Programma di Analisi Matematica 2 (a.a. 2016/17)
Richiami sullo spazio Rn come spazio metrico e vettoriale. Coordinate polari e polari ellittiche di un punto nel piano.
Curve in Rn, sostegno di una curva. Interpretazione cinematica. Curve semplici e chiuse, orientamento di una curva. Equazioni cartesiane e polari di una curva piana. Curve di classe C1 e C1 a tratti. Retta tangente e vettore tangente al sostegno di una curva regolare. Punto regolare di una curva. Curve regolari e regolari a tratti.
Esempi: circonferenza, ellisse, cuspide, cicloide, astroide, elica cilindrica, cardioide e spirale.
Curve equivalenti, curva geometrica e proprietà geometriche di una curva. Lunghezza di una curva e Teorema di rettificabilità. Ascissa curvilinea e proprietà delle curve
parametrizzate mediante ascissa curvilinea. Versore normale, binormale, piano osculatore, curvatura, circonferenza osculatrice e torsione per una curva in R^3.
Equazioni di Frenet. Versore normale orientato e curvatura orientata per una curva in R^2.
Topologia di Rn: definizione di intorno circolare, di insieme aperto, chiuso, limitato, compatto. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera. Interno, frontiera e chiusura di un insieme. Punti di accumulazione e punti isolati. Proprietà elementari ed esempi.
Funzioni di due variabili reali: dominio, immagine, grafico, insiemi di livello e curve di livello. Limite per funzioni di due variabili. Teorema di unicità del limite, algebra dei limiti.
Condizione necessaria per l'esistenza del limite, passaggio alle coordinate polari e condizione necessaria e sufficiente per il calcolo dei limiti. Funzioni continue, continuità’
parziale. Teorema della permanenza del segno, massimi e minimi assoluti e Teorema di Weierstrass. Insiemi aperti connessi, connessi per archi, convessi e stellati. Teorema dei valori intermedi (dim).
Funzioni derivabili parzialmente e vettore gradiente. Significato geometrico della derivata parziale. Regole di derivazione, primo teorema di derivazione della funzione composta.
Derivata direzionale e significato geometrico. Funzioni differenziabili, interpretazione geometrica. Derivabilità delle funzioni differenziabili (dim), Formula di Taylor del primo ordine e piano tangente. Condizione equivalente alla differenziabilità. Proprietà di
continuità delle funzioni differenziabili (dim). Teorema del gradiente (dim). Interpretazione geometrica del gradiente. Teorema del differenziale (dim). Secondo Teorema di
derivazione delle funzioni composte (dim). Vettore gradiente e curve di livello. Teorema sulle funzioni con gradiente nullo in un aperto connesso (dim). Terzo Teorema di
derivazione delle funzioni composte. Massimi e minimi relativi. Teorema sulla condizione necessaria per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim). Derivate parziali seconde e matrice hessiana, Teorema di Schwartz. Formula di Taylor del II ordine. Matrici definite positive e negative e matrici indefinite. Teorema di caratterizzazione delle matrici definite positive e negative. Teorema sulla condizione sufficiente per l'esistenza di massimi e minimi relativi (dim).
Test delle derivate parziali seconde per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Ricerca di massimi e minimi relativi, esempi. Massimi e minimi assoluti in domini compatti, esempi.
Massimi e minimi vincolati. Funzioni implicite e Teorema del Dini in R2 (dim). Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (dim) e problemi di ricerca di massimi e minimi vincolati.
Superfici, sostegno di una superficie, esempi: superfici cartesiane. Cilindro e sfera, coordinate cilindriche e sferiche. Superfici regolari, versore normale e piano tangente.
Superfici semplici. Superfici equivalenti. Parametrizzazione di una superficie di rotazione.
Superfici rigate. Superfici regolari con bordo, bordo e orientamento del bordo di una superficie.
Funzioni di tre o più variabili: definizione di limite, di funzione continua, derivate parziali,
gradiente. Funzioni differenziabili e derivate direzionali. Formula di derivazione delle funzioni composte. Massimi e minimi relativi, condizione necessaria del I ordine per l’esistenza. Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Condizione sufficiente del II ordine per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Teorema del Dini e Teorema sui moltiplicatori di Lagrange per funzioni di tre variabili. Integrale dipendente da un parametro, continuità e regola di Leibniz di derivazione sotto segno di integrale
Integrale curvilineo per funzioni di n variabili. Proprietà elementari. Baricentro di un corpo filiforme.
Domini normali nel piano. Definizione di integrale doppio su domini normali. Proprietà elementari dell'integrale doppio e formule di riduzione. Proprietà di simmetria
nell'integrale doppio. Baricentro di un corpo piano.
Cambiamento di variabili ammissibile e Teorema di cambiamento di variabili nell'integrale doppio.
Coordinate polari e polari ellittiche. Esempi. Calcolo di aree e di volumi.
Integrale di superficie. Area di una superficie. Primo Teorema di Guldino sull'area di una superficie di rotazione (dim). Domini normali in R3. Integrale triplo: definizione, proprietà elementari e formule di riduzione.
Calcolo di baricentri e volumi. Cambiamento di variabili ammissibile e Teorema di cambiamento di variabili nell'integrale triplo. Coordinate cilindriche e sferiche. Esempi.
Calcolo di aree e di volumi. Teorema di Guldino.
Campi vettoriali, campi vettoriali conservativi e potenziali. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva e proprietà' elementari. Teorema sul lavoro di un campo conservativo (dim). Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi (dim). Campi vettoriali irrotazionali, Teorema sui campi irrotazionali (dim). Insiemi semplicemente connessi.
Teorema sui campi irrotazionali in insiemi semplicemente connessi (Lemma di Poincaré).
Metodi per determinare un potenziale di un campo conservativo.
Teorema di Green (dim in un rettangolo). Curve chiuse omotope e teorema di invarianza per omotopia in R^2 (dim). Applicazioni del Teorema di Green per il calcolo di aree.
Teorema di Gauss della divergenza in R2.
Flusso di un campo vettoriale, proprietà del flusso. Teorema di Gauss della divergenza in R3. Esempi
Superfici regolari con bordo, bordo di una superficie e orientamento del bordo di una superficie.
Teorema di Stokes e teorema di invarianza per omotopia in R^3.
Forme differenziali e campi vettoriali: forme differenziali esatte e chiuse, primitiva di una forma differenziale esatta. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Formule di Gauss-Green.
Equazioni differenziali ordinarie: soluzione di un'EDO e integrale generale e soluzione singolare.
Problema di Cauchy.Teorema di Cauchy di esistenza ed unicità' locale della soluzione di un problema di Cauchy. Interpretazione geometrica per equazioni del primo e del secondo ordine. Pennello di Peano. Equazioni a variabili separabili (dim). Integrale generale di equazioni differenziali lineari del I ordine (dim).
Equazioni differenziali di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee.
Soluzioni linearmente indipendenti, determinante Wronskiano. Teorema sulla condizione necessaria e sufficiente affinché due funzioni risultino linearmente indipendenti (dim).
Teorema sull'integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee (dim). Soluzioni linearmente indipendenti per equazioni differenziali lineari del II ordine omogenee a coefficienti costanti. Integrale generale di equazioni differenziali lineari del II ordine complete.
Metodo di variazione delle costanti arbitrarie e metodo della "somiglianza" per la determinazione di una soluzione particolare di un'equazioni differenziali lineare del II ordine completa a coefficienti costanti. Equazione dell'oscillatore armonico semplice, smorzato e forzato, fenomeno della risonanza.
Equazioni differenziali lineari di ordine n>2. Equazioni differenziali di Eulero.
