogni caso `e v < c, per cui ha una inclinazione maggiore della semibisettrice del primo e terzo quadrante,

4D’ora in avanti, indicheremo con ct la coordinata η.

(15)

x ct₁=ct2

ct

HctL':ct=

c V x

x':ct=

V c x

ct=x

P₁ P₂

ct'₂ ct'₁

Figura 14: I nuovi assi x^′ e ct^′ tracciati nello nello spaziotempo Ox (ct). L’asse x^′ è ora inclinato (ct^′ e x^′ sono simmetrici rispetto alla bisettrice ct = x). La conseguenza di ciò è che se P1 e P2 sono eventi simultanei per K, non lo sono per K^′, poichè t^′1 > t^′2.

(16)

x₁

x ct₁

ct

HctL':ct=

c V

x ct=

c v x

x':ct=

V c x

ct=x

P ct'₁

Figura 15: Diagramma spaziotemporale associato ai due sistemi di riferimento inerziale K, K^′. La linea di universo del proiettile `e un segmento appartenente alla semiretta viola (di equazione ct = _v^cx).

(17)

ovvero la semiretta di equazione ct = x (linea di universo di un raggio di luce emesso in x = 0 a t = 0 e che si propaga nel verso delle ascisse crescenti). Nel sistema di riferimento inerziale K l’arrivo del proiettile sul bersaglio `e rappresentato dall’evento P(ct1, x1). Nel sistema di riferimento K^′, invece, il proiettile colpisce il bersaglio nell’istante t^′1 < t1. Per determinare t^′1, utilizziamo le trasformazioni di Lorentz:

t^′₁ = t1− _c^V²x1

q 1 − ^V_c²² Ma x1 = vt1, onde:

t^′₁ = t1

1 −^{V v}_c² q

1 −^V_c²²

(17)

Ci`o implica:

V, v ∈ (0, c) =⇒ 0 < t^′1 < t1 (18) La (18) ci sta dicendo che per il tiratore T (i.e. per un osservatore in quiete nel sistema inerziale K^′) il proiettile colpisce il bersaglio in un istante t^′1 < t1 ma, in ogni caso (i.e.

∀V, v ∈ (0, c)) è t^′1 > 0, cioè dopo aver sparato. Ciò è consistente con il principio di causalità. Incidentalmente, notiamo che s²1 >0, dove s1 è l’intervallo spaziotemporale tra gli eventi (0, 0), (ct1, x1). Infatti:

s²1 = c²t²1− x²1 =

x1=vt1

c²t²1

1 − v²

c²

>0,

onde, per l’invarianza relativistica, `e s² >0 in ogni sistema di rifermento inerziale. Ci`o si esprime dicendo che (0, 0), (ct1, x1) sono separati da un intervallo del genere tempo.

Tale condizione è vitale per la non violazione del principio di causalità, per cui diremo che detti eventi sono causalmente connessi. Alternativamente, possiamo asserire che il proiettile colpisce il bersaglio nel futuro di ogni osservatore inerziale, nel senso che venendo sparato a t = 0, colpirà il bersaglio a t1 >0. Ciò è vero anche se il fucile spara fotoni, anzichè proiettili. In tal caso è v = c e la (17) porge:

t^′1 = t1

1 −^V_c²² q

1 −^V_c²²

Arrivati a questo punto, chiediamoci: cosa succede se il fucile spara particelle superluminali? Se la velocit`a della pedana `e V ∈

c² v, c

, allora il proiettile colpisce il bersaglio nel passato del tiratore. In altri termini, il proiettile colpisce il bersaglio prima di essere sparato (violazione della causalità). Ciò può essere visto sia per via grafica che per via analitica. Infatti, dal grafico di fig. 16 vediamo che t^′1 <0 se e solo se la linea

(18)

di universo del bersaglio `e una retta con coefficiente angolare minore del coefficiente angolare dell’asse x^′. Cio`e:

t^′1 <0 ⇐⇒ c v < V

c ⇐⇒ V > c²

v (19)

x₁

x ct₁

ct

HctL':ct=

c V x

ct=

c v x

x':ct=

V c x ct=x

P

ct'₁

Figura 16: Diagramma spaziotemporale associato ai due sistemi di riferimento inerziale K, K^′, nel caso di proiettile superluminale (v > c).

Allo stesso risultato si giunge per via analitica. Infatti, dalla (17) riscritta come:

t^′1 = t1

1 −^V_cα q

1 − ^V_c²² ,

con α = ^v_c >1, si ha:

t^′1 <0 ⇐⇒ 1 − V

cα <0 ⇐⇒ V > c α = c²

v ,

cioè la (19). Ne concludiamo che nel caso di proiettili superluminali (caso 3) se la velocità della pedana è V ∈

c² v, c

, il tiratore sparer`a proiettili superluminali che colpiscono il bersaglio nel passato.