Asintoti di funzione
Gli asintoti di una funzione sono rette, quindi:
1 rette verticali−→ asintoti verticali
2 rette orizzontali−→ asintoti orizzontali
3 rette oblique−→ asintoti obliqui
Asintoti verticali destri e sinistri
Sia x0 punto di accumulazione per dom(f ).
La retta x = x0 `e asintoto verticale destroper f se lim
x →x0+
f (x ) = ∞ (+∞ o −∞)
La retta x = x0 `e asintoto verticale sinistroper f se lim
x →x0−
f (x ) = ∞ (+∞ o −∞)
asintoto f
y
x x0
f y
asintoto
x x0
Asintoto verticale completo
Oss.1 Se x = x0 `e sia asintoto verticale destro che asintoto verticale sinistro, si dice che `e asintoto verticale (completo).
Oss.2 Gli asintoti verticali vanno cercati agli estremi (finiti) del dominio della funzione, oppure nei punti in cui una funzione definita a tratti cambia definizione.
f
x x0
asintoto y
Asintoti orizzontali e obliqui destri
Sia +∞ punto di accumulazione per dom(f ), cio`e f sia definita in un intorno di +∞.
La retta y = mx + q `e unasintoto destrodella funzione f se esistono m e q ∈ R (ovvero valori reali finiti) tali che
x →+∞lim [f (x ) − (mx + q)] = 0
Se m = 0 l’asintoto `e orizzontale, se m 6= 0 l’asintoto `e obliquo.
Per x → +∞, la f si comporta come la retta di equazione y = mx + q:
x y
f
|f (x) − (mx + q)|
mx+ q
f(x)
tende a 0 per x → ∞ y= mx + q
Asintoti orizzontali e obliqui sinistri
Sia −∞ punto di accumulazione per dom(f ), cio`e f sia definita in un intorno di −∞.
La retta y = mx + q `e unasintoto sinistrodella funzione f se esistono m e q ∈ R (ovvero valori reali finiti) tali che
x →−∞lim [f (x ) − (mx + q)] = 0
Se m = 0 l’asintoto `e orizzontale, se m 6= 0 l’asintoto `e obliquo.
Per x → −∞, la f si comporta come la retta di equazione y = mx + q:
y
f
|f (x) − (mx + q)|
mx+ q
f(x) y= mx + q
tende a 0 per x → −∞
Asintoti orizzontali e obliqui completi
Se una retta `e un asintoto sia destro che sinistro per f , allora si dice che `e asintoto completo per f .
y
y= mx + q
f
x
Calcolo di m e q per asintoti orizz. e obl.
Consideriamo il caso di ricerca di un asintoto destro e partiamo dalla definizione:
x →+∞lim [f (x ) − (mx + q)] = 0.
Si ha:
0= lim
x →+∞[f (x ) − (mx + q)] = lim
x →+∞
f (x ) − (mx + q)
x =
= lim
x →+∞
f (x )
x − lim
x →+∞
mx
x − lim
x →+∞
q
x = lim
x →+∞
f (x ) x − m.
Quindi m = lim
x →+∞
f (x ) x . Dalla definizione di asintoto: lim
x →+∞[f (x ) − (mx + q)] = 0 ⇔
x →+∞lim [f (x ) − mx ] = lim
x →+∞q =q
Es. f (x ) =√
x2+ 1 .
Cerco asintoto destro: m = lim
x →+∞
f (x )
x = lim
x →+∞
√ x2+ 1
x = 1,
q = lim
x →+∞[f (x ) − mx ] = lim
x →+∞
px2+ 1 − x =
x →+∞lim (√
x2+ 1 − x )(√
x2+ 1 + x )
√
x2+ 1 + x = lim
x →+∞
x2+ 1 − x2
√
x2+ 1 + x = 0.
Ho un asintoto obliquo destro y = x .
Cerco asintoto sinistro:
m = lim
x →−∞
f (x )
x = lim
x →−∞
√ x2+ 1
x = lim
x →−∞
−xp1 + 1/x2
x = −1,
q = lim
x →−∞[f (x ) − mx ] = lim
x →−∞
px2+ 1 + x =
x →−∞lim (√
x2+ 1 + x )(√
x2+ 1 − x )
√
x2+ 1 − x = lim
x →−∞
x2+ 1 − x2
√
x2+ 1 − x = 0.
Ho un asintoto obliquo sinistro y = −x .
OSSERVAZIONE:Se m = ∞ e/o q = ∞ non si ha asintoto.
Es.f (x ) = log(x ).
Qui si pu`o cercare solo asintoto destro perch`e domf = (0, +∞).
m = lim
x →+∞
log(x )
x = 0 ⇒m = 0
q = lim
x →+∞log(x ) = +∞.
Quindi f (x ) = log(x ) non ammette asintoti orizzontali o obliqui.
Si ha un asintoto verticaledestro: x = 0.
Destro perch`e lim
x →0+log(x ) = −∞.
Studio di funzione
Il nostro obiettivo `e rappresentare graficamente una funzione f : domf ⊆ R → R.
Con le conoscenze attuali possiamo studiare il dominio ed eventuali simmetrie
la classificazione dei punti di discontinuit`a
il comportamento limite agli estremi del dominio (limiti e asintoti)
eventuali intersezioni con gli assi cartesiani Cosa manca?
Tutta la parte di rappresentazione grafica ”al finito”, ovvero:
Bisogna saper dire per quali valori di x ∈ domf la funzione `e crescentee per quali valori di x ∈ domf la funzione `e decrescente:
−5 0 5 10 15
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
x
y=sin(x)
crescente decrescente
Bisogna saper dire per quali valori di x ∈ domf la funzione `e convessae per quali valori di x ∈ domf la funzione `e concava:
−5 0 5 10 15
−5 0 5 10 15
x
y=cos(x)+x
concava convessa
Crescenza/decrescenza e convessit`a/concavit`a sono informazioni che si estraggono dalleDERIVATEdella funzione.
⇓
Dobbiamo introdurre il concetto di derivata in un punto e di funzione derivata
Riferimenti bibliografici: Canuto-Tabacco: Cap. 5.1, 5.2, 5.3 Esercizi: Considerare tutte le funzioni proposte nei temi d’esame degli anni precedenti e studiarne dominio, continuit`a, simmetrie, comportamento agli estremi del dominio (limiti agli estremi del dominio).
