10.3) Siano r e r 0 due rette distinte nel piano proiettivo. La prospettivit` a di r su r 0 di centro il punto O( / ∈ r ∪ r 0 )

Universit` a degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Matematica.

Geometria 2 a.a. 2014-15 decimo incontro

10.1) Nel piano euclideo reale, sia fissato un sistema di coordinate (x, y). Considera l’affinit` a di equazioni x <sup>0</sup> = 3x − 2y + 7, y <sup>0</sup> = 10x + y − 3 e descrivi le equazioni della proiettivit` a indotta sul completamento proiettivo.

10.2) Nel piano proiettivo numerico reale, considera la proiettivit` a ϕ del piano in se stesso, di equazioni ϕ([X 0 , X 1 , X 2 ]) = [3X 0 , X 0 + X 1 + 4X 2 , 2X 0 + 2X 1 + 3X 2 ]. Controlla se ϕ ` e indotta da una affinit` a del piano affine (pensato come sottoinsieme attraverso l’inclusione standard).

10.3) Siano r e r ⁰ due rette distinte nel piano proiettivo. La prospettivit` a di r su r ⁰ di centro il punto O( / ∈ r ∪ r ⁰ )

`

e la proiettivit` a ϕ O : r → r <sup>0</sup> che coincide con la restrizione a r della proiezione dal punto O su r <sup>0</sup> , cio` e ϕ O (P ) = (r ⁰ ∩ (O ∨ P ) ∀P ∈ r.

a) L’inversa di una proiettivit` a ` e a sua volta una prospettivit` a? In caso positivo, quale ne ` e il centro?

b) La composizione di prospettivit` a ` e a sua volta una prospettivit` a?

O

A B C D

D

C

B

A

C

D

A

B

r

P

H

10.4) Siano r e r ⁰ due rette distinte nel piano proiettivo, e sia H = r ∩ r ⁰ . Sia fissata una proiettivit` a ϕ : r → r <sup>0</sup> e si denoti con P <sup>0</sup> = ϕ(P ) l’immagine del punto P (∀P ∈ r). Siano A, B, C tre punti a due a due distinti di r, chiedendo inoltre che A 6= H, A <sup>0</sup> 6= A. Siano ˜ B = (A ∨ B <sup>0</sup> ) ∩ (A <sup>0</sup> ∨ B), ˜ C = (A ∨ C <sup>0</sup> ) ∩ (A <sup>0</sup> ∨ C). Lo spazio congiungente ˜ r = ˜ B ∨ ˜ C ` e detto asse di collineazione.

a) Mostra che ˜ B 6= ˜ C e ˜ r ` e una retta.

b) Mostra che la prospettivit` a ϕ A

di r su ˜ r di centro A verifica ϕ A

(B) = ˜ B, ϕ A

(C) = ˜ C.

c) Mostra che ϕ coincide con la composizione ϕ A ◦ ϕ A

di ϕ A

con la prospettivit` a ϕ A : ˜ r → r <sup>0</sup> . d) La proiettivit` a pu` o essere rappresentata graficamente. Disegna l’immagine del punto D in figura.

H

A

A

B

B

C

C

D

e) Mostra che ϕ ` e una prospettivit` a se e solo se l’asse di collineazione passa per H.

f) Mostra che ogni proiettivit` a tra rette pu` o essere espressa come composizione di al massimo tre prospet-

tivit` a.