Esercizi svolti nel ric. in aula del 15/12/11
1. Dato
S = (x, y, z) : x2+ y2+ z2 ≤ 16, 3x + y2+ z2 ≥ 16 (a) calcolare il volume di S;
(b) calcolare
Z Z Z
S
|y| |z| dx dy dz.
(Sugg. fare il disegno e osservare che si tratta di un solido di rotazione di asse x...)
2. Dato
S = (x, y, z) : 2x2+ 3y2+ z2 ≤ 1, 2x2+ 3y2 ≥ 1/2 calcolare
Z Z Z
S
x2dx dy dz.
(Sugg. non si tratta di un solido di rotazione, ma di un ellissoide intersecato un cilidro di base ellittica e asse z. Posto E = {(x, y) : 2x2+ 3y2 ≥ 1/2} si parametrizza facilmente per fili- Per integrare poi su E, conviene passare alle coordinate ellittico-polari..)
3. Dati
S = (x, y, z) : z2 ≤ x2 + y2 , C = (x, y, z) : x2 + y2+ 4y ≤ 0 calcolare il volume di S ∩ C.
(Sugg. Si tratta dello spazio esterno ad un cono a due falde di asse z intersecato con un cilindro di asse z e di base il cerchio x2 + y2 + 4y ≤ 0, che ha centro in (0, −2). Ancora si parametrizza per fili con base questo cerchio. Poi conviene passare alle coordinate polari DI POLO O(0, 0), NON il centro del cerchio...)
4. (Solo accennato, da un vecchio appello) MIn e max assoluti di f (x, y) = sinh(|x − 4| −
|y − 3|) su
D =(x, y) : x2− 8x + y2− 6x + 23 ≤ 0, x2− 8x + y2− 8y + 31 ≤ 0 (Sugg. Studiare g(x, y) = |x − 4| − |y − 3|. D ´e l’intersezione di 2 cerchi...)
