t ( R ) 0 ( R ) t ( R >= 0 &lt

B.1

B Dinamica Langevin

B.1 Equazione di Langevin

L’equazione di Langevin è:

) t ( R ) t ( v m )

t ( v

m&r = r + r (B.1)

dove m è la massa della particella, v la sua velocità, è il coefficiente di attrito del fluido, Rr(t) è una forza stocastica con le seguenti proprietà:

0 ) t (

R >=

< r

(B.2a) 0

) 0 ( v ) t (

R >=

< r r

(B.2b) )

t ( R ) 0 ( R ) t (

R >= ₀

< r r

(B.2c)

La soluzione di B.1 è la seguente:

+

= ^t

0

s t

t e dsR(s)e

e ) 0 ( v m ) t ( v

mr r (B.3)

Calcolando il valor medio e la media del quadrato:

e t

) 0 ( v m ) t ( v

m<^r >= <^r > (B.4)

[ ^2t]

0 t 2 2

2 t 0

0 ) s s ( t

0 t 2

t 2 2 2 2

2

e 2 1 e R ) 0 ( v m

) s s ( R e s d ds e

e ) 0 ( v m )

t ( v m

+

+

>

<

=

= +

+

>

<

>=

<

r

r r

(B.5)

Ora si possono calcolare alcune utili quantità.

B.2

B.2 Funzione di autocorrelazione della velocità

Applicando (B.3) e (B.2b):

( ) ^{t B e t}

m T e k

) 0 ( v ) 0 ( 3 v ) 1 t ( Z t v ) 0 ( 3 v

1<r r >= = <r r > = (B.6)

Dove si è tenuto conto che: k T 2 mv 3 2 1

B

2 = (B.7)

B.3 Coefficiente di diffusione

Applicando la formula di Green-Kubo si calcola il coefficiente di diffusione D:

=

=

0

B

m T ) k t ( dtZ

D (B.8)

B.4 Coefficiente di attrito

Tenendo conto di (B.5):

>=

< 2

) R t ( v m

lim ^{2 2 0}

t

r (B.9)

e applicando (B.7):

T mk 2 3

R

B

0 = (B.10)

da cui:

>

<

=

=

0

0 2 dt R(0)R(t)

m R 6

m 6

r

r (B.11)

B.3 Dove si mette in relazione il coefficiente di attrito con la funzione di correlazione della forza casuale: è un esempio del teorema di fluttuazione-dissipazione.

B.5 Spostamento quadratico medio

Moltiplicando (B.1) per rr(t):

) t ( r ) t ( R ) t ( r ) t ( v m )

t ( r ) t ( v

m&r r = r r + r r (B.12)

e tenendo conto:

2 2

2 2

dt v r d 2 r 1 r v

r &r=r &&r=

r (B.13)

r2

dt d 2 r 1 r v

r r =r &r=

r (B.14)

si ottiene:

) t ( R ) t ( r ) t ( dt r m d 2 ) 1 t ( v m ) t ( dt r m d 2

1 2 2 2

2

2 r r = r +r r (B.15)

Facendo la media:

m T k ) 6

t ( dt r ) d

t ( dt r

d 2 2 _B

2

2 < r >+ < r >= (B.16)

Usando le condizioni iniziali:2

>=

<

>=

<

>=

<

0 ) 0 ( v ) 0 ( r 2 ) 0 ( dt r

d

0 ) 0 ( r

2 2

r r r

r

(B.17)

si ha:

B.4 +

>=

< ^{2 B} 1 1e ^t

m t T k ) 6

t (

rr (B.18)

Considerando i casi limite:

• t<<1

ricordando: ...

2 t t 1 e

2

t + 2

2 2 B 2

2 t v t

m T k ) 3

t (

r > =< >

< r (B.19)

• >> >> 1

t 1 t

m t T k ) 6

t (

r ² > ^B

< r _(B.20)

Da confrontarsi con la (B.8):

m T ) k

t ( t r 6 lim 1

D ^{2 B}

t < >=

= r (B.21)