• si dimostri che l’energia dello stato fondamentale dell’oscillatore armonico non pu` o essere minore di ~ω/2 dove ω = pk/m (7,5 pt).

Esonero di Equazioni della Fisica Matematica (3 crediti di Mec- canica Quantistica) del 09-01-2020.

1. Discutere i seguenti argomenti:

• equazione di Shr¨ odinger: conservazione della norma ed evoluzione della media di un operatore (7,5 pt);

• si dimostri che l’energia dello stato fondamentale dell’oscillatore armonico non pu` o essere minore di ~ω/2 dove ω = pk/m (7,5 pt).

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• si consideri il sistema di hamiltoniana ˆ H = _2m ^{p ˆ}

+ k(cosh(ˆ x) − 1) con k positivo. Si dia una stima dal’alto dell’energia E ₀ dello stato fondamentale tenendo presente che per ogni ψ con norma unitaria si ha E ₀ ≤ hψ, ˆ Hψi (7,5 pt);

• siano ψ ₀ e ψ ₂ rispettivamente lo stato fondamentale dell’oscillatore armonico e il secondo stato eccitato. Si mostri che lo stato φ = aψ 0 + bψ 2 , con |a| ² + |b| ² = 1, ha norma unitaria. Si calcoli esplicitamente il valore medio dell’energia dell’oscillatore armonico per questo stato (7,5 pt).

1