R2 : x2+ y2− 9 ≤ 0, x2+ y2− 1 ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ √3 3 x

ESEMPIO 1 Calcolare

Z Z

D

x y² dxdy, dove

D =



(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x ≤ 2, x²

2 − y ≤ 0, y − x² ≤ 0

 .

Calcoliamo questo integrale vedendo D come dominio y-semplice. Ab- biamo

Z Z

D

x

y² dxdy = Z ²

1

Z x² x²/2

x y² dy

! dx

= Z ²

1



−x y

x² x²/2

dx

= Z ²

1



−1 x + 2

x

 dx

= Z ²

1

1

xdx = ln 2.

ESEMPIO 2 Calcolare Z Z

D

xy

px² + y²dxdy, dove

D = (

(x, y) ∈ R² : x²+ y²− 9 ≤ 0, x²+ y²− 1 ≥ 0, y ≥ 0, y ≥

√3 3 x

) .

Calcoliamo questo integrale in coordinate polari centrate in (0, 0), cio`e con il cambiamento di variabili

 x = ρ cos θ y = ρ sin θ

1

dove in questo caso

θ ∈hπ 6, πi

, ρ ∈ [1, 3].

Allora abbiamo che Z Z

D

xy

px²+ y² dxdy = Z π

π/6

Z ³

1

ρ cos θ · ρ sin θ

pρ²cos²θ + ρ²sin²θ · ρ dρ dθ

= Z π

π/6

Z ³

1

ρ²cos θ sin θ dρ

 dθ

= Z π

π/6

cos θ sin θ

Z ³

1

ρ²dρ

 dθ

= Z π

π/6

cos θ sin θ ρ³ 3

³

1

dθ

=

 9 − 1

3

 Z π π/6

cos θ sin θ dθ

= 26 3 ·



−1 2

 Z π

π/6(−2 cos θ sin θ) dθ

= −13

3 cos²θπ π/6

= −13 3

 1 − 3

4



= −13 12.

ESEMPIO 3 Calcolare con un opportuno cambiamento di variabili Z Z

S

xy dxdy, dove

S =(x, y) ∈ R² : 0 < x ≤ y ≤ 2x, 1 ≤ xy ≤ 2 .

Innanzitutto osserviamo che un opportuno cambiamento di coordinate suggerito dalle condizioni in S `e

 xy = u

y x = v .

Stiamo cio`e considerando la trasformazione Ψ : R² → R² definita da Ψ(x, y) = (Ψ¹(x, y), Ψ²(x, y)) =

xy,y x

,

la cui trasformazione inversa `e Φ : R² → R² definita da Φ(u, v) =r u

v,√ uv

 .

Mediante questo cambiamento di variabili l’insieme S diventa (nelle nuove coordinate)

T = Φ(S) = (u, v) ∈ R² : 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 2 . Ci riconduciamo quindi a calcolare

Z Z

T u|detJ^Φ(u, v)| dudv,

dove J^Φ(·, ·) `e la matrice jacobiana associata alla trasformazione Φ.

Prima di procedere con il calcolo di questo integrale, `e utile osservare che

det(J^Φ) = 1 det(J^Ψ),

essendo in questo caso la matrice Jacobiana J^Ψ associata alla trasfor- mazione Ψ pi`u semplice di J^Φ. Abbiamo infatti che

J^Ψ(x, y) = DxΨ¹ DyΨ¹ DxΨ² DyΨ²



=

 y x

−y/x² 1/x

 . Quindi, poich´e ^y_x = v, abbiamo che

det(J^Ψ) = y x + y

x = 2 y x = 2v e per quanto osservato prima

det(J^Φ(u, v)) = 1 2v. Allora

Z Z

S

xy dxdy = Z Z

Tu|detJ^Φ(u, v)| dudv

= Z Z

T

u 2v dudv

= Z ²

1

Z ²

1

u 2vdu

 dv

= Z ²

1

1 2v

 u² 2

²

1

dv

= Z ²

1

1 2v

 2 − 1

2

 dv

= 3

4[ln |v|]²¹ = 3 4ln 2.

ESERCIZI PROPOSTI.

• Sia D = [3, 4] × [1, 2]. Calcolare Z Z

D

1

(x + y)² dxdy.

• Calcolare Z Z

T

x²e^ydxdy,

dove T `e il quadrato di vertici (0, 1), (1, 0), (0, −1) e (−1, 0).

• Calcolare Z Z

T

x²(y + 1) dxdy, dove T `e il triangolo di vertici (0, 0), (2, 0) e (0, 2).

• Sia D = {(x, y) ∈ R² : y ≥ 0, y − x − 3 ≤ 0, y + x − 3 ≤ 0}. Cal-

colare Z Z

D

xy²dxdy.

• Sia D = {(x, y) ∈ R² : x − y²+ 4 ≥ 0, x + y²− 4 ≤ 0}. Calcolare Z Z

D

ye^xdxdy.

• Calcolare Z Z

A

(x²+ y²− y + 1) dxdy,

dove A `e la corona circolare delimitata dalle circonferenze di raggi 2 e 3, centrate nel punto (1, 2).

• Sia D = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x²+ y² ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y}. Calcolare Z Z

D

x²y dxdy.

• Sia E = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≥ x²− 1}. Calcolare Z Z

E

x²dxdy.

• Sia E =(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, 0 ≤ y ≤√

3x . Calcolare Z Z

E

px²+ y²

1 + x²+ y² dxdy.

• Sia E =n

(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ ¹4, ^√1₃x ≤ y ≤ 0o

. Calcolare Z Z

E

1

1 − (x² + y²)dxdy.

• Sia E =n

(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ ¹4, ^√1₃x ≤ y ≤ 0o

. Calcolare Z Z

E

1

1 − (x² + y²)dxdy.

• Sia E =n

(x, y) ∈ R² : 0 < ^√1₃y < x < y, x²+ y² < 1o

. Calcolare Z Z

E

x²cos(x² + y²)²dxdy.

• Siano

f (x, y) = (y − 3x) log(2x + y) e

D =(x, y) ∈ R² : x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 1 ≤ y ≤ 3x + 3, 3 ≤ y + 2x ≤ 5 . Calcolare

Z Z

D

f (x, y) dxdy.

• Sia A = {(x, y) ∈ R² : 1 < xy < 2, 1 < x < 2}. Calcolare Z Z

A

x²ye^xydxdy.

• Sia E = {(x, y) ∈ R² : 1 < xy < 3, 1 < x < 3}. Con un opportuno cambiamento di variabili calcolare

Z Z

E

3

1 + 9x²y² dxdy.

• Sia D = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ y − x² ≤ 2, 2 ≤ y + x² ≤ 3, x > 0}. Me- diante un opportuno cambiamento di variabili calcolare

Z Z

D

x dxdy.

• Sia D = {(x, y) ∈ R² : x²− 3 ≤ y ≤ x²+ 3, −1 < x < 1}. Calcolare Z Z

D(2x − y)e^y−x2dxdy.

Pu`o essere opportuno il seguente cambiamento di variabili u = y − x² v = x.