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Prove that x4+ x2+ 1 x2+ x + 1 +y4+ y2+ 1 y2+ y + 1 +z4+ z2+ 1 z2+ z + 1 ≥ 3xyz

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Academic year: 2021

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Problem 11815

(American Mathematical Monthly, Vol.122, January 2015) Proposed by G. Apostolopoulos (Greece).

Let x, y, and z be positive numbers such that x + y + z = 3. Prove that x4+ x2+ 1

x2+ x + 1 +y4+ y2+ 1

y2+ y + 1 +z4+ z2+ 1

z2+ z + 1 ≥ 3xyz.

Solution proposed by Roberto Tauraso, Dipartimento di Matematica, Universit`a di Roma “Tor Vergata”, via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma, Italy.

We have that x4+ x2+ 1

x2+ x + 1 +y4+ y2+ 1

y2+ y + 1 +z4+ z2+ 1

z2+ z + 1 = (x2− x + 1) + (y2− y + 1) + (z2− z + 1)

= 3 ·x2+ y2+ z2

3 ≥ 3 x + y + z 3

2

= 3

= 3 x + y + z 3

3

≥ 3xyz,

where we used first the convexity of t → t2 and, then the AGM inequality. 

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