Introduzione al corso

Introduzione al corso

Per l'insegnamento di numerosi argomenti in maniera creativa e stimolante e per la creazione di modelli di supporto allo studio di problemi, sia in ambito matematico che fisico, è sicuramente di grande aiuto l'uso di software dedicati. In particolare la conoscenza di un linguaggio funzionale mette in luce l'importanza di costruire algoritmi che consentano la soluzione di determinati problemi.

È per questo motivo che ho scelto di dedicare il corso all'utilizzo del software Derive, con particolare attenzione alla programmazione che tale pacchetto consente che può essere presentato a complemento o a sostituzione di un linguaggio dichiarativo come il Pascal.

In Derive sono infatti presenti i tre oggetti logici fondamentali per la costruzione di un programma strutturato a cui è riconducibile un qualunque programma proprio (Teorema di BÖHM-IACOPINI:

Dato un programma proprio P è possibile costruire un programma strutturato S(P) equivalente a P).

Sappiamo infatti che gli unici costrutti didattici della programmazione strutturata risultano essere :

• la sequenza

• l'alternativa

• il ciclo

che come vedremo sono presenti in Derive.

A tale scopo, dopo una breve descrizione dei comandi disponibili nel programma, verranno in particolare trattati quelli fondamentali come strutture della programmazione:

1. variabili e funzioni;

2. vettori e matrici;

3. VECTOR per la realizzazione di procedimenti associati al ciclo enumerativo;

4. ITERATE e ITERATES per l'iterazione funzionale;

5. gli statement condizionali e gli operatori logici;

6. definizione di funzioni in modo ricorsivo, utilizzando IF e DECLARE FUNCTION.

L'uso della finestra grafica sarà proposto soprattutto per avanzare congetture sui limiti di alcune successioni, per trasformazioni geometriche piane e rappresentazioni di funzioni.

I corsisti, all'interno delle venticinque ore previste per il Laboratorio, risolveranno alcuni esercizi inerenti agli argomenti suddetti e concluderanno l'attività con la produzione d'unità didattiche spendibili nell'insegnamento.

In conclusione la finalità che mi propongo è di evidenziare come l'uso di un adeguato software, che consenta di "manipolare oggetti della matematica", possa aiutare l'allievo nello sviluppo dell'intuizione, della capacità di formulare delle ipotesi e di produrre modelli adeguati per l'analisi di un problema.

INTRODUZIONE ALL'USO DEL PROGRAMMA DERIVE

DERIVE FOR WINDOWS, come tutti i programmi che lavorano sotto WINDOWS, ha una finestra di accesso che comprende:

• la barra del titolo;

• la barra del menu;

• la barra dei pulsanti per l'accesso rapido ai comandi;

• la barra di stato.

E' possibile inoltre utilizzare la finestra di algebra per calcoli anche di livello avanzato o la finestra grafica per avere le rappresentazioni grafiche di quanto impostato nella finestra di algebra.

Per acquistare pratica nell'uso di DERIVE è, inizialmente, sufficiente l'uso della barra dei pulsanti per l'accesso rapido ai comandi, il cui utilizzo è evidenziato da un'etichetta che compare accostando ad essi il mouse; il contenuto dei comandi della barra del menu si può visualizzare con un clic del mouse.

Vediamo adesso in dettaglio i comandi di interesse per gli argomenti che svilupperemo nel nostro corso.

1. Le variabili

In derive è possibile utilizzare variabili a cui non è assegnato alcun valore. I nomi di queste variabili possono essere di una sola lettera o di più lettere.

La scelta di utilizzare variabili di una sola lettera o di più lettere avviene attraverso il comando Declare Algebra State Input...Con Input Mode Word possiamo usare nomi composti da più lettere (in questo caso è necessario separare le variabili con uno spazio o un segno di operazione), con Input Case Intensive non occorre distinguere tra maiuscolo e minuscolo.

Per assegnare una variabile possiamo utilizzare Declare variable o battendo direttamente nome e valore, per esempio x:=-1 o semplicemente x:= come variabile libera .

Osserviamo la presenza dell' operatore di assegnazione := da non confondere con il segno di uguale.

2. Le funzioni

La definizione e l'uso delle funzioni è fondamentale in Derive per la programmazione in questo linguaggio.

Derive possiede un certo numero di funzioni predefinite, per averne l'elenco basta consultare l'help presente nel programma. E' possibile inoltre definire una nuova funzione utilizzando il comando Declare Function o scegliendo Author e digitandone l'espressione, ad esempio F1(x):=(1+x)/(1+x^2) assegnata la funzione Derive attribuisce ad F1(x) l'espressione (1+x)/(1+x^2) fino a nuova definizione.

Notare che anche questa volta il simbolo di assegnazione usato è :=.

Una funzione definita dall'utente può essere utilizzata per definirne un'altra a partire da essa, ad esempio F2(x):=5+F1 diventa F2(x):=5+(1+x)/(1+x^2) , digitando F2(3) e chiedendo di semplificare si ottiene 27/5.

3.Vettori e Matrici

I vettori e le matrici possono essere dichiarati mediante il comando Author Vector e Author Matrix rispettivamente, le loro componenti possono essere numeri, variabili o funzioni.

Quando le dimensioni lo consentono una matrice viene visualizzata sullo schermo in forma di tabella preceduta e seguita da parentesi quadre; in caso contrario viene riscritta nella stessa forma con cui è introdotta, cioè come vettore di vettori riga.

Bisogna notare la differenza tra queste tre scritture , che coinvolgono gli stessi elementi:

vettore di componenti [[a,b,c]]

Matrice 1x3 (una riga e tre colonne) [[[[a, b, c]]]]

Matrice 3x1 (tre righe e una colonna) [[[[a ]], [[b]] ,[[c]]]] .

E' possibile eseguire tutte le operazioni tra matrici , compreso il calcolo della trasposta (il simbolo per la trasposta è l'accento grave che si ottiene digitando Alt e battendo 96 sul tastierino numerico) e dell'inversa elevando a potenza -1 la matrice; nel caso di matrici singolari l'inversa non può essere calcolata e viene riscritta la matrice.

4. Vettori, Matrici e Grafica

Per tracciare un grafico bisogna introdurre l'espressione di cui si vuole tracciare il grafico e poi passare alla "finestra grafica": ad esmpio battiamo SIN(x) e poi scegliamo Plot passando alla finestra grafica; battendo ancora Plot si ottiene il grafico.

Vogliamo adesso evidenziare come sia possibile ottenere grafici di altro tipo oltrea quello di una funzione di una variabile,utilizzando le strutture di vettore e matrice.

Se introduciamo il vettore [[1,2 ]] viene segnato il punto di coordinate (1,2), per ottenere n punti si devono assegnare n coppie di di coordinate equindi una matrice n x 2; ad esempio scriviamo [[[[0,1]], [[3,2]] ,[[1,1]]]] e battiamo due volte Plot.

Se scriviamo un vettore di due funzioni [[COS(t),SIN(2t)]]viene tracciata la curva di equazioni parametriche y=cost x=sin2t ; assegnando un matrice nx2 vengono tracciati n grafici parametrici, assegnando un vettore di dimensione n vengono tracciati i grafici di n funzioni.

6.L'USO DI VECTOR

L'uso di VECTOR è fondamentale per la realizzazione di cicli enumerativi.

Partiamo da un esempio, supponiamo di volere tabulare i quadrati degli interi da 1 a 10, per fare questo utilizziamo la funzione VECTOR la cui sintassi è:

VECTOR(u, n, n_min, n_max, passo) oppure VECTOR(u, n, n_min, n_max,) dove

• u è in generale una funzione di n

• n è la variabile

• n_min e n_max sono gli estremi entro cui varia n

• passo definisce l'incremento della variabile e può essere omesso nel caso di n intero Vediamo degli esempi: per realizzare la tabella dei quadrati degli interi scriviamo

VECTOR(n^2,n,1,10) da cui applicando SIMPLIFY si ha

[1,4,9,16,25,36,49,64,81,100]

Il valore nmin può essere omesso e in tal caso viene assunto per default uguale ad 1, ad esempio:

VECTOR(x^n,x,2.5) [x,x^2]

se n_max non è intero viene approssimato al massimo intero minore.

In alcuni casi possono essere applicati ai vettori costruiti tramite VECTOR dei comandi o delle funzioni che agiscono sulle singole componenti dei vettori. Ad esempio scriviamo:

VECTOR(x^n-1,n,2,4)

Applicando Simplify si ha:

[x^2-1,x^3-1,x^4-1]

applicando Simplify Factor si ha:

[(x-1)*(x+1),(x-1)*(x^2+x+1),(x-1)*(x+1)*(x^2+1)]

Mediante l'uso iterato di Vector si possono definire matrici; questo procedimento è molto utile anche per rappresentazioni grafiche.

Esempio 1.

Tracciare il grafico di una successione u(n), evidenziando nel piano cartesiano i punti (n,u(n)), con n che varia da 1 a k.

Se u(n)=(-1)^n/n e k=10 scriviamo

VECTOR([[n,(-1)^n*1/n ]],n,1,10) si ottiene la matrice 10x2:

[[1,-1], [2,1/2], [3,-1/3],[4,1/4], [5,-1/5], [6,-1/6], [7,-1/7], [8,1/8], [9,-1/9], [10,-1/10]]

di cui possiamo tracciare il grafico.

ESEMPIO 2.

Costruire la tavola pitagorica di 10 elementi.

Si tratta di costruire la matrice il cui elemento(i,j) è il prodotto i*j, per fare questo si itera la funzione Vector.

VECTOR(VECTOR(i*j,j,1,10),i,1,10)

Che semplificato fornisce

ESERCIZI SULL'USO DI VECTOR Esercizio 1.

Definire una tabella (n,u(n)), dove u(n) è una successione dipendente esplicitamente da n e visualizzarne il grafico.Si possono ad esempio studiare le successioni:

1. u(n) = SIN(n) 2. u(n) = (1+ 1/n)^n 3. u(n) = 1/(MOD(n,5)+1)

Eercizio 2.

Studiare mediante un'apposita tabulazione e la visualizzazione grafica dei risultati ottenuti, la relazione esistente tra il logaritmo naturale di n (è la funzione LN(n)) e

Per rendere più significativo il risultato, considerare n=100, 200, ...,1000, utilizzando Simplify Approximate (con 6 cifre). Dalle tabulazioni e dai grafici ottenuti che cosa si può congetturare per S(n)/Ln(n) e S(n)-Ln(n) ?

Esercizio 3.

Creare una tabella (n,u(n)) dove u(n) è il polinomio xⁿ-1 decomposto in fattori primi sui razionali.

Attenzione :n non deve essere visualizzato in forma fattorizzata.

Esercizio 4.

Studiare la possibilità, iniziando da alcuni esempi di decomporre sugli interi il polinomio x⁴ + m, con m intero e positivo. É quasi immediato che m deve essere un quadrato perfetto: m=n² . Congetturare la forma che deve avere n e dimostrare la congettura.

ALCUNE FUNZIONI RELATIVE A MATRICI E VETTORI

Vi sono alcune funzioni relative a matrici e vettori molto utili nelle programmzione. Per introdurle partiamo da un vettore v ed una matrice m

v:=[a,b,c,d,e,f]

m:=[[a,b],[c,d],[e,f]]

La funzione DIMENSION(v) applicata ad un vettore fornisce il numero di elementi di v; applicata ad una matrice fornisce il numero di righe della matrice.

DIMENSION(v) 6

DIMENSION(m) 3

La funzione

• ELEMENT(v,k) applicata ad un vettore fornisce il k-esimo elemento del vettore;

• ELEMENT(m,i,j) applicata ad una matrice fornisce l'elemento di posto (i,j) della matrice;

• ELEMENT(m,k) applicata ad una matrice fornisce la riga k-esima della matrice.

ELEMENT(v,3) c

ELEMENT(m,2,1) c

ELEMENT(m,2) [c,d]

La funzione APPEND(v1,v2,..., vn) applicata ai vettori v1, v2, ... ,vn fornisce un unico vettore che ha come componenti le componenti dei vettori v1, v2, ... ,vn.

v1:=[1,2,3]

v2:=[3,2,1]

APPEND(v1,v2) [1,2,3,3,2,1]

Una osservazione finale: la funzione VECTOR può essere usata in modo più generale di quanto visto finora, in quanto ogni componente del vettore può essere uno scalare, un vettore o una struttura più complicata.

7. L'iterazione funzionale

Una delle caratteristiche di base del linguaggio di programmazione di DERIVE è di consentire l'iterazione del calcolo di una funzione.

Partiamo da un esempio basato sul calcolo della soluzione approssimata dell'equazione x=cosx, si tratta in altri termini di trovare il punto fisso dell'applicazione che associa x a cosx..

Dall'esame del grafico sappiamo che tale soluzione è unica ed è compresa tra 0 e Π/2; questo significa che possiamo partire da un valore approssimato compreso tra 0 e Π/2 per la soluzione, ad esempio 1, calcolare cos1, quindi

cos (cos1) e proseguire in questo modo verificando di volta in volta se si ottiene l'uguaglianza tra x e cosx. In questo caso la successione così costruita tende ad un numero reale che è una soluzione dell'equazione considerata.

Per realizzare il calcolo iterato utilizziamo la funzione ITERATES, una delle cui possibili sintassi è ITERATES(u(x),x,x_in)

in cui :

• viene posto x=x_in

• si calcola u(x)

• se u(x)=x oppure è un valore già presente nella sequenza il processo si arresta altrimenti si pone x=u(x) e si torna al passo precedente.

Il processo iterativo può arrestarsi se si è scelto Simplify Approximate, che approssima le quantità irrazionali a razionali con un numero di cifre dopo la virgola che è possibile predefinire. E' dunque importante esaminare con cura il processo di arresto del procedimento.

Esempio1

Applichiamo la funzione ITERATES a cos(x) per determinare un'eventuale soluzione dell'equazione cos(x)=x; si ha:

Esempio 2

Calcoliamo le potenze successive dell'unità immaginaria (che è indicata con #i) a partire da 1:

ITERATES(#i*x,x,1) si ottiene:

La funzione ITERATE ha la stessa sintassi di ITERATES e fornisce l'elemento finale dell'iterazione funzionale.

E' possibile prefissare il numero massimo di iterazioni, utilizzando la seguente sintassi:

ITERATES(u(x),x, x_in, max_num_iter)

Dove max_num_iter è il numero totale di iterazioni.

Il valore iniziale può anche essere simbolico; è così possibile calcolare la composizione di una funzione con se stessa .Determinare ad esempio il vettore: ITERATES(1/(1+x),x,x,5) e tracciarne il grafico.

Esempio 3

La funzione da iterare può ovviamente essere assegnata sotto forma di vettore, in tal caso il valore iniziale deve essere un vettore. Costruiamo una matrice per il calcolo delle potenze di una variabile, utilizzando la funzione ELEMENT(v,k)

Se adesso sostituiamo alla variabile x il binomio (x+1) si ha:

E applicando il comando SIMPLIFY EXPAND otteniamo lo sviluppo delle potenze del binomio

ESERCIZI SULL'ITERAZIONE FUNZIONALE

ESERCIZIO 1.

Costruire una matrice quadrata il cui triangolo inferiore sia il triangolo di Tartaglia, mentre gli elementi sopra la diagonale principale sono posti uguali a zero.

Nella risoluzione dell'esercizio utilizzare, oltre a ITERATES e VECTOR, le funzioni:

• APPEND(v1,v2) che applicata ai vettori v1 e v2 fornisce un unico vettore che ha come componenti quelle di v1 e v2

• ELEMENT(v,k) fornisce l'elemento k-esimo del vettore v.

ESERCIZIO2

Costruire una successione di vettori i cui elementi sono i numeri di Fibonacci del tipo:

[FB(0),FB(1)]= [0,1]

[FB(1),FB(2)]=[FB(1),FB(0)+FB(1)]

...

[FB(n),FB(n+1)]=[FB(n),FB(n-1)+FB(n)]

usando ITERATES o ITERATE e considerando che [0,1] è il vettore iniziale.

8.L'ALTERNATIVA E GLI OPERATORI LOGICI

Per scegliere tra diverse alternative partendo da una condizione iniziale si usa la funzione logica IF la cui sintassi è:

IF(condizione, se_vera, se_falsa, se_indecidibile)

dove

• condizione è una relazione contenente gli operatori di uguaglianza o disuguaglianza che in Derive sono =, /= (diverso),< ,>,<=,>=;

• se_vera, se_falsa sono due espressioni;

• se_indecidibile è un'espressione (facoltativa).

Derive controlla la condizione, se è vera IF restituisce l'espressione se_vera, se falsa restituisce il valore se_falsa, se indecidibile restituisce il valore se_indecidibile oppure ritorna tutta la funzione.

Per esempio

IF( x>0, 1, -1) che per x>0 restituisce il valore 1 e per x<=0 restituisce il valore -1 IF(x>0, x^2, x+1) che dà un ramo di parabola per x>0 e una semiretta per x<=0 (tracciare i grafici delle due funzioni )

La funzione IF può essere nidificata, in altri termini l'espressione se_vera o se_falsa possono contenere degli IF

Ad esempio F(x):=IF(x=0,0,IF(x>0,1,-1) è la funzione segno(0 per x=0, x/ x per x≠≠0)

Per un uso corretto di IF( nella dichiarazione della condizione) e per collegare delle relazioni si possono utilizzare gli operatori logici AND, OR, NOT:

• p AND q restituisce il valore "vero" solo quando p e q sono entrambe vere

• p OR q restituisce il valore "vero" se almeno una delle due è vera

• NOT p è "vera" se p è "falsa" e viceversa.

Ad esempio F(x):= IF( x>0 AND x<2,1,0) è la funzione che vale 1 tra 0 e 2.

9.LE FUNZIONI RICORSIVE

In Derive è possibile definire le funzioni in modo ricorsivo, cioè utilizzando nella definizione della funzione la funzione stessa. Ad esempio il fattoriale

La prima parte è la "condizione terminale", la seconda la "condizione ricorsiva"; per una corretta

definizione ricorsiva la condizione terminale deve essere raggiunta dopo un numero finito di passi.

La definizione del fattoriale può essere così rappresentata:

FACT(n):=IF(n=0,1,n*FACT(n-1))

N.B. Ovviamente se diamo ad n valore fratto o negativo la condizione terminale non sarà raggiunta e Derive segnalerà la saturazione della memoria.

n!=1 se n=0

n!=n(n-1)! se n ≠ 0

L’argomento di una funzione ricorsiva non deve essere necessariamente intero; vediamo un esempio in cui la variabile è reale. Si tratta di un esempio che mette in luce un collegamento tra ricorsività e funzioni periodiche.

Supponiamo di conoscere la funzione seno( funzione di libreria indicata con SIN(x) ) solamente tra 0 e 2π; la seguente funzione SENO(x) estende a valori positivi la funzione SIN(x) sfruttandone la definizione tra 0 e 2π e la periodicità di periodo 2π :

SENO(x) := IF(0<=x<=2*pi,SIN(x),SENO(x-2*pi)) In modo analogo per x negativi:

SENO(x) := IF(0<=x<=2*pi,SIN(x),SENO(x+2*pi))

Provare ad unificare le due definizioni.

ESERCIZI SULL'ITERAZIONE FUNZIONALE

ESERCIZIO 1.

Definire mediante una funzione ricorsiva la successione delle ridotte ennesime di una serie tenendo presente che:

Osservazione in alcuni casi (ad esempio,serie che convergono lentamente) ha poco interesse calcolare tutti i termini di Sn. Modificare la definizione facendo in modo di calcolare per n=10,20,30,40...

ESERCIZIO2

Calcolare il MCD di due numeri naturali introducendo una funzione ricorsiva basata sul metodo delle divisioni successive, utilizzando la funzione MOD(m,n) e tenendo presente che MCD(m,n)=n se m=0.

ESERCIZIO 3

Per parte intera di un numero si intende il massimo intero relativo minore o uguale al numero dato.

Definire una funzione P_INT(x) in modo ricorsivo (dapprima per x>=0, poi per un generico numero reale) osservando che P_INT(x) =0 per 0<=x<1 e tenendo presente che ad ogni passaggio eseguito dalla funzione ricorsiva bisogna eseguire un aggiustamento in uscita(aggiungendo per esempio 1 se x >0)

ESERCIZIO 4

In teoria dei numeri si definisce la funzione ππ (n), che al numero naturale n associa il numero di primi minori o uguali ad n. La stima di ππ (n) costituisce uno dei problemi più importanti della teoria dei numeri .

Possiamo fare delle congetture sul comportamento di tale funzione usando DERIVE.

Abbiamo a disposizione la funzione di libreria NEXT_PRIME(n), che ad n associa il minimo numero primo maggiore di n. Si può definire inoltre la funzione :

v(n):= ITERATES(NEXT_PRIME(K),k,1,n) che fornisce i primi n numeri primi. Mediante questa funzione tabulare e tracciare il grafico di ππ (n) e confrontarlo con la funzione f(x):=x/LN(x) e successivamente con f1(x):= x/LN(x)+x/LN²(x).

S

= a

S

= S

+ an

Trasformazioni Geometriche e Matrici per trasformazioni geometriche Fissiamo un piano ï su cui è definita un'unità di misura e quindi una distanza tra i punti.

Chiamiamo figura un qualunque sottoinsieme di ï.

Chiamiamo trasformazione geometrica del piano una qualunque funzione biunivoca che di ï in sé . L'insieme delle trasformazioni geometriche è un gruppo rispetto all'operazione di composizione tra funzioni.

Daremo qui di seguito alcuni cenni sulle trasformazioni geometriche nel piano che più ci interessano nel piano cartesiano ortogonale.

ISOMETRIE

Chiamiamo isometria del piano una trasformazione geometrica che conserva le distanze, per esempio:

1) Traslazione di vettore v, priva di punti fissi;

2) Rotazione di centro D ed angolo ö, che mantiene fisso il punto D;

3) Simmetria rispetto ad una retta r, che mantiene fissi tutti e soli i punti di r.

Si dimostra inoltre che :

-Fissati tre punti del piano e le loro immagini esiste ed è unica l'isometria in cui tali punti si corrispondono

Un'isometria è dunque determinata una volta che si conoscano le immagini dei vertici di un triangolo.

Una similitudine si dice diretta (inversa) se, dato un triangolo ABC, l'orientamento del triangolo coincide (non coincide) con l'orientamento del triangolo corrispondente.

L'insieme delle isometrie del piano è un sottogruppo del gruppo delle trasformazioni geometriche che ha :

1. la trasformazione identica come unità;

2. se f è un'isometria anche f ^-1 è un'isometria

3. la composizione di due isometrie è ancora un'isometria.

Oltre alle distanze tra punti sono invarianti per le isometrie:

Le circonferenze, i segmenti, le rette, il parallelismo tra rette, la perpendicolarità tra rette, l'ampiezza degli angoli.

TEOREMI SULLE ISOMETRIE

-Ogni isometria è composizione di tre simmetrie assiali -Teorema di Chasles(1831).Sia f un'isometria. Si ha allora:

f diretta senza punti fissi se e solo se f =traslazione di vettore non nullo;

f diretta con punti fissi se e solo se f =rotazione di angolo eventualmente nullo f inversa con punti fissi se e solo se f = simmetria assiale

f inversa senza punti fissi se e solo se f = traslazione o simmetria assiale con v#0 e parallelo ad r (v vettore di traslazione ed r asse di simmetria).

I due teoremi precedenti mostrano la possibilità di decomporre un'isometria mediante traslazioni , rotazioni e simmetrie assiali.

In particolare:

Sia fissato un punto D del piano ed una retta r passante per D e sia f un'isometria , allora:

f diretta se e solo se f = traslazione o rotazione

f inversa se e solo se f = traslazione o rotazione o simmetria assiale con D centro di simmetria ed r asse di simmetria.

Equazioni delle isometrie

Consideriamo innanzitutto una traslazione t di vettore v=(a, b)e un punto P(x, y). Rappresentando il punto P e il vettore v con le seguenti matrici:

P= [x,y]

v=[a,b]

si ottiene l'equazione della traslazione sommando i due vettori

t([x,y])= [x,y] + [a,b]

In modo analogo la simmetria assiale rispetto all'asse x è rappresentata dalla matrice

E la rotazione di centro l'origine dalla matrice

Sia ora f un'isometria diretta. Da quanto detto precedentemente f = traslazione o rotazione

Scegliamo l'origine del sistema di riferimento nel centro di rotazione abbiamo allora che il corrispondente di un punto P(x,y) in una qualunque isometria diretta è dato da :

Sia f un'isometria inversa. Da quanto detto prima

f inversa = traslazione o rotazione o simmetria assiale

Possiamo scegliere come centro di simmetria l'origine del sistema di riferimento e come asse di simmetria l'asse x, abbiamo allora che il corrispondente di un punto P(x,y) in una qualunque isometria inversa è

SIMILITUDINI

È una trasformazione del piano che conserva i rapporti tra le distanze; tale rapporto costante k si chiama rapporto di similitudine.

Ttre punti del piano e le loro immagini individuano una ed una sola similitudine

Una similitudine si dice diretta (inversa) se, dato un triangolo ABC, l'orientamento del triangolo coincide (non coincide) con l'orientamento del triangolo corrispondente.

In particolare

1. se k=1 si ha un'isometria

2. dato un punto D e un k>0, la trasformazione h D,K tale che

h D,K (D)=D e se P D h D,K(P)=P' con P' appartenente alla semiretta di origine D e passante per P e DP' = k*DP .

Chiamiamo questa trasformazione omotetia di centro D e rapporto k

Anche l'insieme delle similitudini è un sottogruppo del gruppo delle trasformazioni del piano

( l'identità è una similitudine, se f è una trasformazione anche f^-1è una similitudine di rapporto 1/k, se f e g sono similitudini f o g è una similitudine di rapporto k*h).

TOREMA

Sia f una similitudine di rapporto k. Fissato un punto D , esiste allora una isometria g tale che f= g o h D,K

f è diretta se e solo se g è diretta.

Sono proprietà invarianti per similitudine:

circonferenze, segmenti, rette, parallelismo, perpendicolarità, ampiezza degli angoli

Fissato un sistema d'assi cartesiani e scegliendo D coincidente con l'origine del sistema di riferimento si ha che la matrice associata all'omotetia è:

Dato un punto P= [x,y] il corrispondente P'[kx,ky] nell'omotetia si ottiene infatti dal prodotto

In base al TEOREMA citato sulle similitudini il corrispondente di P in una similitudine di centro l'origine e rapporto k dunque è :

Con d=± 1 e

ESEMPI DI TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE UTILIZZANDO DERIVE

QUALCHE ESEMPIO GRAFICO OTTENUTO CON LE PRECEDENTI ESPRESSIONI